第五单元面积·提高篇【十六大考点】-2023-2024学年三年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年三年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年4月18日2023-2024学年三年级数学下册典型例题系列第五单元面积·提高篇【十六大考点】专题解读本专题是第五单元面积·提高篇。本部分内容包括长方形和正方形面积的多类重难点问题，考点考题难度较大，其中部分考点以思维拓展为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择部分考点进行讲解，一共划分为十六个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】长方形的面积增减变化问题其一 3【考点二】长方形的面积增减变化问题其二 5【考点三】长方形的面积增减变化问题其三 7【考点四】正方形的面积增减变化问题其一 10【考点五】正方形的面积增减变化问题其二 14【考点六】长方形中的最大正方形问题 16【考点七】等长转化问题 18【考点八】长方形和正方形的面积最大值问题 19【考点九】长方形的拼接裁剪问题 27【考点十】正方形的拼接裁剪问题 36【考点十一】铺砖问题其一 41【考点十二】铺砖问题其二 43【考点十三】铺砖问题其三 44【考点十四】铺砖问题其四 47【考点十五】不规则平面图形的面积 48【考点十六】长方形或正方形一边靠墙的问题 50典型例题【考点一】长方形的面积增减变化问题其一。【方法点拨】当长不变，宽增加时，可以利用积的变化规律进行解题。积的变化规律，即一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也乘或除以这个数。【典型例题】2023年中央一号文件首提“和美乡村”，强调要扎实推进宜居宜业和美乡村建设。某村原计划建设一个宽是9米、面积是378平方米的长方形绿化带，现在需要扩建，如果长不变，宽增加27米，扩大后的面积是多少平方米？【答案】1512平方米【分析】因为“长×宽＝长方形面积”，所以，当长不变，宽增加时，可以利用积的变化规律进行解题。积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以一个不为0的数，积也乘或除以这个数。因此需要先用“原来的宽＋增加的长度”求出扩建后的宽是多长；再用“扩建后的宽÷原来的宽”，商是几，现在的宽就是原来的宽乘几得到的；最后根据积的变化规律用“原来的面积×几”，即可算出扩大后的面积。【详解】（27＋9）÷9＝36÷9＝4378×4＝1512（平方米）答：扩大后的面积是1512平方米。【对应练习1】如图，有一块长方形菜地，宽为9米，面积是378平方米。若将这块长方形菜地的宽增加到36米，长不变，则扩大后的长方形菜地的面积是多少平方米？【答案】1512平方米【分析】结合长方形的面积＝长×宽，已知面积和宽，求长，用面积除以宽即可，现在长不变，宽增加到36米，用原来的长乘以增加后的宽，就是扩大后长方形菜地面积。【详解】378÷9＝42（米）42×36＝1512（平方米）答：则扩大后的长方形菜地的面积是1512平方米。【对应练习2】绿水青山就是金山银山。某公园有一块占地面积是180平方米的长方形绿地，明年计划将宽从5米增加到15米，长不变，那么扩大后的绿地占地面积是多少？【答案】540平方米【分析】根据题意可知，这块长方形的绿地的宽扩大为原来的（15÷5）倍，即3倍，长不变；长方形面积＝长×宽，再根据积的变化规律可知，扩大后的面积是原来的3倍。据此解题即可。【详解】180×（15÷5）＝180×3＝540（平方米）答：扩大后的绿地占地面积是540平方米。【对应练习3】一块长方形的草坪的面积是120平方米，扩建后长不变，宽由原来的8米增加到16米，扩建后的草坪面积是多少平方米？【答案】240平方米【分析】原来的宽是8米，面积是120平方米，长方形的面积公式：长×宽，逆用面积公式用120除以8即可求出长方形草坪的长，给这个商乘16即可求出扩建后的面积。【详解】120÷8×16＝15×16＝240（平方米）答：扩建后的草坪面积是240平方米。【考点二】长方形的面积增减变化问题其二。【方法点拨】扩建后菜园的面积增加了多少平方米＝扩建后的面积－原来长方形的面积。