辽宁省凌源市教育局2025年高三1月检测试题数学试题文试题含解析

辽宁省凌源市教育局2025年高三1月检测试题数学试题文试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-23．已知集合，，则的真子集个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知为等比数列，，，则（）A．9 B．－9 C． D．5．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或57．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．48．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．29．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则11．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）A． B． C． D．12．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值为_______.14．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．15．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.16．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.18．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.19．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.20．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．21．（12分）在中，角，，的对边分别为，其中，.（1）求角的值；（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.22．（10分）已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为，，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故选：D．本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．D【解析】

由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.3．C【解析】

求出的元素，再确定其真子集个数．【详解】由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．4．C【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.【详解】∵,∴,又,可解得或设等比数列的公比为,则当时,,∴；当时,,∴.故选：C．本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.5．C【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．本题考查程序框图，是基础题．6．B【解析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于，所以，又且，故选：B.本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.7．C【解析】

方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.【详解】方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，则，所以，又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，所以，所以．方法二：抛物线的准线方程为，直线由题意设两点横坐标分别为，则由抛物线定义得又①②由①②得.故选：C本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.8．D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．9．B【解析】

根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【详解】易知，且故有，则故选：B本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题10．D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.11．A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题12．A【解析】

因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4，当时，，，，.故选：A.本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

算法的功能是求的值，根据输出的值，分别求出当时和当时的值即可得解．【详解】解：由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，可得：，或（舍去）；当时，，可得：（舍去）．综上的值为：．故答案为：．本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．14．3【解析】

设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），因此AB•，同理可得：AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t，得S.∵t2，∴S△ABC.当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.解之得a＝3或a.∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.故答案为：3.本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.15．3000【解析】

根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，则，该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为：.本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.16．【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：故答案为：本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分两种情况讨论：①两切线、中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线、的斜率都存在，可设切线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出关于的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为，进而可得出结论；（2）求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出，换元，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由于点在半圆上，则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为，或，，此时；②当两切线、的斜率都存在时，设切线的方程为（、的斜率分别为、），，，，.综上所述，；（2）根据题意得、，，令，则，所以，当时，，当时，.因此，的取值范围是.本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.19．（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．【详解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3．本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．20．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．【详解】（1）设，则，，，，由题意得，，椭圆的方程为；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，当时，设直线的倾斜角为，则，，，，∴当时，，，．当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为2．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力