电路与模拟电子技术基础（第5版）课件 第三章 正弦稳态电路的分析

第3章正弦稳态电路的分析第3章正弦稳态电路的分析3.1正弦交流电的基本概念3.2正弦量的相量表示3.3基尔霍夫定律的相量表示3.43种基本元件伏安关系的相量形式3.5简单正弦交流电路3.6正弦稳态电路分析3.7正弦稳态电路的功率3.8交流电路的频率特性3.9三相电路1正弦交流电瞬时值的一般表达式为：u=Um

sin(ωt+θ

u)i=Im

sin(ωt+θ

i)可见，每个正弦量都包含三个基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角频率ω和初相位（

θu

、θi

）。它们是区别不同正弦量的依据。角频率最大值（也称为幅值）初相角3.1正弦交流电的基本概念正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。21、周期和频率周期一个基本波形所占用的时间，单位是秒(s)，以T表示。频率周期的倒数，，单位是赫兹[Hz]角频率ω

表示正弦量变化快慢：单位时间内正弦函数变化的角度。单位是弧度/秒[rad/s]。3最大值（幅值）表示正弦量大小:是正弦量瞬时值中最大的值。一般用大写字母加下标m

表示。交流电的有效值与交流电热效应相等的直流电定义为交流电的有效值。用大写字母I、U

表示。2、幅值和有效值4则有反之，则有

对电压，有注意：交流电压表与交流电流表测量的数据为有效值,交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。2、幅值和有效值5

初相位表示正弦量初始值

：表示正弦量在t=0时刻的相角。其值与计时起点有关，一般用−π<θ

≤π的角度来表示。相位差：两个同频正弦量的相位之差。如：u、i

的初相位分别为θu

、θi

，则u、i

的相位差为3、相位和相位差6如果φ>0，称u超前i，或i滞后u；如果φ

<0，称i超前u，或u滞后i.3、相位和相位差注意：两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。不同频率的正弦量之间比较相位差没有意义。7φ

=θu

–θi<0电流超前电压

φ

=θu

–θi

=−900电流超前电压9003、相位和相位差8φ

=θu

–θi

=00电压与电流同相φ

=θu–θi=1800电压与电流反相3、相位和相位差94、例题解：u、i同频率，可以求其相位差，为求相位差，需要统一为sin表达式【例3.1.1】

正弦电压(V)，(A)。试求相位差，并说明超前滞后关系。i超前于u90°，或u滞后于i

90°10在平面坐标上的一个旋转矢量可以表示出正弦量的三要素设正弦量:3.2正弦量的相量表示矢量长度=Um

矢量以角速度ω按逆时针方向旋转矢量与横轴夹角=初相位θ旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值。1、旋转矢量表示正弦量112、正弦量的相量表示在同一线性正弦电路中，各正弦量为同频正弦量在分析电路时可以不考虑旋转(认为所有线段都以角频率ω旋转)此时的有向线段，可以用复数来表示它，因此，对于正弦量，也可以用复数来表示。只需画出有向线段在t=0时的初始位置即可表示各正弦量之间的大小和相位关系。表示正弦量的复数称为正弦量的相量，用大写字母上面加圆点“·”来表示12复平面图中复数A=a+jb，a

为实部，b

为虚部。2、正弦量的相量表示采用复数坐标，实轴与虚轴构成的平面称为复平面。复数的模复数的辐角实部虚部复数还可以写成或者(广义)13有效值相量可以表示为瞬时值2、正弦量的相量表示幅值相量也可写为或有效值相量可以表示为瞬时值幅值相量也可写为或推荐采用有效值相量分析电路！幅值相量下标有m

14【例1】

电压相量形式为或者注意：相量是一个与时间无关的复值常数，所以它可以表示正弦量，但不等于正弦量。相量与正弦量之间的关系是一一对应的关系，用双箭头表示，即或或3、例题15【例2】

