高二数学 新人教版(A版) 选择性必修2：等比数列的前n项和公式（2）-教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ11SXRA060学科数学年级高二学期一

课题等比数列的前n项和公式（2）

书名：高中数学人教A版选择性必修第二册

教科书

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学人员

姓名单位

授课教师苏萌萌北京市第二十五中学

指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：熟练掌握等比数列的相关知识及其性质，并利用等比数列前n项和公式解决相关实

际

问题.

教学重点：利用等比数列知识建立实际问题的数学模型.

教学难点：充分利用方程思想，函数思想解决与数列有关的问题.

教学过程

时教学环

主要师生活动

间节

问题1等比数列的前n项和公式是什么？

2复，，

na1q1

分习

n

钟引Sna11qaaq

1n，q1.

入1q1q

问题2如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点

E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正

方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形

17新

IJKL，依此方法一直继续下去.

分课

（1）求从正方形开始，连续10个正方形

钟讲ABCD

解的面积之和；

追问1：如何求每个正方形的面积？

公需要知道每个正方形的边长.

式追问2：每个正方形的边长之间有什么关系？

推观察图形，列举：

导第1个正方形边长5cm；

52

第2个正方形边长cm；

2

5

第3个正方形边长cm；

2

52

第4个正方形边长cm；

4

……

2a

设第k个正方形的边长为a，则第k1个正方形的边长为.

2

得到结论：设这10个正方形的边长构成数列，则数列是以为

anan5

2

首项，为公比的等比数列.

2

追问3：每个正方形的面积之间有什么关系？

第1个正方形面积52=25cm2；

2

5225

第2个正方形面积2；

=cm

22

2

5252

第3个正方形面积=cm；

24

2

5225

第4个正方形面积2；

=cm

48

……

设第k个正方形的面积为a2，则第k1个正方形的边长为

2a2aa2

=.

222

得到结论：设这10个正方形的面积构成数列，则数列是以为

bnbn25

1

首项，为公比的等比数列.

2

追问4：怎么求连续10个正方形的面积之和？

这10个正方形的面积之和即为等比数列的前10项和，等比数列求和

bn

公式有两种，根据题意我们选择第一种.

具体计算一下：

设正方形ABCD的面积为b1，后继各正方形的面积依次为b2,b3,bn,，

则b125，由于第k1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以

1.因此，是以为首项，1为公比的等比数列.

bbbn25

k12k2

设的前项和为.

bnnSn

10

1

25110

2125575

S501.

101

12512

2

25575

所以，前10个正方形的面积之和为cm2.

512

（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之

和将无限趋近于多少？

追问1：当n无限增大时，所有这些正方形的面积之和如何表示？

n

1

251

2

S

n1

1

2

追问2：Sn的变化与什么量有关？

Sn的变化与n有关？

nn

11

随着n的无限增大，根据指数函数的性质，将无限趋近于0，1

22

无限趋近于1.

当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和

n

1

251n

21

bbbb.而S501，随着n的

123nn1

12

2

n

1

无限增大，将无限趋近于0，Sn将无限趋近于50.

2

所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.

这里用到了极限的思想，极限指的是在一定的变化过程中，总体逐渐稳定

的一种变化趋势以及趋向的值.极限思想是近代数学的一种重要思想，我们要体

会应用极限思想分析问题和解决问题.

问题3去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式

处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，

通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，

请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

追问1：每年生活垃圾的总量之间有什么关系？

去年：20万吨

第一年：20205%2015%万吨；

2

第二年：2015%2015%5%2015%万吨；

第三年：223万吨；

2015%2015%5%2015%

第四年：334万吨；

2015%2015%5%2015%

……

因此，从今年起每年生活垃圾的总量构成首项为2015%，公比为

15%的等比数列.

追问2：每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？

去年：6万吨

第一年：61.5万吨；

第二年：61.51.561.52万吨；

第三年：61.521.561.53万吨；

第四年：61.531.561.54万吨；

……

因此，从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成首项为61.5，公差为

1.5的等差数列.

经分析我们知道，每年生活垃圾的总量构成数列n.每年以

an2015%

环保方式处理的垃圾量构成数列.

bn61.5n

追问3：怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？

可以用表示.

anbn

具体计算一下：

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列an，每年

以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列bn，n年内通过填埋方式

处理的垃圾总量为（单位：万吨），则n，，

Snan2015%bn61.5n

Sna1b1a2b2anbn

a1a2anb1b2bn

201.05201.052201.05n7.5961.5n

n

201.0511.05n

7.561.5n

11.052

327

4201.05nn2n420.