高一数学新人教版(A版) 必修第1册：基本不等式(1)-教学设计

（二）教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA010学科数学年级高一学期第一学期

课题基本不等式（1）

名：普通高中教科书数学必修第一册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师马琳北京市第二十二中学

指导教师李颖东城区研修中心

教学目标

教学目标：

1.初步理解基本不等式及其证明方法和几何解释；

2.通过利用基本不等式求简单的最值问题，使学生理解利用基本不等式解决最值问题的方法；

3.通过对基本不等式证明方法分析法的认识以及利用基本不等式求简单的最值问题，发展学生的逻辑推理、数

学运算和数学建模的素养.

教学重点：理解基本不等式及其证明方法.

教学难点：基本不等式的几何解释以及用基本不等式解决简单的最值问题.

教学过程

时间教学环节主要师生活动

教师:我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等

式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个

问题.

问题1：前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：有

当且仅当时，等号成立.22

∀�,�∈�,�+�≥

教师:请大家观察,这个不等式左边的平方结构要求比较高，使用不方便，能否换成

2��,�=�

一个数，又因为替换的是个平方数，所以应该是个正数。那么这里特别地，如果

3分钟问题引入我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？

�>

师生活动：学生独立计算后回答。

0,�>0�,��,�

教师总结：对于变形为①当且仅当时，等号

�+�

∀�>0,�>0,�+�≥2����≤2�=�

成立．通常我们称不等式①为基本不等式.其中叫做正数的算术平均数，叫做

�+�

正数的几何平均数．2�,���

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

�,�

问题2：前面，我们通过考察的特殊情形获得了基本不等式，你能否

直接利用不等式的性质推导出基本2不等2式呢？

�+�≥2��

师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师

在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程.

教师:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求

使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已

6分钟分析法证明

知条件、定理、定义、公理）为止.

分析法解题过程如下:

要证①

�+�

只要证��≤2②

要证②，只要证.③

2��≤�+�

2��−�−�≤0

要证③，只要证0④

要证④，只要证20⑤

−(�−�)≤

显然，⑤成立，当且仅当2时，⑤中的等号成立.

(�−�)≥

我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.

�=�

追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由②①，

由③②由④③，由⑤④的依据.

⟹

教师总结：②①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式

⟹,⟹⟹

同向）

⟹

③②（根据不等式性质，两边同时加上正数（），所得不等式与原不等式同向）

④③（运用完全平方差公式打开计算）

⟹�+�

⑤④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）

⟹

显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.

⟹

追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？

�=�

师生活动：学生讨论后回答.

教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻

求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件

（已知条件、定理、定义、公理）为止.

追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？

师生活动：学生思考后回答.

教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以

分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要

证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。

下面我们一起来看问题3.

同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想

到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探

究一下?

问题3：

在图1中，是圆的直径，点是上一点，

过点做垂直于的弦，连接.你能在这个图形中尝

𝐴�𝐴��=�,��=�.

ab

试找出�和𝐴ab所�对�应的是哪��条,�线�段吗?进而得出基本不

2

等式的几何解释吗？

5分钟几何解释

师生活动：教师引导学生思考后回答，可证,因而。由于

小于或等于圆半径，用不等式表示为∆���∼∆�𝐴��=��

�+�

�显�然，当且仅当点C与圆心重合，即当��≤时，2上述不等式的等号成立.图1

�=�

教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于，,

�+�

所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到它的几何2解释�，�当=且�仅�

当弦过圆心时，二者相等.通过基本不等式的几何解释,希望同学们能借助图形记住基本

不等式的结构特征,特别是不等号的方向.

前面我们知道了基本不等式的内容、证明方法和几何解释，下面我们利用基本不等式

5分钟简单应用

来解决一些简单的最值问题.请看下面的例题.

例1已知求的最小值.

1

追问（1）：�本>题0,中要�+求�最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求

的最小值？

1

�师+生�活动：学生思考后回答.

教师总结：本题中要求的代数式是与和的形式，而且，由于是与的算

1111

���∙�=1�+���

术平均数的2倍，而后者的几何平均数是一个定值，所以可以利用基本不等式求

1

解.下面是解答过程．�∙�

解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立

1112

因此所求�的>最0小值是�2+.�≥2�∙�=2�=��=1,�=1

追问（2）：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即

12

时，等号成立”？�=��=1,�=

师生活动：学生讨论后回答.

1

教师总结：这是为了说明“2”是的一个取值。

1

�+�

那么请同学们再想一想，当时，成立吗？这时能说是（

11

）的最小值吗？�0<2�+�≥�0�0�+��>

师生活动：学生思考后回答.

0

教师总结：当然是不能，因为的最小值，就是要求出一个使

11

�+��0=�0+�0,∀�>

都有如果时，找不到对应的可以取到．

1

0追,问（3�）+：通�≥过�本0.例的�解0答<，2你能说说满足什么条�件能够利�用0基本不等式求最小值呢？

师生活动：学生讨论后回答.

教师总结：如果两个正数的积为定值，当这两个数相等时，可以求得它们的和的最小

值.

例2已知，都是正数，求证：

（1）如果积等于定值,那么当时，和有最小值;

��

（2）如果和��等于定�值,那么�当=�时，�积+�有最小值2�.

12

师生活动：师�生+一�起分析后�，鼓励学生�=用�自然语言�把�两个问题4连�在一起说，能用自己

的话表达也是对结论的进一步理解。并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.

证明：（1）因为，都是正数，所以,当积等于定值时，,所以

�+��+�

4分钟简单应用

，当且�仅当�时，和2有≥最小��值�;��2≥��+

�（≥2）2当�和等于�定=值�时，�+�=,所以2�，当且仅当时，