电流相量表示的瞬时值为在研究多个同频率正弦交流电的关系时，按正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出若干个相量的图形，称为相量图。3、例题两个例题的相量图电压相量163、例题±j，±1为90o旋转因子欧拉公式【例3】写出下列正弦量的电压相量并画出相量图+j+1o17复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。+1O+jA1+

A2A1A2OA2+j+1A1A1+

A24、复数的平行四边形法则183.3基尔霍夫定律的相量表示基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对于随时间变化的电压与电流，在任何瞬间都是适用的。在正弦交流电路中，各个电压与电流都是同频率的正弦量，基尔霍夫定律可以用相量形式来表示。基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律的一般形式为19【例1】电路如图(a)所示,已知试求电流i(t),画出相量图。解：将电流的瞬时值形式写成相量形式根据相量形式画出电路的相量模型列出图(b)中相量形式的KCL方程3.3基尔霍夫定律的相量表示20解得由相量形式写成瞬时值表达式画出相量图，见图（c)或图(d)。3.3基尔霍夫定律的相量表示21根据瞬时值写出相量，或者根据相量写出瞬时值都是比较简单的。所以，作为已知条件可以直接给出相量形式，最后答案给出相量形式也就可以了。3.3基尔霍夫定律的相量表示瞬时值形式和相量形式是同一个电流的两种表达式，但二者不是相等的关系22

解：对于图(a)中的回路，沿顺时针方向，列出的相量形式KVL方程3.3基尔霍夫定律的相量表示【例2】

电路如图(a)所示，试求电压源电压相量

，画出相量图。已知23解得其相量图如图(a)和图(b)所示。3.3基尔霍夫定律的相量表示24由欧姆定律:（1）

频率相同（2）

有效值U=RI（3）相位差若得对照电压与电流，可见3.4三种基本元件伏安关系的相量形式（1）电压与电流的关系1、电阻元件25电压与电流的关系可以表示为这是欧姆定律的相量形式。复数相等是模与角分别相等。此式表明有效值相量形式的电阻元件符号见图。相位关系电阻的模型和向量图阻压同相1、电阻元件26①频率相同②有效值U=L

I

③电压超前电流90

相位差（1）电压与电流的关系设2、电感元件则27则

XL

称为电感电抗，简称感抗，单位为欧姆(Ω)。定义有效值

用相量形式写出电感电压与电流之间的关系这是电感电路中欧姆定律的相量形式，既表示了电压与电流有效值之间的关系，也反映了二者之间的相位差。2、电感元件28电感电路相量形式的欧姆定律相量图感压超前2、电感元件29【例1】把一个L=0.01H的电感接到f=50Hz,U=220V的正弦电源上，(1)求电感电流

I

;(2)如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时

I

为多少？解：(1)

当f=50Hz

时2、电感元件30(2)

当f=5000Hz

时2、电感元件解：(1)

当f=50Hz

时电感具有通低频，阻高频作用；通直流，阻交流。31【例2】

一只L=20mH的电感元件，通有电流求(1)感抗XL；(2)线圈两端的电压u。解：（1）(2)线圈两端的电压u2、电感元件32（1）电流与电压的关系①频率相同②有效值I=CU③电流超前电压90

则若3、电容元件对照电流与电压的表达式33或则有效值XC称为电容电抗，简称为容抗，单位为欧姆（Ω）。

用相量形式写出电容电压与电流之间的关系定义3、电容元件34电容电路中相量形式的欧姆定律容压滞后相量图3、电容元件35解：(1)当f=50Hz时：【例3】

把一个电容C=31.85×10－6F,接到

f=50Hz,的正弦电源上，试求(1)求电容电流;(2)如保持U不变，而电源f=106Hz,这时为多少？3、电容元件36(2)当f=106Hz

时3、电容元件解：(1)当f=50Hz时：电容具有通高频，阻低频作用；通交流，阻直流。37【例3.4.1】

在图1中，电容两端的电压，u=6sin(3t)(V),

C=0.5F

,求电流i。解：由于u与i是非关联参考方向，故图1

例4电路3、电容元件38参数LCR基本关系阻抗相量式相量图4、小结393.5

简单正弦交流电路

对应的相量形式为设电流则1、RLC串联交流电路40由KVL得1、RLC串联交流电路41其中是感抗与容抗之差，称为电抗，单位为欧姆(Ω)。而称为称为阻抗(也称为复阻抗)，，实部为电阻，虚部为电抗。阻抗是复数，但不是表示正弦量，所以大写字母上面不加“点”。1、RLC串联交流电路42阻抗的模阻抗的辐角称为阻抗角R，

