第03讲 分式方程和实际应用（知识解读+达标检测）（原卷版）

第03讲分式方程和实际应用【题型1分式方程定义】【题型2解分式方程】【题型3分式方程的解综合】【题型4分式方程应用-工程问题】【题型5分式方程应用-行程问题】

【题型6分式方程应用-销售问题】【题型7分式方程应用-方案问题】知识点1：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.【题型1分式方程定义】【典例1】（2022秋•九龙坡区校级月考）下列式子中是分式方程的是（）A． B． C． D．x2+1＝0【变式1-1】（2022秋•泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是（）A．+x＝2+3x B．＝ C．﹣＝4 D．+＝1【变式1-2】（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4

知识点2：分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【题型2解分式方程】【典例1】（2023秋•岱岳区期中）解方程：（1）；（2）．【变式2-1】（2022秋•汉阳区校级期末）解分式方程：（1）；（2）+1．【变式2-2】（2023春•历下区期中）解方程：（1）．（2）．【变式2-3】（2023秋•东营区期中）解分式方程．（1）；（2）．【题型3分式方程的解综合】【典例3】（2023•枣庄模拟）若关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0【变式3-1】（2023•槐荫区模拟）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【变式3-2】（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【变式3-3】（2023•槐荫区模拟）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【变式3-4】（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．知识点3：列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量.（3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.（4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.（6）答：即写出答案，注意答案完整.【题型4分式方程应用-工程问题】【典例4】（2023春•句容市期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．（1）求人工每人每小时分拣多少件？（2）若该快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要安排台这样的分拣机．【变式4-1】（2023春•锦州期末）为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路．某筑路工程公司中标了一段3000m公路的路基工程，计划在规定时间完成．为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的1.2倍，结果提前10天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【变式4-2】（2023秋•南岗区校级月考）六年1班承担了学校操场的清扫工作，计划每天清扫200平方米，30天可以清扫完．（1）若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？（2）若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了，实际多少天能清扫完整个学校操场？（3）若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前8天完成，提速后每天清扫面积是多少平方米？【变式4-3】（2023•南岗区模拟）盛夏来临之际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．（1）求甲、乙两车间各有多少人；（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1300件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间？【题型5分式方程应用-行程问题】【典例5】（2023•沙坪坝区自主招生）为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，沙坪坝区中小学开展了“校村共育”研学项目．某中学七年级参加了“寻根•行走的青春”研学活动，一班选择A研学线路，二班选择B研学线路．已知A研学线路的路程比B多3公里，A、B研学线路的路程和为27公里．（1）求A、B两研学线路的路程分别是多少公里？（2）两个班同时出发，结果一班比二班晚0.2小时走完研学路程．已知一班的行进速度是二班行进速度的1.2倍，求二班的行进速度．【变式5-1】（2023秋•延庆区期中）列方程解应用题：小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行驶的时间少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度．【变式5-2】（2023•邗江区一模）学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的3倍，问：大巴士与自行车的平均速度分别是每小时多少千米？【变式5-3】（2023秋•延庆区期中）列方程解应用题：小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行驶的时间少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度．【题型6分式方程应用-销售问题】【典例6】（2023春•舞钢市期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．（1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？（2）若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？【变式6-1】（2023秋•沙坪坝区校级月考）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．（1）网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；（2）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．【变式6-2】（2023春•高陵区月考）教育部印发的《义务教育课程方案（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗至少多少捆．【变式6-3】（2023秋•灵宝市期末）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．（1）求两次所购数量分别是多少？（列分式方程求解）（2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下150件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【题型7分式方程应用-方案问题】【典例7】（2023春•花都区期末）为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出梦想”的首届“校BA“班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．（1）求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？（2）该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案；方案一：所有商品打9折销售；方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）；若该校需要购买15个A型号篮球和x（x≥5）个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．【变式7-1】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【变式7-2】（2023秋•北碚区校级期中）某公司不定期为员工购买红豆面包和肉松面包作为代餐食品．（1）已知每个肉松面包的价格比每个红豆面包的价格贵2.5元，花费100元购买红豆面包的数量与花费150元购买肉松面包的数量相同，求红豆面包和肉松面包的单价各是多少元？（2）若购买红豆面包和肉松面包共100个，要求肉松面包的个数不少于红豆面包的个数的一半，且总费用不超过590元，请问该公司有哪几种购买方案？【变式7-3】（2023秋•重庆期中）为培养大家的阅读能力，我校初一年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．（1）求我校初一年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；（2）我校初一年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，求这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？一．选择题（共9小题）1．（2024春•宜阳县期中）分式方程的解为（）A．x＝7 B．x＝8 C．x＝3 D．x＝92．（2024•库尔勒市一模）已知分式方程﹣＝1，去分母后得（）A．x（x+2）﹣1＝1 B．x（x﹣2）﹣1＝x2﹣4 C．x（x+2）﹣1＝x2﹣4 D．x﹣1＝x2﹣43．（2024•温州模拟）甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成．设乙组每小时植树x棵，可列出方程为（）A． B． C． D．4．（2024春•洛宁县期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣35．（2024•兰山区校级模拟）某中学在校内劳动基地开展了一堂特殊的劳动课，计划九（1）班共采摘100千克蔬菜，在实际采摘之前将班级10名同学调往其他劳动区域，这样剩余同学实际平均每人需要采摘的重量是原计划全班学生平均每人需要采摘重量的倍，设九（1）班学生的人数为x名，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．6．（2024•齐齐哈尔一模）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠37．（2023秋•唐县期末）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米．某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分，7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上．已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（）A． B． C． D．8．（2024•姑苏区校级一模）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝ C．＝﹣1 D．＝9．（2024春•郓城县期中）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2二．填空题（共4小题）10．（2024•北京模拟）分式方程的解为