高一数学 新人教版(A版) 必修第2册：6.4.3 （第2课时）正弦定理（教案）

第六章平面向量及其应用

6.4.3第2课时正弦定理

一、教学目标

1.了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；

2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；

2.正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。

三、教学过程：

1、创设情境：

某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如

何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点

测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?

学生活动1

探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？

学生活动2B

c

探究2：在ABC中，如何求边BC的长呢？回忆一下直角三a

角形的边角关系?（C为直角）

CbA

如右图，RtABC中的边角关系：

abc

sinA___c_____；sinB___c_____；sinC____c=1____；

abc

∴sinA____c____；sinB____c____；sinC____c____；

abc

∴______sinAsinBsinC____________________________

那么，上述结论，如何证明？

（学生小组活动探究）

探究3：这个关系式对任意ABC也成立吗

二.建构数学

探究4：如何证明这个等式？（教师点拨）

(作高法)

在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，

abc

1.在RtΔABC中，∠C=900,csinA=a,csinB=b，即sinAsinB=sinC。

ab

2.在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|=bsinA=asinB，即sinAsinB，

acabc

同理得sinAsinC，故有sinAsinBsinC。

3.在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|=bsinA=asinB，

ababc

即sinAsinB，故有sinAsinBsinC。

（学生小组活动探究）

（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CBAB，两边同乘以单位向量j得

j•(AC+CB)j•AB，则j•AC+j•CBj•AB

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)

ac

∴asinCcsinA∴sinA=sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得：sinC=sinB∴sinAsinBsinC

探究5：还有其它的证明方法吗？课后尝试用其它方法来证明!

abc

正弦定理：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：sinA=sinB=sinC它适

合于任何三角形。

探究6：正弦定理结构的最大特点是什么？

____结构和谐、对称体现了数学的和谐美与对称美_____________________

探究7：正弦定理里面包含了几个等式？

abacabc

生答：3个sinAsinB，sinA=siinCA，sinBsinC

每个等式中有几个量？

生答：4个

解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余

三个未知元素的过程。

学生活动3如图下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？

归纳使用正弦定理解三角形的条件:_____（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角

___________________________________

___（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）______

三.数学应用

例1.某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距

离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在

C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?

accsinA

解：由正弦定理得a5006

sinAsinC，，所以sinC

答：BC长为5006米

变题:在△ABC中，已知b=10,A=60,C=45,求角B,a和c

答案：B=1050,a=1526;c=10310

总结:此问题归为已知两角和任一边求其他两边和一角

例2.在△ABC中，已知a=16，b=163，A=3，求角B，C和边c

ab

解：由正弦定理得sinAsinB

bsinA163sin303

sinB

解得a162

2

B或者

所以33

2asinC

当B时,C,c32;当B时,C,c16;

3236sinA

变题:在△ABC中，已知a=16，b=162，B=45°.求角A，C和边c

ab

解：由正弦定理得sinAsinB

asinB16sin451

sinA

解得b1622

ab

AB450

0

法一、A30

C18003004501050

c8(26)

A300

c8(26)

00

法二、当A30时,C105,c8(26);

当A1500时,C1500,不存在;

A300

c8(26)

总结:此问题归为已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一