X，〡

Z

〡三者之间构成直角三角形，称为阻抗三角形，见图（d）。1、RLC串联交流电路431、RLC串联交流电路

当XL>XC时，

，电压超前电流，电路呈电感性，称为感性电路；当XL<XC时，，电压滞后电流，电路呈电容性，称为容性电路；当XL=XC时，，电压与电流同相，电路呈电阻性，称为电阻性电路。RLC串联电路，包含了3种性质不同的参数，是具有一般意义的典型电路，而单一参数的电路可以看做是RLC串联电路的特例。44解：画出相量模型如图(b)所示

1、RLC串联交流电路【例】已知，求图(a)所示电路的电流i及电压uC，指明电路是感性电路还是容性电路。所以电路的电压超前电流，为感性电路45解：电容两端的电压

1、RLC串联交流电路【例】已知，求图(a)所示电路的电流i及电压uC，指明电路是感性电路还是容性电路。462、阻抗的串并联可以看出，这里的分析方法和结论与直流电阻电路串联很类似。与直流电阻电路类似，Z称为等效阻抗。与直流电阻电路串联时的分压公式类似，这里是分压公式(1)阻抗的串联47(1)、阻抗的串联显然，多个阻抗串联时的等效阻抗为Z=Z1+Z2+Z3+….对应的分压公式为：注意：并不保证U≥Uk，即分电压可以大于总电压48(2)、阻抗的并联对照得到2个阻抗并联时等效阻抗为49分流公式：阻抗的倒数称为导纳(也称复导纳)。3、复导纳可见导纳的模与阻抗的模互为倒数，导纳的辐角是阻抗辐角的负数。(2)、阻抗的并联50(3)、导纳当并联支路较多时，应用导纳计算比用阻抗计算要简单。对应的分流公式为：注意：同样不保证I≥Ii，即支路电流可以大于总电流。51【例1】图中R=10Ω,XL=15Ω，XC=8Ω,电路端电压

=120∠00V,求（1）

电流

，

，

和

；（2）画出相量图；（3）电路的等效阻抗和等效导纳。解：电路电流(4)、例题52（2）画出相量图。画相量图时可以只画出参考相量，不画出坐标轴。以电压作为参考相量，见右图。(4)、例题53（3）电路的等效阻抗和等效导纳(4)、例题54【例2】：求阻抗Zab【例3】：图中交流电压表V1的读数为6V，V2的读数为10V，求V的读数解：解：对应的相量图如下图，得

所以读数为11.66伏

(4)、例题553.6正弦稳态电路的分析引入了阻抗的概念后，就能将第一章的直流电阻电路和正弦稳态电路建立如下的对应关系直流电阻电路的分析方法及定律可以完全用到正弦稳态电路的分析中来563.6正弦稳态电路的分析解：电路阻抗

【例1】图中

=220∠0°V,求

电流

，

和

。电路总的阻抗57总的电流3.6正弦稳态电路的分析用分流公式计算另外2个电流58【例3.6.1】已知利用支路电流法求图3.6.1(a)所示电路的电流i。解：以iS为参考相量，画出相量模型，如图(b)

图3.6.1例3.6.1电路3.6正弦稳态电路的分析59由KCL和KVL得3.6正弦稳态电路的分析(A)(A)603.6正弦稳态电路的分析【例3.6.2】

已知iS1=0.5sin(4t)(A)，iS2=sin(4t−45˚)(A)，uS=6cos(4t)(V)，试用叠加原理求图3.6.2(a)所示的电流i。解：由时域电路画出相量模型如图(b)图3.6.2

