高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：等比数列的概念（2）-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA058学科数学年级高二学期上学期

课题等比数列的概念（2）

书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师刘薇北京市第二十五中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中学

教学目标

教学目标：加深对等比数列的概念的理解，在具体情境中，运用定义及通项公式解决

问题，提高数学建模素养.

教学重点：等比数列的概念和通项公式的简单应用.

教学难点：综合与灵活应用等比数列的概念和通项公式.

教学过程

时教学环

主要师生活动

间节

问题1在上节课的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项

1引入

分公式，你能准确写出等比数列通项公式吗？

钟

�−1∗

�1

例4用元购�买=某个��理财产�品∈一�年.

（1）若以月利率的复利计息，个月能获得多少利息（精确到1

元）？0.400%

（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结

18算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？

分新课−5

钟分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本1金0，再计算下一期的利息.

存入元，

第一期末�元，

第二期末�+𝑎=�1+�元，

2

第三期末�1+�+�1+��=�1+�元，

223

�1+�+�1+��=�1+�

所以若原始本金为元，每期的⋯利⋯率为，则从第一期开始，各期的本

利和，�，，构成�等比数列.

23

�这1个+等�比数�列1的+首�项是�1+�，公⋯比是，可得通项公式为

�1+�1+�.

�−1�

（1）“用��=元�购1买+某�个1理+财�产品=”�1+本�金

“月利率”�=

个月能0获.4得00的%本利和�=的0值.400%

“个月能获得的利息”�利12息=本利和-本金=

解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列�1，2−则�是

等比数列，首项�，公比�，�所以��

4

�1=101+0.400%.�=1+0.400%

412

�所12以=，10个1月+后0.的40利0%息为≈10490.7（元）.

4

10490.7−10≈491

（2）“季度利息”设为，公比是

存4个季度的本利和�的值1+�

“存4个季度结算的利息”�4

“按季结算的利息不少于按月结算�的4−利�息”

解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本�4利−和�组≥成�1一2−个�数

列，则也是一个等比�数列，首项�，公比为，于

4

是�����1=101+�1+�

.

44

因此，以季度复利计息，存�4=4个10季度1+后�的利息为

元.

444

解不等式101+�−，1得0

444

101+�−10≥491.

所以，当季度利率不小于�≥1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算

的利息.1.206%

小结：运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程就是数学建模。本题

通过对实际问题的抽象、简化，确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”

对应的数学式子，并应用已学的知识，梳理出变量之间的关系，将复利问题

转化为相应的等比数列模型，然后用数学方法解决它，再用我们的模型解释

现实生活中的种种现象和规律.

例5已知数列的首项.

（1）若��为等差数�列1，=公3差，证明数列为等比数列；

��

�1

（2）若�为等比数列，公比q�=2，证明数列3为等差数列.

9

�3�

追问1：如何证�明数列是等比数列、等差数列？log�

需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.

追问2：用部分项，如：能证明数列是等差数列吗？

不能，不符合等�差2−、�等1比=数�3列−定�2义中的“从第2项起，每一项与它

的前一项的差（比）都等于同一个常数”.

追问3：那么，用什么项证明呢？

用第项，即证明.

∗

证明：（1）由�，���∈，�得的通项公式为

�1=3�=2.��

设，则��=2�+1

��

�

�=3b32(n1)1

n1.

2n19

bn3

又

,

3

所以，是以�12=7为3首=项27，9为公比的等比数列.

��

1

（2）3由，q，得

9

1

�=3n1

1

32n.

an33

9

两边取以3为底的对数，得

.

3−2�

所以log3��=log33=3−2�

.

又log3��+1−log3��=3−2�+1−3−2�=−2

，

所以，是lo首g3项�1为=1，log公3差3=为1的等差数列.

追问4：已知log3��且，如果数列−2是等差数列，那么数列是否

��

一定是等比数列�？>如0果�数≠列1是各项均�为�正的等比数列，那么数列�

是否一定是等差数列？��log���

我们尝试同样的证明思路，将结论从特殊推广到一般.

证明：设等差数列的首项为，公差为，则

�1

�ban1ba1�nd�

d.

aan1db

bnb1

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

���1�

设各项均为�正的等比�数列的�首项为，公比为，则

�1

���.

��+1

��+1�����

所以数列log是�以−log为�首=项lo，g�=为l公og差�的等差数列.

由此，我们知lo道g�了��等差数lo列g�与�等1比数列的lo联g�系�，就可以把等差数列的一

些性质迁移到等比数列中.

如：等差数列中，已知，且，则

∗

.那么对于各�项�均为正的�等,比�,数�,�列∈�，由�上+面�的=结�论+可�知，��+��=

�是�+等�差�数列，所以��，即log���

，于是得到log���+.l即og等��比�=数l列og���中+，log已��知�log����，�且=

∗

log�����，则����=���.����,�,�,�∈�

�+下�=面�我+们�具体�证�明��一=下�.���

证明：设等比数列的公比为，则

��，�

�−1

��=�1�，

�−1

��=�1�，

�−1

��=�1�，

�−1

所以��=�1�

，

�−1�−12�+�−2

����=�1��1�=�1�，

�−1