专题82立体几何的直观图【5个题型归纳】【解析】

总览题型梳理总览题型梳理题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：用斜二测画法作平面图形直观图】知识讲解知识讲解用斜二测画法作平面图形的步骤如下：1.建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点。画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴与$y'$轴，两轴相交于点$O'$，且使（或），它们确定的平面表示水平面。2.平行不变：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于$x'$轴或$y'$轴的线段。3.长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。4.连接成图：连接相应的线段，擦去辅助线，就得到了平面图形的直观图。例题精选例题精选【例题1】（2324高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论.【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小，如图所示：所以的对应点画对了,的对应点画错了.故选：C.【例题2】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的正方形ABCO中点B的坐标为，则由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图中，顶点到轴的距离为．

【答案】/【分析】用斜二测画法画出正方形的直观图，然后根据直观图与原图形中线段、角度等的关系进行计算即可求解.【详解】由斜二测画法可知，在斜坐标系中，，．过作轴的垂线，垂足为,如图所示

在中，.故答案为：.【例题3】（2425高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．【答案】答案见解析【分析】运用斜二测画法画图即可.【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使．（2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使．（3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图．相似练习相似练习【相似题1】（2324高二·上海·课堂例题）在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图．【答案】答案见解析【分析】根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；【详解】解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

画对应的轴、轴，使，在轴上截取，在轴上截取，连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.【相似题2】（2324高二·上海·课堂例题）画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．

【答案】作图见解析【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，然后取，画出轴和轴；根据斜二测画法的原则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的，由此可见得到直观图.【详解】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使,第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接,第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.

【相似题3】（2425高一下·全国·课后作业）如图所示，在中，，边上的高．(1)画出水平放置的的直观图；(2)求直观图的面积．【答案】(1)作图见解析(2)【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可；（2）作，为垂足，求出即可求解．【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①，②画出对应的，轴，使，在轴上取点，，使，，在轴上取点，使，连接，，则即为的直观图，如图②．（2）在图②中，作，为垂足，，，，．【题型2：用斜二测画法作立体几何直观图】知识讲解知识讲解用斜二测画法作立体图形的步骤如下：1.建系：在立体图形中取互相垂直的轴、轴和轴，相交于点。画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴、$y'$轴和$z'$轴，相交于点$O'$，使（或），，$z'$轴垂直于平面$x'O'y'$。2.平行不变：立体图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于$x'$轴、$y'$轴或$z'$轴的线段。3.长度规则：平行于轴和轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。4.确定顶点：根据立体图形中各顶点的坐标，在直观图中相应的坐标轴上确定各顶点的位置。5.连接成图：依次连接各顶点，得到立体图形的直观图。对于被遮挡的部分，可以用虚线表示，以增强立体感。例题精选例题精选【例题1】（2223高一下·全国·课后作业）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（

）A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cmC．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm【答案】C【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解.【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，又因为斜二测画直观图的画法：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变.所以该建筑物按的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm，0.5cm，2cm和1.6cm．故选：C.【例题2】（2324高二·上海·课堂例题）画出棱长为3cm的正方体的直观图．【答案】答案见解析.【分析】先画底面图形，按照横不变，纵减半，指的是和x轴重合或者平行的线段长度不变，和y轴平行或者重合的线段长度减半，画出底面的平行四边形；再就是z轴的方向上的线段长度不变，画出长方体的高，连接各个顶点即可．【详解】(1)作水平放置的正方形的直观图，使，.(2)过点A作z′轴，使，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取.(3)连接如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．

【例题3】（2425高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图．【答案】作图见解析【分析】利用斜二测画法可得直观图.【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中；（2）在轴的正半轴上截取线段，在轴的正半轴上截取线段，过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点为，平行四边形为长方体的底面的直观图，（3）在轴的正半轴上截取，过分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取，（4）顺次连接，由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图.相似练习相似练习【相似题1】（2223高一·全国·随堂练习）画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图.【答案】直观图见解析【分析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解.【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形；第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm；第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形；第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：