【典型例题】一个长方形的菜园长10米，宽5米。现在菜园要扩建，长增加2米，宽增加2米，扩建后菜园的面积增加了多少平方米？【答案】34平方米【分析】根据题意，扩建后菜园的面积增加了多少平方米＝扩建后的面积－原来长方形的面积，原来长方形的菜园长10米，宽5米。现在菜园要扩建，长增加2米，宽增加2米，此时长是10＋2＝12（米），宽是5＋2=7（米），长方形的面积=长×宽，据此解答。【详解】扩建后的面积：（10＋2）×（5＋2）＝12×7＝84（平方米）原来的面积：10×5＝50（平方米）84－50＝34（平方米）答：面积增加了34平方米。【对应练习1】一个长方形菜园长10米，宽8米。现在菜园要扩建，长增加4米，宽增加2米。扩建后菜园的面积比原来增加了多少平方米？【答案】60平方米【分析】根据题意，先用10＋4求出扩建后的菜园长，再用8＋2求出扩建后的菜园宽，根据长方形面积＝长×宽，用扩建后菜园的面积减去原来菜地的面积即可求出扩建后菜园的面积比原来增加了多少平方米，据此解答即可。【详解】（10＋4）×（8＋2）＝14×10＝140（平方米）10×8＝80（平方米）140－80＝60（平方米）答：扩建后菜园的面积比原来增加了60平方米。【对应练习2】某小区为了改善小区生态环境，美化生活环境，增进居民身心健康，要将一个长10米，宽8米的长方形花坛进行扩建，把这个花坛的长增加5米，宽增加4米。这个花坛的面积增加了多少平方米？（先画图，再解答）【答案】画图见详解；100平方米【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab把数据代入公式，分别计算边长增加前后的面积，再相减即可。【详解】根据题意画图如下：（阴影部分即为增加的部分）（10＋5）×（8＋4）－10×8＝15×12－80＝180－80＝100（平方米）答：这个花坛的面积增加了100平方米。【点睛】此题主要考查长方形的面积公式灵活运用。【对应练习3】儿童公园要扩建一个长方形的泳池。如果长增加9米，泳池面积就增加72平方米；如果宽增加3米，泳池面积就增加45平方米。这个泳池的面积是多少平方米？【答案】画图见详解；120平方米【分析】根据长方形面积＝长×宽，长增加9米，面积增加72平方米，则用72÷9＝8（米），即可求出这个长方形泳池的宽；宽增加3米，面积增加45平方米，则用45÷3＝15（米），即可求出这个长方形泳池的长，15×8即可求出这个泳池的面积，据此解答即可。【详解】如图：72÷9＝8（米）45÷3＝15（米）8×15＝120（平方米）答：这个泳池的面积是120平方米。【考点三】长方形的面积增减变化问题其三。【方法点拨】增加部分面积除以增加的长度，减少部分面积除以减少的长度。【典型例题】一个长方形，如果长增加4米，面积就增加20平方米；如果宽减少2米，面积就减少14平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？【答案】35平方米【分析】如图：增加部分是一个长方形，长是原来长方形的宽，宽是4米，长方形面积＝长×宽，长方形的长＝面积÷宽，增加部分面积除以增加的长度，即可算出原来长方形的宽是（20÷4）米。如图：减少部分是一个长方形，长是原来长方形的长，宽是2米，长方形的长＝面积÷宽，减少部分面积除以减少的长度，即可算出原来长方形的长是（14÷2）米。长方形面积＝长×宽，把数据代入公式即可算出这个长方形原来的面积。【详解】20÷4＝5（米）14÷2＝7（米）7×5＝35（平方米）答：这个长方形原来的面积是35平方米。【点睛】熟记长方形的面积公式并灵活运用是解题关键。【对应练习1】对一个长方形花圃进行改造，如果是长增加5米，面积就增加40平方米；如果是宽增加3米，面积就增加39平方米。原来花圃的面积是多少平方米？（先画出示意图，再解答）【答案】图见详解；104平方米【分析】根据题意，“长方体面积＝长×宽”，用增加的面积除以增加的长求出原来的宽，用增加的面积除以增加的宽求出原来的长，然后把数据代入公式求出原来的面积。【详解】

