第三单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第三单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】专题解读本专题是第三单元长方体和正方体·表面积篇。本部分内容包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题等，其中立体图形切拼引起的表面积的增减变化是重点和难点，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】长方体的表面积 3【考点二】长方体的表面积与生活实际应用 4【考点三】长方体的展开图与表面积 5【考点四】正方体的表面积 6【考点五】正方体的表面积与生活实际应用 7【考点六】正方体的棱长扩倍问题 8【考点七】长方体的棱长扩倍问题 8【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题 9【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题 10【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化 12【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积 14【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体） 15典型例题【考点一】长方体的表面积。【方法点拨】1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决。3.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积，例如：【典型例题】一个长20cm、宽6cm、高18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要()cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。【对应练习1】一个长方体形状的铁盒，长1.2分米，宽0.8分米，高15厘米，如果围着它的侧面贴一圈商标纸，至少需要商标纸()平方分米。【对应练习2】一种方形通风管的底面边长是8厘米，长是120厘米，做5节这样的通风管，需要铁皮()平方分米。【对应练习3】如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处4厘米，需要()平方分米商标纸。

【考点二】长方体的表面积与生活实际应用。【方法点拨】1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积，例如：【典型例题】一节长方体通风管长是2米，宽和高都是20厘米，如果做16节这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？【对应练习1】学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？【对应练习2】社区准备为居民发放防疫物资。定制了100个手提袋，制作这批手提袋总共需要多少平方米的纸板？（如图，接口处忽略不计）

【对应练习3】淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？【考点三】长方体的展开图与表面积。【方法点拨】利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。【典型例题】下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？【对应练习1】如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。【对应练习2】下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm）【对应练习3】下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面）（1）如果面在下面，那么()面在上面。（2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么()在左面，()在上面。（3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？【考点四】正方体的表面积。【方法点拨】正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。【典型例题】一个正方体墨水盒，棱长为5厘米。这个正方体墨水盒的表面积是()平方厘米。【对应练习1】一个正方体的棱长是5分米，它的棱长总和是()分米，表面积是()平方分米。【对应练习2】焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是()cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是()cm2。【对应练习3】灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条()厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸()平方厘米。【考点五】正方体的表面积与生活实际应用。【方法点拨】正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。【典型例题】中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？【对应练习1】制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？【对应练习2】明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？【对应练习3】一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？【考点六】正方体的棱长扩倍问题。【方法点拨】如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。【典型例题】一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大()倍。【对应练习1】一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就()。A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍【对应练习2】把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积()。A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍【考点七】长方体的棱长扩倍问题。【方法点拨】长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。【典型例题】一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大()倍。A．2

B．4

C．8【对应练习1】长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大()。A．3倍 B．9 C．27倍【对应练习2】一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大()。A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题1】长方体和正方体的切割。一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是()平方厘米。【对应练习1】一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加()平方厘米。

【对应练习2】一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成()个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加()cm2。

【典型例题2】表面积的最值问题。把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加()cm2。【对应练习1】把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加()平方分米。【对应练习2】把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加()平方分米，表面积最多增加()平方分米。【对应练习3】一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是()cm2，最大是()cm2。【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题1】正方体的拼接。如图：(1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少()个面，三个正方体拼在一起减少()个面；每增加一个正方体减少()面。(2)n个小正方体拼在一起减少()面。(3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是()平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是()平方厘米。【对应练习1】两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是()平方厘米。【对应练习2】用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是()平方厘米，比原来表面积减少()平方厘米。【对应练习3】小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩()个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是()平方厘米。【典型例题2】长方体的拼接与表面积的最值问题。用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是()平方厘米。【对应练习1】两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是()平方厘米。【对应练习2】用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是()cm2，最小是()cm2。【对应练习3】将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是()，最小是()。【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化。【方法点拨】长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？【对应练习1】一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？【对应练习2】一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？【对应练习3】一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？【对应练习1】一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。【对应练习2】一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【对应练习3】如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？【考点十一】不规则