2025年春华师版数学九年级下册教学课件 26.1 二次函数

26.1二次函数第26章二次函数1.

什么叫函数?

一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量

x与

y，并且对于

x

的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说

x

是自变量，y

是

x

的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？

形如

y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数.当

b

=

0

时，一次函数

y

=

kx

就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2

+

bx

+

c

=

0(

a

≠0).问题1

正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为

x，表面积为

y，则

y

关于

x的关系式为

.

y

=

6x2

此式表示了正方体表面积

y

与正方体棱长

x

之间的关系，对于

x

的每一个值，y

都有唯一的一个对应值，即

y

是

x

的函数.探究归纳二次函数的定义问题2

用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？

如图，设围成的矩形花圃为

ABCD，靠墙的一边为

AD，垂直于墙面的两边分别为AB和

CD.设

AB长为

xm

(0＜x＜10)，先取

x的一些值，进而可以求出

BC边的长，从而可得矩形的面积

ym2.将计算结果写在下表的空格中：ADBC

我们发现，当AB的长x

确定后，矩形的面积

y也就随之确定，即y是x的函数，试写出这个函数的关系式.（0＜x＜10）即

（0＜x＜10）AB长

x(m)

123456789BC长12面积y(m2)481816141086421832425048423218问题3

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出100件.该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，每天的销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大?分析：销售利润

=(售价-进价)×销售量.根据题意，得想一想，为什么要限定？问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次式表示的

y

=

6x2

想一想（0＜x＜10）二次函数的定义：

形如

y

=

ax²

+

bx

+

c

(a，b，c

是常数，且

a

≠0)

的函数叫做二次函数.温馨提示：(1)等号左边是变量

y，右边是关于自变量

x

的整式；(2)a，b，c

为常数，且

a

≠0；(3)等式右边的自变量最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结例1

下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x

是自变量)

①

y

=

ax2

+

bx

+

c；

②

y=

3

-

2x²；

③

y

=

x2；

④；⑤

y=x²+x³+25；⑥

y

=

(x+3)²

-

x².不一定是，缺少

a

≠

0

的条件.不是，右边是分式.不是，x

的最高次数是

3.典例精析y

=

6x

+

9

判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.

另外，二次函数除了有一般形式

y

=

ax2

+

bx

+

c

(a

≠

0)

外，还有其特殊形式，如

y

=

ax2，y

=

ax2

+

bx，y

=

ax2

+

c

等.方法归纳解：（1）由题意知解得（2）由题意知解得

m

=

3.

第(2)问易忽略二次项系数不为

0

这一限制条件，从而得出

m

=

±3

的错误答案，需要引起重视.注意例2

(1)当

m

取何值时，此函数是正比例函数？(2)当

m

取何值时，此函数是二次函数？二次函数定义的应用1.已知

，k取何值时，y是

x的二次函数？解：当|k|=2且

k-2≠0，即

k=-2时，y是

x的二次函数.变式训练解：由题意得所以

m≠±3.解：由题意得

【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.例3

已知二次函数

(k为常数).（1）求

k的值；（2）当

x

=

0.5

时，y

的值是多少？解：（1）由题意，得解得

k=2.将

x=0.5

代入函数关系式，得

（2）当

k=2时，二次函数的值

此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量最高次数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数关系式，再将

x的值代入其中，求出对应的

y的值.归纳总结2.

函数

y

=

(m

-

n)x2

+mx

+

n

是二次函数的条件是()A.

m，n

是常数，且

m

≠

0

B.

m，n

是常数，且

n

≠

0C.

m，n

是常数，且

m

≠

nD.

m，n

为任何实数C1.把二次函数

y

=

(2

-

3x)(6

+

x)

化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为

.-3x2-16124.已知函数y=3x2m-1－5.

①当

m=＿＿时，y是

x的一次函数；②当

m=＿＿时，y是

x的二次函数.13．下列函数是二次函数的是()A．y=2x＋1 B．

C．y=3x2＋1D．C5.若函数

是二次函数，求：（1）a的值；（2）函数关系式；（3）当

x

=

-2

时，y

的值是多少？解：（1）由题意，得解得

a=-1.（2）函数关系式为（3）将

x

=

-2

代入函数关系式中，得

6.（1）n

个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数

m

与球队数

n

有什么关系？（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是

x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是10

(万元)，那么请你写出两年后的本息和

y(万元)的表达式(不考虑利息税).y=10(x+1)²=10x²+20x+10.7.矩形的周长为16cm，它的一边长为

xcm，面积为

ycm2.求：（1）y与

x之间的函数关系式及自变量

x的取值范围；（2）当

x=3时矩形的面积.解：(1)

y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8).(2)

当

x＝3

时，y＝－32＋8×3＝15，

即矩形的面积为15cm2