40÷5＝8（米）39÷3＝13（米）13×8＝104（平方米）答：原来花圃的面积是104平方米。【点睛】此题主要考查长方形面积公式的灵活运用，关键是求出原来的长和宽。【对应练习2】一个长方形，如果长不变，宽增加2米，面积就增加46平方米；如果宽不变，长增加3米，面积就增加48平方米，原来长方形的面积是多少平方米？【答案】368平方米【分析】用46除以2即可计算出这个长方形的长，用48除以3即可计算出这个长方形的宽，然后利用长方形面积公式计算即可，据此解答。【详解】46÷2＝23（米）48÷3＝16（米）23×16＝368（平方米）答：原来长方形的面积是368平方米。【点睛】解决本题的关键是通过题意计算出长方形的长和宽，熟练掌握长方形的面积公式。【对应练习3】一个长方形操场，长50米，宽40米，扩建后长和宽分别增加5米，扩建后操场面积增加了多少平方米？【答案】475平方米【详解】试题分析：先求出扩建后的长和宽，再长方形的面积公式S=ab求出扩建后的面积与原来操场的面积，用扩建后操场的面积再减去原来操场的面积就是扩建后操场面积增加的面积．解：（50+5）×（40+5）﹣50×40，=55×45﹣2000，=2475﹣2000，=475（平方米），答：扩建后操场面积增加了475平方米．点评：本题主要是灵活利用长方形的面积公式S=ab与基本的数量关系解决问题．【考点四】正方形的面积增减变化问题其一。【方法点拨】增加的面积除以增加的长度，可求出正方形的边长。【典型例题】如图，一个正方形花圃，如果一组对边各增加6米，那么面积就增加了96平方米．这个正方形花圃的面积原来是多少平方米？（先画一画，再解答）【答案】256平方米【详解】试题分析：如下图：已知一个正方形花圃的一组对边各增加6米，那么面积就增加了96平方米．用增加的面积除以增加的宽即可求出正方形花圃的边长，再根据正方形的面积公式：s=a2，列式解答．解：如图：正方形花圃的边长是：96÷6=16（米），原来的面积是：16×16=256（平方米）．答：这个正方形花圃的面积原来是256平方米．点评：此题主要根据长方形、正方形面积的计算方法解决问题．【对应练习1】一个正方形，如果边长各增加2厘米，面积就增加20平方厘米，求原正方形的面积。【答案】16平方厘米【分析】正方形面积＝边长×边长，面积就增加20平方厘米，增加的部分为一个边长为2厘米的正方形和2个宽为2厘米的长方形。增加正方形的面积为2×2＝4平方厘米，那么增加2个宽为2厘米的长方形的面积是：20－4＝16平方厘米。1个长方形的面积为8厘米，已知长方形的宽为2厘米，即可得出长为：8÷2＝4厘米，增加部分长方形的长即为原来正方形的边长。这样就可算出原来正方形的面积＝4×4＝16平方厘米。见图片。【详解】增加正方形的面积：2×2＝4（平方厘米）2个宽为2厘米的长方形的面积：20－4＝16（平方厘米）1个宽为2厘米的长方形的面积：8÷2＝4（厘米）原来正方形的面积：4×4＝16（平方厘米）答：原来的正方形面积是16平方厘米。【点睛】熟练掌握正方形的面积和长方形面积的运用是解答此题的关键，此题画图更加直观。【对应练习2】一个正方形，如果边长增加4厘米，则正方形就要增加64平方厘米，求原来正方形的面积和周长各是多少？【答案】36平方厘米；24厘米【分析】如图，边长增加4厘米，增加的面积可以分成3部分，其中一块是边长是4厘米的正方形，另外两块是长为原来的边长，宽是4厘米的长方形；从增加的面积64平方厘米中减去小正方形的面积16平方厘米，得到两个长方形的面积是48平方厘米，其中一个的面积是24平方厘米，进而求得原正方形的边长是6厘米。【详解】如图所示：（平方厘米）（平方厘米）（厘米）（平方厘米）（厘米）答：正方形的面积是36平方厘米，周长是24厘米。【点睛】本题考查的是正方形的面积和周长计算，把增加的面积进行分割，求出原正方形的边长是解题的关键。【对应练习3】正方形的边长增加3厘米，则面积增加51平方厘米。原来正方形的周长是多少厘米？现在正方形的面积是多少平方厘米（先画图，再解答）？【答案】；28厘米；100平方厘米【分析】根据图形我们可知，增加的面积是两个相等的小长方形和一个小正方形，小正方形的面积：3×3＝9平方厘米，剩下的两个小长方形面积：51－9＝42平方厘米；一个小长方形面积：42÷2＝21平方厘米，小长方形的面积等于原正方形的边长乘3，即原正方形边长×3＝21平方厘米，原正方形边长：21÷3＝7厘米，现在正方形边长：3＋7＝10厘米，原来正方形周长和现在正方形面积即可求出。