高二数学 新人教版(A版) 选择性必修1：椭圆及其标准方程（1）-教学设计

课程基本信息

学第一学

课例编号2020QJ11SXRA033数学年级高二学期

科期

课题3.1椭圆及其标准方程（1）

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（A版）

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师许绮菲北京一七一中学教育集团

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到

圆、椭圆、双曲线和抛物线．能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用．能通

过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值．

2.认识形成能通过实际绘制椭圆的过程认识椭圆上点的几何特征，给出椭圆的定义，并

能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养．

3.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满

足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程，发展直观想象、数学运算素养．

重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及椭圆的标准方程．

难点：椭圆的标准方程的推导．

教学过程

时教学

主要师生活动

间环节

４引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系，生产、

分立足生活中还有一些非常有用、有趣、我们还不大熟悉的曲线需要研究．

钟全章，

问题1：如图1，用一个垂直于圆锥的轴的平面

建构

截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一

“先个圆.如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到

行组怎样的截口曲线呢？

织师生活动：教师通过信息技术演示，引导学生

认识截面与圆锥的轴所成的角不同时得到的不同的

者”

截口曲线，并指出它们分别是椭圆、双曲线、抛物

图1

线（图1）．教师介绍圆锥曲线的研究历史，指出圆

锥曲线在生产、生活中的应用，并指出圆锥曲线有如此广泛的应用与它们的

几何特征和几何性质有关，而这些几何特征和几何性质都是本章要研究的内

容．

设计意图：问题1重在引发学生思考，并不要求学生解决．这个环节的

教学目的是明确本章内容的意义与价值，促进学生形成积极探究的心理倾

向．

问题2：历史上，古希腊人曾经用纯几何的方法研究圆锥曲线，但17世

纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原因吗？

如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与

圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗？

师生活动：在学生回顾、讨论的基础上，明确采用坐标法研究圆锥曲线

的最大好处是可以程序化地、精确地计算．本章研究的基本思路：现实背景

—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性质—实际应用．其中，现实背景揭示

了研究的必要性，曲线的概念是建立曲线的方程的依据，曲线的方程是研究

曲线的性质的工具，曲线的概念、曲线的方程、曲线的性质共同为曲线的实

际应用奠定基础．

设计意图：让学生从整体上把握本章的学习内容与基本框架，为后续学

习提供先行组织者，同时深化为学生对坐标法研究问题的基本思路与基本方

法的理解．

问题3：在平面内到定点距离等于定长的点的集合为圆，我们取一条定

长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套

上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）

画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段

距离，分别固定在图板的两点F1，F2（图2），套

上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么

６图2

曲线？

分

追问1：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

钟归纳

抽象，追问2：当动点到两定点间距离和与两定点间距离的大小关系发

建构

生变化时动点的轨迹会发生什么变化？

椭圆

的概追问3：当动点到两定点间距离和等于两定点间的距离时动点的轨迹是

念什么？

追问4：动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？

师生活动：教师利用Ggb软件模拟演示椭圆绘制过程，呈现所画的曲线

具有共同的特点，然后用数学语言刻画这些曲线上点的几何特征．

设计意图：由实际操作，强化学生对椭圆的几何特征的认识.在探讨定

点间距离与动点到两定点间距离和的大小关系发生变化（量变）时动点的轨

迹相应发生的变化（质变）的过程中再一次渗透辩证唯物主义思想。

问题4：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗？

追问：椭圆定义中我们应该特别关注那些要素?

师生活动：尝试用精确的数学语言给出椭圆的定义．在此基础上，教师

关注学生对定义中相关用语及符号表示：“平面内”“定点”“距离之和”“常

数”“常数大于两定点间的距离”“点的轨迹”的使用是否准确．

设计意图：通过强化椭圆的概念的抽象与建立过程，增强学生思维的严

谨性与语言表达能力．

问题5：遵循解析几何研究几何图形的基本思路，在了解椭圆的概念后，

我们下一步应该研究什么？

追问1：利用坐标法求曲线方程的步骤是什么？

１

师生活动：呈现解析几何研究问题的基本思路，明确建立椭圆的方程的

０

大致步骤：根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系—明确椭圆上的点满

分

足的几何条件—将几何条件转化为代数表示列出方程—化简方程—检验方

钟

建系程．

推导，追问2：椭圆是否具有某种对称性？你能猜测出椭圆的对称轴吗？

建立追问3：请大家类比圆的方程猜测椭圆的方程形式？

椭圆利用坐标法求曲线方程首先要选取恰当的坐标系，坐标系选取的不同方

的标程的形式也会产生差异，也就是说选取恰当的坐标系会给我们的化简过程带

来便捷。

准方

追问4：如何选取坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

程

师生活动：讨论、明确如何建立适当的直角坐标系．观察椭圆发现：它

具有对称性，并且过两个焦点的直线是它的对称轴．受圆心在原点时圆的标

准方程最简单启发，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的

垂直平分线为y轴，建立直角坐标系Oxy．

建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐

标是用坐标法研究问题的前提与基础；分析点在曲线上的条件（记为P），

写出适合条件P的点M的集合P{MP(M)}是建立曲线的方程的依据；

用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)0这是建立曲线的方程的关键；

化方程f(x,y)0为最简形式，以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线

上，反之也对，这是保证方程与曲线等价性的需要．

问题6：如何用坐标表示椭圆上点的所满足的条件？

根据椭圆定义得到(xc)2y2(xc)2y22a

追问1：进行化简的目标是什么？通过什么手段达到这一目的？

追问2：把两个根式分别于等号两侧再进行平方运算比两个根式

置于等号同侧即平方运算有哪些优势？

问题7：我们化简得到方程(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)*从

简化、美化的角度出发希望继续优化方程，如果令b2a2c2，*式变形为

b2x2a2y2a2b2；观察这一方程的特点，如何对这一等式进一步变形？

x2y2

通过同除a2b2得到1(ab0)．

a2b2

x2y2

以上方程的变形是同解变形，方程1与所给椭圆是等价的，

a2b2

称为椭圆的标准方程．方程所蕴含了简洁美、对称性、和谐美，“数”与“形”

内在的一致性．

追问1：推导出的椭圆方程的形式与猜想的形式是否一致？椭圆方程

中的b有什么几何意义？

追问2：我们从寻找a2c2的几何意义入手明晰了b的几何意

义，在利用绳子绘制椭圆的过程中，如何使你画出的椭圆变得“瘪”一些？

追问3：为什么要用2a,2c而不是a,c表示椭圆的定长与焦距？

设计意图：（1）明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维

的盲目性；（2）明确如何建立适当的直角坐标系，引导学生学会建立恰当的

直角坐标系；（3）以椭圆的标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥

曲线的方程的一般思路与方法；（4）以椭圆的标准方程概念为载体，深化学

生对曲线与方程的关系的理解．

例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0），并且经

53

过点(，－)，求它的标准方程．

22

x2y2

解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1（a

a2b2

＞b＞0）.

由椭圆的定义知c＝2，

2222

5353

2a22

2222

210

所以a＝10．

所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.

所以，所求椭圆的标准方程为

x2y2

1.

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请同学们课后思考还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方

法的特点．

本章研究的基本思路：现实背景—曲线的概念—曲线的方程—曲线的性

质—实际应用．曲线的概念是建立曲线的方程的依据，曲线的方程是研究曲

线的性质的工具，曲线的概念、曲线的方