【相似题2】（2223高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．【答案】图形见解析【分析】根据斜二测画法规则，画出该三棱柱的直观图即可．【详解】①取的中点，画，用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，；②画平面，在上截取；画出，；，，且与交于点，如图所示；

③连接、、，即得正三棱柱，④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：

【相似题3】（2223高一·全国·随堂练习）用斜二测画法画出下列图形：(1)水平放置的边长为5cm的正方形；(2)水平放置的梯形和平行四边形；(3)长、宽、高分别为5cm，2cm，3cm的长方体．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】根据斜二测画法的特点求解即可.【详解】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴（如图1（1）），画出对应的，轴，使，，（如图1（2）），即四边形即为正方形的直观图.

（2）仿照正方形的直观图的画法：水平放置的梯形（如图2（1））的直观图（如图2（2）），

水平放置的平行四边形（如图3（1））的直观图（如图3（2）），

（3）先画出水平放置的长、宽分别为5cm，2cm的长方形的直观图，其中，，再作垂直于平面，在轴上截取，进而补充出长方体即为直观图.

【题型3：原图与直观图长度的关系】知识讲解知识讲解在斜二测画法中，原图与直观图的长度关系如下：平行于轴的线段：长度不变。例如，在平面直角坐标系中，若有一条线段AB平行于轴，，，那么在斜二测画法画出的直观图中，A'B'的长度与AB长度相等，即。平行于轴的线段：长度变为原来的一半。例如，有线段$CD$平行于轴，，，则在直观图中C'D'的长度为CD长度的一半，即。平行于轴的线段：长度不变。在立体图形的斜二测画法中，若有线段EF平行于轴，那么其在直观图中的对应线段E'F'长度与EF长度相等，即。例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形求解.【详解】根据斜二测画法还原得下图：因为四边形是边长为的正方形，则，所以，，又因为，，则，同理可得，，因此，原图形的周长为.故选：B.【例题2】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果.【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图.按照斜二测画法规则，由，得直角梯形中，，.过作，交于，则，所以直角梯形边的长度为，故选：B.【例题3】（2425高二上·北京海淀·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得.【详解】根据题意，轴，轴，故，又，则，，在平面图直角坐标系中，有，于是，，，，所以的周长为.故选：C.相似练习相似练习【相似题1】（2425高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解.【详解】解：还原四边形，如图所示：依题意可得：．取的中点，连接，则，且，故.故选：B.【相似题2】（2425高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（

）A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是【答案】B【分析】画出原图可得答案.【详解】如图，画出原图，在原平面图形中，是钝角，从而．故选：B.【相似题3】（2122高一下·上海闵行·期末）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则．

【答案】【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边.【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形，，边上的高为，按“斜二测”画法如下图所示，，在三角形中，，

由余弦定理得.故答案为：【题型4：原图与直观图面积的关系】知识讲解知识讲解以三角形为例：设原三角形$ABC$，$AB$边平行于轴，点到$AB$的距离为（即$AB$边上的高）。在斜二测画法下，$AB$长度不变，仍为，点到$AB$的距离在直观图中变为$h'$，根据斜二测画法的规则，$h'$是原高的一半再乘以，即。那么原三角形面积，直观图三角形面积。推广到任意多边形：任意多边形都可以分割成若干个三角形，由于每个三角形的直观图面积都是原三角形面积的，所以整个多边形的直观图面积也是原多边形面积的。推广到一般平面图形：对于曲线围成的平面图形，可通过将其分割成无数个小三角形或小矩形等基本图形，再利用极限的思想，同样可以得出直观图面积是原图形面积的。例题精选例题精选【例题1】（2425高一下·河北邯郸·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（

）

A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解.【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，

