河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限【答案】B【解析】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：B.3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，，由正弦定理，.故选：A.4.已知向量，，若，则（）A.1 B.3 C.1或 D.1或3【答案】C【解析】因为，，所以.又，所以，解得或.故选：C.5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由和正弦定理，得，整理得.因为，所以.又，所以或，由可得，此时，而由可得，显然不成立，故.故选：D.6.已知，是两个不共线的向量，且向量，同向，则的最小值为（）A.12 B.6 C. D.【答案】C【解析】由向量，同向，得，且，，则，因此，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：C.7.某渔船由地出发向南航行了2nmile到达地，然后由地向东航行了2nmile到达地，再从地向北偏东航行了nmile到达地，则地与地之间的距离为（）A.nmile B.nmile C.nmile D.nmile【答案】A【解析】如图，由题意得，nmile，则，，易得nmile，在中，由余弦定理可得：nmile.故选：A.8.已知圆的半径为4，弦，D为圆上一动点，则的最小值为（）A.-12 B.-8 C.-6 D.-4【答案】B【解析】如图，作圆的直径，过作的延长线，垂足为.而可以看作在上的投影向量与的数量积，由圆的性质知，当与重合时，取得最小值.因，可得，则，所以的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.若，则的实部为25 B.若，则的虚部为C.若为实数，则 D.若为纯虚数，则【答案】AC【解析】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.若为实数，则，得，C正确.若为纯虚数，则得，D错误.故选：AC.10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AD【解析】对于选项A，由，因为，所以只能为锐角，故有唯一解；对于选项B，由，所以或，所以有两解；对于选项C，因为，所以，显然不符合三角形内角和为，所以无解；对于选项D，，，，符合边长的关系，且有唯一解.故选：AD.11.定义：是与向量，，在同一平面内，且与绕其起点逆时针旋转同向的向量，（为，的夹角）.规定：若或，则.设，，均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则【答案】AB【解析】由题可知，，，则，A正确.，B正确.取，，，则，从而，而，，C不正确.，则或，即或，由题可知，所以当时，满足，故D不正确.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________.【答案】【解析】由题意得得所以.13.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标.设，且，则__________.【答案】3或【解析】由题意，，由，可得，则，即，解得或.14.已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为__________，的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意得得，则.由，得，，即的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平行四边形的三个顶点为，，.（1）求点的坐标；（2）求在上的投影向量的坐标.解：（1）设，由题意得，，由可得得故点的坐标为.（2）由（1）得，则，，所以在上的投影向量的坐标为.16.已知非零向量，满足.（1）若，，求与的夹角的余弦值；（2）若，求的取值范围.解：（1）设，的夹角为，由得，得，得，即与的夹角的余弦值为.（2）由（1）得，由，得，得.因为，所以.易得，则得，即的取值范围为.17.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，.（1）求；（2）若的外接圆的面积为，求及的面积.解：（1）由正弦定理得，则，因为，所以或.（2）设的外接圆的半径为，由，解得.由正弦定理，，得.因为，所以，由（1）可得.由余弦定理，，得，解得.故的面积为.18.如图，在梯形中，，，.（1）用，表示，；（2）若，，，求；（3）若与交于点，，求.解：（1）由图，；.（2）.（3）（方法一）延长，交的延长线于.易证，则，得，易证，则，设，则，，得，得，所以.故.（方法二）设，则，设，则，则解得所以.故19.已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且.（1）求；（2）若，求的最小值；（3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心.解：（1）（方法一）由题意得，得，则.由，得，即，整理得.由，得，因，则.（方法二）由正余弦定理得，得.因，两式相加，可得，因，则，得.因为钝角三角形，则，得，因，则.（2）由（1）结论和题意得.