例3.6.2电路图613.6正弦稳态电路的分析(1)iS1单独作用时，电路如图(c)所示，由分流公式得623.6正弦稳态电路的分析(2)iS2单独作用时，电路如图(d)所示，由分流公式得(方向相反)633.6正弦稳态电路的分析(3)uS单独作用时，电路如图(e)所示，得(非关联方向)643.6正弦稳态电路的分析(4)总电流为i(t)=1.298sin(4t-107.24˚)(A)65

【例3.6.3】

已知uS=5sin5t(V)，试用戴维南定理求图3.6.3(a)中的电压u。解：将时域模型转化为相量模型如图3.6.3(b)所示。图3.6.3.

例3.6.3电路图3.6正弦稳态电路的分析66

（1）计算3.6正弦稳态电路的分析（2）计算从a、b端看进去的等效阻抗Zo为67其对应的等效电路如图(c)所示，由分压公式得3.6正弦稳态电路的分析68设：图1

单口网络两倍电源频率3.7

正弦稳态电路的功率瞬时功率实际意义不大，通常引用平均功率的概念1、瞬时功率692、有功功率及功率因数λ=cos

称为功率因数平均功率或称为有功功率，用大写字母P表示，单位为瓦（W)或千瓦（kW）

称为功率因数角702、有功功率及功率因数对于纯电阻电路，，有功功率为对于纯电感电路，，有功功率为对于纯电容电路，，有功功率为只有电阻消耗有功功率，动态元件不消耗有功功率！712、有功功率及功率因数当为感性负载时，因为电流滞后电压角，所以称功率因数λ滞后。当为容性负载时，因为电流超前电压角，所以称功率因数λ超前。λ=cos

无源单口网络吸收的总有功功率P等于各支路吸收的有功功率之和。723、无功功率和视在功率瞬时功率瞬时功率可分为不可逆部分和可逆部分，前者体现为单口网络对电能的消耗，而后者体现为单口网络与外电路的能量交换其能量交换的幅度为，将此幅度定义为无功功率，用Q表示

73对于纯电阻电路，无功功率为对于纯电感电路，无功功率为对于纯电容电路，无功功率为3、无功功率和视在功率无源单口网络的总无功功率Q等于电路中各储能元件的无功功率之和。单位为乏(var)743、无功功率和视在功率无论是有功功率还是无功功率，其值都小于电压与电流有效值的乘积将此乘积定义为视在功率，用S表示，单位是伏安（VA)

常情况下，电气设备工作时电压和电流不能超过其额定值，视在功率表征了电气设备“容量”的大小电气设备的额定视在功率也称为额定容量75可以看出，平均功率，视在功率和无功功率三者之间三者之间构成一个直角三角形，称为功率三角形。见图3、无功功率和视在功率76电压三角形、阻抗三角形、功率三角形为相似三角形，其中阻抗和功率不是相量，所以三角形的边不用画矢量箭头，他们之间的关系如图。根据图中所示关系可得到功率与电压、电流以及阻抗之间的关系。3、无功功率和视在功率773、无功功率和视在功率有功功率W无功功率var视在功率S=UIVA功率因数(感性/容性，超前/滞后)78【例1】图中电路，U=240V,R1=28Ω,XL=96Ω，R2=48Ω,XC=64Ω

。求各支路及总的平均功率，无功功率和视在功率。解：各支路阻抗为4、例题79以电压为参考相量，各支路电流及总电流4、例题80对于支路

14、例题814、例题对于支路282电路总功率4、例题83讨论：可以看出4、例题844、例题【例3.7.2】在图3.7.6(a)的单口网络中，已知(V)。求单口网络串并联等效阻抗及网络吸收的P、Q、S和λ(a)

时域模型(b)

相量模型图3.7.6例3.7.2电路图854、例题(b)

