湖南省2025届高考普通高中名校联考第一次模拟考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖南省2025届高考普通高中名校联考第一次模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式得，即，又，所以.故选：A2.若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以的虚部为.故选：D.3.甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（）A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96【答案】B【解析】根据题意可得命中次数服从二项分布，即；即可得均值，解得；所以的方差为.故选：B4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数的定义域为，设，则，又单调递增，当时，，，无单调性，不成立；当时，在和上单调递增，即在和上单调递增，所以，则，即；当时，在和上单调递减，即在和上单调递减，不成立；综上所述，故选：C.5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如下图所示：

因为的中点，且，则，由椭圆的定义，则，又为的中点，可得，因为，由勾股定理可得，即；又因，代入整理得：，即，解得或（舍）.故选：C.6.已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，正四面体，设其棱长为2，设的中心为，连接，延长交于，则平面且，故正四面体的高为且，所以.设球的半径为，则，则球的体积为，故体积比为7.在中，，且边上的高为，则（）A.的面积有最大值，且最大值为B.的面积有最大值，且最大值为C.的面积有最小值，且最小值为D.的面积有最小值，且最小值为【答案】D【解析】因为所以所以，又为三角形内角，所以，所以设角的对边分别为，边的高为，由三角形面积公式可得：，又，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以所以故选:D8.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（）A.函数的一个对称中心为 B.C.函数周期函数，且一个周期为4 D.【答案】C【解析】对于A，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，对于B，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B正确，对于C，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，对于D，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】对于B，当时，，，又，，或；当时，，，与矛盾，，B正确；对于A，，A错误；对于C，，，，，即，C正确；对于D，，又，，D错误.故选：BC.10.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.为偶函数B.的最小正周期为C.与在上均单调递减D.函数在上有5个零点【答案】ACD【解析】对A，，显然为偶函数，A正确；对B，由题知，，则最小正周期，B错误；对C，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，由得，在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；对D，由得，所以或，即或，因为，所以，所以函数在上有5个零点，D正确.故选：ACD11.若函数，则（）A.可能只有1个极值点B.当有极值点时，C.存在，使得点为曲线的对称中心D.当不等式的解集为时，的极小值为【答案】BCD【解析】，则，令，.A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点；当时，方程有两个不等的实数根，设为，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点；综上所述，不可能只1个极值点，故A错误；B项，当有极值点时,有解，则，即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点；故，故B正确；C项，当时，，，所以，则曲线关于对称，即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确；D项，不等式的解集为，由A项可知仅当时，满足题意.则且，且在处取极大值.即，则有，故，，又，解得，故，则，当时，，则在单调递增；当时，，则在单调递减；当时，，则在单调递增；故在处有极大值，且极大值为；在处有极小值，且极小值为；故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是等比数列，，则数列的前项和为__________.【答案】【解析】由是等比数列可得其公比，因此数列的首项为，公比，所以，即；所以数列的前项和为.故答案为：13.甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________.【答案】【解析】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个盒子中编号较大小球的概率.甲从三个盒子中各取一球，共有种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，所以，甲获得3分的概率为.故答案为：14.已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为___________.【答案】【解析】当在、上时由、，即，即；当在、上时为等腰三角形，，即，即；当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内，如图所示，则，即，又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应，又，所以若满足条件的点恰有个，则，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，则，.解：（1）：学生性别和是否喜欢运动无关.，所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.（2）训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，则，，，即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，，由（人）估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为.16.如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：如图，取棱靠近的三等分点，连结，则是的中点，因为为棱的中点，所以是的中位线，所以，因为，所以，设，因为，所以，作，连接，则，因为，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因为面，所以．又由平面平面，平面平面，平面得证.（2）解：由（1）知，．以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．令．设平面的法向量为，则即令，可得．连接，此时，，由余弦定理得，所以，所以，因为平面，所以，因为面，，所以面，故平面的一个法向量为．设平面和平面的夹角为，则，平面和平面夹角的余弦值为．17.已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.（1）比较和的大小；（2）讨论的单调性；（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.解：（1），由题知，整理得.（2）由（1）知，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）知，当时，无最小值，当时，在处取得最小值，所以，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即的最大值为.18.已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．解：（1）由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，设直线、的倾斜角分别为、（、），直线、关于直线对称，，．（2）联立，双曲线在点处的切线方程为．不妨设直线为，，，联立得，整理得，将等式看作关于的方程：两根之和，两根之积，而其中，由（1）得，直线为，过定点，又双曲线在点处的切线方程为，过点，，．19.若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.（1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围；（2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；（3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.（1）解：由“稳定数列”的定义可知,，解得，又因为，所以.（2）