故的面积为，故选：B．【例题2】（2425高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积.【详解】在梯形中，，则该梯形的高为，梯形的面积为，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，所以平面图形的面积.故选：D【例题3】多选题（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的面积为 D．四边形的周长为【答案】BC【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长.【详解】A选项，过点作⊥轴于点，因为等腰梯形中，，所以，又，所以，A错误；B选项，由斜二测法可知，B正确；C选项，作出原图形，可知，，，⊥，故四边形的面积为，C正确；D选项，过点作⊥于点，则，由勾股定理得，四边形的周长为，D错误.故选：BC相似练习相似练习【相似题1】多选题（2021高一下·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误.【详解】如图所示，在直观图中，过作于，.又，所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图：那么有，故选项B正确；又因为，故选项A､C错误；而，故选项D正确.故选：BD.【相似题2】（2425高二下·上海浦东新·开学考试）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是.【答案】/【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解.【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得，所以原的面积.故答案为：.【相似题3】（2425高二上·上海金山·阶段练习）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是．【答案】【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论.【详解】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为，所以，又，所以.故三角形的面积是．故答案为：.【题型5：斜二测画法中的中等题型】例题精选例题精选【例题1】（2324高一下·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长.【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即，在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点作轴，并使，连接，则即为原来的图形，如图②所示：原图形中，于点，则BD为原图形中边上的高，且，在直观图③中作于点，则的面积，在直角三角形中，，所以，故原图形中AC边上的高为．故选：D．【例题2】（2223高一下·河南驻马店·期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的原图形，结合三角形的几何性质可求得中边上的中线长.【详解】在直观图中，，且，则，故，又因为，则，可得，故为等腰直角三角形，所以，，故轴，依据题意，作出的原图形如下图所示：

延长至点，使得，则为的中点，由题意可知，，，，且，所以，且，故四边形为平行四边形，则，取的中点，连接，因为、分别为、的中点，则.故选：D.相似练习相似练习【相似题1】多选题（2425高三上·广东湛江·阶段练习）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（

）A．的最小值小于 B．的最大值小于C．的最小值大于 D．的最大值大于【答案】AD【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果【详解】对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质，另一条边与轴重合，如图所示，由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角.而由斜二测图性质，，过作的垂线，则，即，故的最小值小于，故正确；过作的垂线，易有，且，故，则的最大值大于，故B错误；对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则，即，其中，则最小值为，最大值为，故C错误，D正确.故选：AD.【相似题2】（2223高一下·浙江温州·期中）如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点P，则在原图中下列说法正确的是（

）A．四边形ABCD的面积为14B．与同向的单位向量的坐标为C．在向量上的投影向量的坐标为D．最小值为13【答案】AB【分析】根据直观图可得四边形为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A；以点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据与同向的单位向量为，即可判断B；根据在向量上的投影向量的坐标为即可判断C；设，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】由直观图可得，四边形为直角梯形，且，则四边形的面积为，故A正确；如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，则，所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；，则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；设，则，则，，当时，取得最小值，故D错误.故选：AB.课后针对训练课后针对训练一、单选题1．（2324高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（

）A． B． C． D．52．（2425高一下·湖南常德·阶段练习）一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．4 B． C． D．3．（2122高一下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·四川乐山·阶段练习）如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（

）

A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、多选题5．（2425高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2425高二上·上海·阶段练习）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形面积是.

7．（2425高二上·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为．8．（2425高二上·上海·期中）若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图.已知，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为.9．（2425高二上·上海·阶段练习）如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为.四、解答题10．（2425高二·上海·课堂例题）已知正三角形边长为2cm，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹）11．（2223高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3cm的正四棱锥的直观图．12．（2223高一下·全国·课后作业）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2．参考答案题号12345答案ABBDCD1．A【分析】由直观图知原几何图形是直角梯形再结合勾股定理求出对角线即可.【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，由斜二测法则知，，所以．故选：A．2．B【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积.【详解】还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，所以原图形面积为.故选：B3．B【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案.【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，其中，因此有，所以原图形的周长为.故选：B.4．D【分析】根据斜二测画法的原则，可得原平面图形中，且，即可判断的形状.【详解】中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以中，，所在直线分别与轴，轴平行，所以，因为，所以，即，所以是直角三角形.故选：D.5．CD【分析