【详解】（51－3×3）÷2÷3＝42÷2÷3＝21÷3＝7厘米原正方形周长：4×7＝28（厘米）现在正方形边长：7＋3＝10厘米现在正方形面积：10×10＝100（平方厘米）答：原来正方形周长是28厘米；现在正方形面积是100平方厘米。【点睛】本题考查新的图形和原图形的关系，熟练运用长方形周长、正方形周长、正方形面积公式解答问题。【考点五】正方形的面积增减变化问题其二。【方法点拨】增加的面积除以增加的长度，可求出对应的长度。【典型例题】一个长方形，如果宽增加3厘米，那么面积就增加24平方厘米，这时正好是一个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米？【答案】40平方厘米【分析】根据面积÷宽＝长，让24÷3求解出长是多少厘米，然后让长减去3即可求解宽是多少厘米，根据面积公式，长×宽＝长方形面积，代入数据解答即可。【详解】（厘米）

（厘米）（平方厘米）答：原来长方形的面积是40平方厘米。【点睛】本题考查长方形面积公式的应用，掌握长方形的面积公式是解题的关键。【对应练习1】一个长方形，如果长不变，宽增加3分米，就变成了一个正方形，此时面积增加了27平方分米。你知道原来的长方形的面积是多少吗？【答案】54平方分米【分析】由题意可知，宽增加3分米，面积增加了27平方分米，所以长为（分米）；由宽增加3分米，变为一个正方形，可知长方形的宽为（分米）。所以原来的长方形的面积是（平方分米）。【详解】（分米）

（分米）

（平方分米）答：原来的长方形的面积是54平方分米。【点睛】本题考查长方形的面积公式的灵活运用。长方形的面积＝长×宽，据此求出长方形的长为9分米，进而求出长方形的宽为6分米。【对应练习2】一个长方形若宽增加7分米就是一个正方形，面积就增加77平方分米，求原来长方形的面积？【答案】44平方分米【分析】如图，图中阴影部分是增加的部分，正好是长方形，且宽是7，可以求得长方形的长是11，也就是原长方形的长，11分米减去7分米，得到原长方形的宽是4分米，长乘宽得到面积。【详解】如图所示：（分米）（分米）（平方分米）答：原来长方形的面积44平方分米。【点睛】求出正方形的边长11分米后，也可以用正方形面积减去增加的面积，得到原长方形的面积。【对应练习3】一个长方形，若宽增加6分米，就是一个正方形，面积增加66平方分米，求原来长方形的面积。【答案】55平方分米【分析】如图，宽增加6分米，增加的面积是一个长方形，一条边是6分米，面积是66平方分米，求得另一条边是11分米，即正方形的边长，用正方形面积减去增加的66平方分米，求得原图形的面积。【详解】如图所示：（分米）（平方分米）（平方分米）答：原来长方形的面积是55平方分米。【点睛】求出正方形边长，即原来长方形的长后，可以算出原来长方形的宽，然后求出面积。【考点六】长方形中的最大正方形问题。【方法点拨】从一个长方形中剪一个最大的正方形，正方形的边长要以长方形的较短边为准。【典型例题】在下面的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是多少平方厘米?剩下部分的面积是多少平方厘米?解析：剪下的正方形边长最大不超过8厘米，根据长方形面积=长x宽，正方形面积=边长x边长可计算。8×8=64（平方厘米）（12-8）×8=32（平方厘米）【对应练习1】一块长方形的黑板，长是11米，宽是9米，要在这块黑板上划分出一块最大的正方形用来贴剪纸作品，贴剪纸作品的面积是多少平方米？合多少平方分米？解析：答：贴剪纸作品的面积是81平方米，合8100平方分米。【对应练习2】从下面的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剩下的面积是多少平方厘米？解析：剩下的图形是一个长方形，长是12厘米，宽是16－12＝4（厘米）面积：12×4＝48（平方厘米）答：剩下的面积是48平方厘米。【对应练习3】在一张纸长30厘米，宽21厘米里，剪下一个最大的正方形，你能求出剪下后剩下的面积吗？解析：（30－21）×21＝9×21＝189（平方厘米）答：我能求出剪下后剩下的面积，剩下的面积是189平方厘米。【考点七】等长转化问题。【方法点拨】长方形和正方形的周长相等时，可以通过周长求出长方形的长或宽，可以求出正方形的边长，进而求出图形的面积。【典型例题】一根绳子刚好可以围成一个边长为8分米的正方形。如果用这根绳子围成一个长是10分米的长方形，这个长方形的面积是多少平方分米？