湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖北省部分普通高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时必须使用2B铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.下列求导不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，，故A正确；对于B，是常数，导数为0，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选：C．2.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．故选：C．3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，则，，故选：D.4.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（）A.12种 B.24种 C.48种 D.120种【答案】B【解析】因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有种.故选：B.5.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．6.安排4名志愿者完成三项工作，其中项工作需2人，两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种【答案】B【解析】依题意，计算不同的安排方式需两步，先从4人中选两人去参加A项工作有种，再分配余下两人去参加B，C工作有种，由分步乘法计数原理得，所以不同的安排方式共有12种.故选：B.7.已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，可得展开式所有项的系数之和，得，所以，其通项，令，得，所以展开式中常数项为．故选：A．8.若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（）A B. C. D.【答案】B【解析】法一：由题意，，对于，当，即时，，f(x)在上单调递增，所以，即，因此；当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，不妨设，则上，上，上，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由此，，.由，则，同理可得，所以，，则，解得，与矛盾.综上，.法二：由题意得：，.当时，，即，所以；，又，，即，所以.综上，，即，得.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的部分分．9.已知函数，则下列说法中正确的是（）A.在上有两个极值点 B.在处取得最小值C.在处取得极小值 D.函数在上有三个不同的零点【答案】AC【解析】定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，当时，，，恒成立；可作出图象如下图所示，对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确；对于B，不是的最小值，B错误；对于C，在处取得极小值，C正确；对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误.故选：AC.10.下列函数中，在1,+∞上单调递增的是（A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A：，，所以不恒成立，故A错误；对于B：在1,+∞上恒成立，函数递增，故B正确；对于C：，函数递增，故C正确；对于D：，所以1,+∞单调递减，故D错误；故选：BC.11.已知，则（）A.展开式中所有项的系数和为1B.展开式中二项系数最大项为第1010项C.D.【答案】ACD【解析】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对；展开式中第项二项式系数，，即，则，∴.展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错；，令，则，令，则，∴，C对；对等式两边求导，，，∴，D对.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，直线与曲线相切，则的最小值是_____．【答案】【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，所以，，,所以，因为,所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.13.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有______种不同的选法．【答案】16【解析】若A，B两门课程选1门，不同的选法有种，若A，B两门课程选2门，不同的选法有种，所以一共有种不同的选法.14.已知函数，其中，若函数在处取得极大值，则__________.【答案】1【解析】由题设，，当时，，则递增，无极大值，与题设矛盾，∴，此时，，要使在处取得极大值，∴，可得或.当时，，则当得或，即上递增；当得，即上递减；∴为极大值点，符合题设.当时，，则当得或，即上递增；当得，即上递减；∴为极小值点，不合题设.综上，.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算过程．15.某市教育局决定派出8名心理咨询专家（5男3女）到甲、乙学校进行心理问题调研．（1）每所学校均有4名专家参加调研，有多少种的安排方法？（2）每所学校至少有3人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？解：（1）由题知，每所学校均有4名专家参加调研的安排方法有种．（2）分三类：第一类，甲校有3人有种；全是男专家有种；全是女专家有种，则符合题意的有；第二类，甲校4人有种，全是男专家有种；3女1男有种，则符合题意的有；第三类，甲校5人，有种；全是男专家有种；3女2男有种，则符合题意的有．故每所学校至少3人且必须有女专家共有150种．16.已知函数,且在点处的切线l与平行.（1）求切线l的方程；（2）求函数的极值.解：（1）函数的定义域为，由，则，因为在点处的切线l与平行，所以，即，解得，所以，所以，所以在点处的切线的方程为，即；（2），得，，由得；由得；所以函数在上单调递减，在上递增；故，无极大值.17.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；（3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种，共（种）．（2）先选后排，但先安排该男生，有（种）．（3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）．18.已知函数在处有极值.（1）求、的值；（2）求出的单调区间，并求极值.解：（1）因为，该函数的定义域为0,+∞，，则，解得，此时，，经检验，，合乎题意.因此，，.（2）因为，该函数的定义域为0,+∞，，令，可得，列表如下：0,11,+f减极小值增所以，函数的递减区间为0,1，递增区间为1,+∞，函数极小值为，无极大值.19.已知函数.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）讨论函数f(x)的零点个数.解：（1）函数f(x)的定义域为，.当时，恒成立，所以f(x)在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.（2