第三单元长方体和正方体·总集篇·六种综合性问题【六大考点】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年2月24日2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列第三单元长方体和正方体·总集篇·五种综合性问题【六大考点】专题解读本专题是第三单元长方体和正方体·总集篇·五种综合性问题。本部分内容包括长方体和正方体的切拼问题、折叠问题、等积变形问题、排水法求不规则物体的体积问题、含长方体正方体的不规则或组合立体图形的表面积与体积问题、长方体正方体中的注水运动问题等，考点遍布各种题型，考题综合性强，其中大多数内容以思维拓展题型为主，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为六个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】问题其一：长方体和正方体的切拼问题 3【考点二】问题其二：折叠问题 5【考点三】问题其三：等积变形问题 7【考点四】问题其四：排水法求不规则物体的体积问题 9【考点五】问题其五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题 11【考点六】问题其六：长方体正方体中的注水运动问题 12典型例题【考点一】问题其一：长方体和正方体的切拼问题。【方法点拨】立体图形的切拼问题属于小学数学的典型问题和难点问题，由长方体和正方体的切拼所产生的表面积增减变化，在分析与思考过程中常常具有一定的抽象性，并涉及到基础的空间想象能力，因此，大部分同学掌握起来显得十分困难，建议在理解方面，尝试绘制示意图，在解题方面，注意寻找切拼后的变化规律。1.切片问题。（1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。（2）刀数×2=切面个数。2.拼接问题。（1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。（2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。3.高的变化引起的表面积变化。（1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。（2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题1】切片问题。把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。（1）画出示意图并标注条件中的数据。（2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？（3）原大正方体的体积是多少cm3？【对应练习】一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？【典型例题2】拼接问题。用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？【对应练习】两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？。【典型例题3】高的变化问题。一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？【对应练习】一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？【典型例题4】最大的正方体。从一块长12cm、宽9cm、高6cm的长方体陶泥上切下一个最大的正方体，剩下部分的表面积与原长方体的表面积相比，会怎样变化？列出你想到的所有情况。【对应练习】一个长方体长20厘米、宽16厘米、高10厘米，现在从长方体中切下一个最大的正方体，再从剩下的部分中切下一个最大的正方体，最后又从第二次剩下的部分中切下一个最大的正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【考点二】问题其二：折叠问题。【方法点拨】根据折叠图，求出长方体对应的长、宽、高，再求体积。【典型例题】有一块长方形铁皮（如图），长60分米，宽50分米。在铁皮的四个角分别剪去一个边长是5分米的正方形，然后焊成一个长方体容器。（1）做这个无盖的长方体容器用了多少平方分米的铁皮？（2）这个长方体容器的容积是多少升？【对应练习1】一块长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长5厘米的正方形后，沿虚线折起来，做成一个无盖的铁盒。（1）这个铁盒用了多少平方厘米的铁皮？（2）这个铁盒的容积是多少？（厚度忽略不计）【对应练习2】用一张长90厘米、宽80厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长10厘米的小正方形（如图），焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的表面积是多少平方厘米？它的容积是多少升？如果每升装机油0.8千克，可以装机油多少千克？【对应练习3】小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？（2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。【考点三】问题其三：等积变形问题。【方法点拨】长方体、正方体的等积变形问题是较常考察的题型之一，总体来说，难度不大，关键是掌握体积不变这一思路，再根据体积不变去解决问题。【典型例题】在一个长15分米，宽12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把两条长6分米，宽3分米，高7分米的石柱立着放入池中，现在水深是多少？【对应练习1】棱长是5分米的正方体容器装满水，把容器里的水全部倒入一个长方体水箱，水箱从里面量长10分米，宽5分米，高7分米。倒入水箱里面的水深是多少分米？要注满水箱应再倒入多少升水？【对应练习2】如图，甲是空的长方体容器，乙长方体容器中水深24厘米，要将长方体容器乙的水倒一部分给长方体容器甲中，使两个长方体容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？【对应练习3】有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。（1）甲容器中水的体积是多少？（2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？【考点四】问题其四：排水法求不规则物体的体积问题。【方法点拨】排水法求形状不规则物体的体积是立体图形中的必考题型之一，具有一定的抽象性，注意熟练掌握排水法的计算方法：①V物体=V现在－V原来；②V物体=S×(h现在-h原来)；③V物体=S×h升高。【典型例题】实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。（1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计）（2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？【对应练习1】如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？【对应练习2】如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？

【对应练习3】一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.2分米。（玻璃厚度忽略不计）（1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。（3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？【考点五】问题其五：不规则或组合立体图形的表面积与体积问题。【方法点拨】不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。【典型例题】从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米）【对应练习1】一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？【对应练习2】如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米?【对应练习3】如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？【考点六】问题其六：长方体正方体中的注水运动问题。【方法点拨】注水运动问题常使用实验的方式考察长方体和正方体的体积在实际生活中的综合应用，审题过程中，关键在于读懂图形给到的信息，需要很巧妙地把给到的注水“实验”过程图形（高度与时间的关系）与实际注水过程节点关联起来，比较考验学生的数学“实验”逻辑思考能力，其在独立招生考试或是在小升初入学分层考试中较为常见。【典型例题】如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。（1）水槽的容积是多少？（2）注满水槽共需几分钟？【对应练习1】有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。（1）图中点()的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）（2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？（3）求出长方体铁块的底面积。【对应练习2】我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。（1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。①