相量模型解：(容性)865、功率因数的提高提高有功功率在视在功率中的比重，充分利用电力设备容量；提高了P，就降低了Q，减少了电源与负载间徒劳往返的能量交换；1)提高电力设备的利用率一般用户：异步电机空载

=0.2~0.3

满载=0.7~0.85日光灯=0.45~0.6电冰箱=0.551、提高功率因数的意义875、功率因数的提高当负载的有功功率P和电压U一定时，提高λ可以减小线路中的电流I，降低线路损耗。解决办法：（1）高压传输（2）提高功率因数1)改进自身设备2)并联电容，提高功率因数如何提高功率因数？2)降低传输线路损耗882、并联电容提高感性负载的功率因数分析感性负载P显然并联电容后电路仍呈感性比并联电容后电路变成容性所需电容要小。892、并联电容提高感性负载的功率因数并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。特点：并联电容的确定：可作为公式使用90【例3.7.1】某工厂使用的感应电动机为感性负载，负载电压220V，频率50Hz，感应电动机功率100kW，功率因数0.6，为使功率因数提高到0.9，问至少需要并联多大的电容？并联前后输电线上的电流为多大？图3.7.5例3.7.1电路3、例题解913、例题未并电容时：并联电容后：【例2】若要使上例中功率因数从0.9再提高到0.95,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？解923、例题cos

提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos

所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos

提高到0.9即可。933.8交流电路的频率特性3.8.1滤波电路对于信号频率具有选择性的电路称为滤波电路。其主要功能是传送输入信号中的有用频率成分，衰减或抑制无用的频率成分。本节主要讨论由R、C组成的滤波电路。941、滤波电路的种类或：式中：称为相频特性，即相位与频率的关系两者合称为频率响应或频率特性称为幅频特性，即幅值与频率的关系滤波电路为一双口网络，其电压传递函数为951、滤波电路的种类按照其幅频特性，通常可将滤波电路分为如下的四种类型低通滤波器(LPF:Low-passfilter)高通滤波器(HPF:High-passfilter)带通滤波器(BPF:Band-passfilter)带阻滤波器(BRF:Band-rejectionfilterI)

96低通滤波器（LPF）通带放大倍数通带截止频率下降速率理想幅频特性无过渡带用幅频特性描述滤波特性，要研究

、(fP、下降速率)。1、滤波电路的种类971、滤波电路的种类98可求得空载时电压放大倍数（也称电压传递函数）为

式中fH称为低通电路的上限截止频率（或称为转折频率）2、RC低通滤波电路令99波特图：①横轴采用对数刻度lg

f

，但常标注为f；②幅频特性的纵轴采用20lg|Au|表示，称为增益，单位是分贝(dB)；③相频特性的纵轴仍用φ表示。2、RC低通滤波电路

几倍到上百万倍几Hz到几百MHz幅频特性相频特性1002、RC低通滤波电路当

f=fH

时,

=0.707,20lg=－3db，

fH为上限截止频率通频带幅频特性曲线：输入电压一定，频率越高，输出电压越小该电路的低频信号比高频信号更易通过，故称低通滤波电路相频特性：输出电压总是滞后输入电压，故又称滞后网络101相频特性幅频特性下限频率3、RC高通滤波电路电压传递函数1023、RC高通滤波电路

由幅频特性曲线可知，该电路对高频信号有较大输出，而对低频分量衰减很大，故称高通滤波电路，而由相频特性曲线可知，输出电压总是超前输入电压，故又称超前网络。当

f=fL

时,

=0.707,20lg=－3db，

fL为上限截止频率通频带1033、RC高通滤波电路（2）当输入信号的频率等于上限频率或下限频率时，放大电路的增益比通带增益下降3dB，或下降为通带增益的0.707倍，且在通带相移的基础上产生45o或-45o的相移。（1）电路的截止频率决定于相关电容所在回路的时间常数RC低通、高通滤波器具有普遍意义的结论：1044、带通滤波器

fBW=fH-fLfH＞fL(a)原理框图(b)理想的幅频特性1054、带通滤波器由RC的串并联分压也可构成带通滤波器令，即1064、带通滤波器f1

下限截止频率f2上限截止频率通频带宽度fBW=f1−f2

f=f0时，幅值最大，相移为零107fH＜fL5带阻滤波器(a)原理框图(b)理想的幅频特性108讨论频率趋于零，电压放大倍数趋于通带放大倍数的滤波器有哪几种？频率趋于无穷大，电压放大倍数趋于通带放大倍数的滤波器有哪几种？频率趋于零，电压放大倍数趋于零的滤波器有哪几种？频率趋于无穷大，电压放大倍数趋于零的滤波器有哪几种？低通，带阻高通，带阻高通，带通低通，带通109发生在RLC串联电路中的谐振称为串联谐振。3.8.2串联谐振对于一个含有RLC的单端口网络，如果其阻抗角，由前面的知识可以知道此时电路的电压与电流同相，电路呈现电阻性，称此时的电路发生了谐振。最常用的谐振电路是串联谐振和并联谐振电路110阻抗模为3.8.2串联谐振图示RLC串联电路，其阻抗为ω<ω0容性ω>ω0感性ω

=ω0电阻性|Z|的频率特性曲线111若电路处于谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足即发生谐振时的角频率为谐振频率(也称为电路固有频率)为3.8.2串联谐振只要激励频率和电路固有频率相等，即f=f0，电路就会发生谐振(1)调节电路参数L、C，使其固有频率与激励频率相同；(2)改变激励频率，使其等于电路固有频率。112RLC串联谐振电路串联谐振电路相量图3.8.2串联谐振当时，Z=R谐振1131、串联谐振电路的主要特点（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）串联阻抗最小，电流最大，由于Z=R，故电流为（3）电感电压与电容电压大小相等相位相反，之和为零，电阻电压等于电源电压。（4）谐振时电感电压与电源电压之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）通常Q>>1114电力工程中要避免高压击穿，电子工程中利用以获取高压无线接收机：LC串联谐振

改变C→对f谐振→该频率I最大→uC最大(选择信号，抑制干扰)2、串联谐振的应用注意：Q>>1，电感电压与电容电压谐振时通常远远大于电源电压。因此，串联谐振也称为电压谐振。1153、串联谐振电路用作带通滤波器其归一化幅值与频率f及品质因数Q的关系如左图所示经过推导，其带宽为116解：谐振频率为3.8.2串联谐振【例1】RLC串联电路中，已知R=100Ω，L=159mH，C=1590pF，

求(1)谐振频率

f0及该电路的品质因数Q；(2)谐振时电阻、电感、电容上的电压有效值；(3)组成的带通滤波器带宽

。117该电路的品质因数Q

3.8.2串联谐振电阻电压为电感和电容上的电压为带宽为1183.8.3并联谐振发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振若电路处于谐振状态，电流与电压同相位，导纳应为纯电导，必须满足RLC并联谐振电路电路的等效导纳为称为电纳119发生谐振时的角频率为谐振频率为这两个表达式与串联谐振时相同。3.8.3并联谐振120（3）电感电流与电容电流大小相等相位相反，之和为零，互相补偿，电路总电流等于电阻电流。（4）谐振时电感电流与总电流之比称为品质因数，用Q表示注意：Q>>1，电感电流与电容电流在谐振时常远远大于电源电流。故并联谐振称为电流谐振。1、并联谐振电路主要的特点通常Q>>1（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）并联阻抗最大，电流最小，由于Z=R，故电流为1212、并联谐振电路用作滤波电路并联谐振电路也是一个带通滤波电路滤波器的中心频率为f0，带宽为1223.9

三相电路三相电路由三相电源、三相负载和三相输电线路三部分组成。1、三相电源三相电源是三个频率相同、振幅相同、相位彼此相差120°的正弦电源。通常由三相同步发电机产生1231、三相电源各电压源电压分别为uA、uB和uC，称为A

相、