解析：（分米）（平方分米）答：这个长方形的面积是60平方分米。【对应练习1】有两根同样长的铁丝，一根围成了一个长28厘米，宽18厘米的长方形，另一根围成了一个正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？解析：（28＋18）×2＝46×2＝92（厘米）92÷4＝23（厘米）23×23＝529（平方厘米）答：这个正方形的面积是529平方厘米。【对应练习2】一根铁丝恰好可以围成一个长40厘米、宽20厘米的长方形，现在用它围成一个正方形（没有剩余），这个正方形的面积是多少平方厘米？解析：（40＋20）×2＝60×2＝120（厘米）120÷4＝30（厘米）30×30＝900（平方厘米）答：这个正方形的面积是900平方厘米。【对应练习3】有一个长方形长14米，宽10米，一个正方形的周长与这个长方形的周长一样长，这个正方形的面积是多少？解析：（14＋10）×2＝24×2＝48（米）48÷4＝12（米）12×12＝144（平方米）答：这个正方形的面积是144平方米。【考点八】长方形和正方形的面积最大值问题。【方法点拨】当周长不变时，长和宽越接近，面积越大，其中当长和宽相等时，此时是一个正方形。【典型例题1】正方形的面积最大值。王爷爷要用一段36米长的篱笆围成一块四边形菜地，怎样围菜地的面积才能最大呢？（无法靠墙）（1）把你设计的方案用画图的方法表示出来。（2）算一算你设计的这块菜地的面积，并说一说这样围面积最大的理由。【答案】（1）（2）81平方米，因为在四边形的周长相等时，正方形的面积最大。【分析】（1）在长方形、正方形、平行四边形、梯形的周长相等时，正方形的面积最大。（2）根据正方形的周长＝边长×4，那么边长＝周长÷4，据此求出边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式。【详解】（1）设计成正方形面积最大。36÷4＝9（米）作图如下：（2）9×9＝81（平方米）答：这样围成的面积是81平方米，因为在四边形的周长相等时，正方形的面积最大。【点睛】本题考查正方形面积的计算，应熟练掌握并灵活运用。【对应练习】用100米长的栅栏围成一个四边形的羊圈，羊圈的面积最大是多少？【答案】625平方米【详解】试题分析：要使羊圈的面积最大，必须围成正方形，正方形的周长相当于100米长的栅栏，然后根据正方形的周长公式：C=4a，求边长为：100÷4=25（米），再根据正方形的面积公式：S=a2；求出面积即可得出答案．解：100÷4=25（米），25×25=625（平方米）；答：羊圈的面积最大是625平方米．点评：本题关键是确定个四边形的羊圈的形状是正方形，知识点：正方形的周长公式：C=4a，正方形的面积公式：S=a2．【典型例题2】长方形的面积最大值。用一根16分米的铁丝围成长和宽都是整分米数的长方形。围成的长方形中，面积最大是多少平方分米？(1)完成表格。长/分米()()()()宽/分米()()()()面积/平方分米()()()()(2)围成的长方形中面积最大是平方分米，这时围成的图形又叫形。(3)如果这根铁丝长26分米，那么围成的长方形中面积最大是平方分米。【答案】(1)765412347121516(2)16正方(3)42【分析】根据长方形的周（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式解答。【详解】（1）16÷2＝8（分米）8＝7＋1＝6＋2＝5＋3＝4＋47×1＝7（平方分米）6×2＝12（平方分米）5×3＝15（平方分米）4×4＝16（平方分米）填表如下：长/分米7654宽/分米1234面积/平方分米7121516（2）围成的长方形中面积最大是16平方分米，这时围成的图形又叫正方形。（3）26÷2＝13（分米）13＝7＋67×6＝42（平方分米）答：如果这根铁丝长26分米，那么围成的长方形中面积最大是42平方分米。【点睛】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【对应练习1】王叔叔用24根1米长的木条围一个长方形或正方形花圃，一共有几种不同的围法？面积最大是多少平方米？（先填表，再回答问题。）长（米）宽（米）面积（平方米）【答案】图见详解；6种；36平方米【分析】王大叔要用24根1米长的栅栏围成一个长方形花圃，长方形的周长就是由24根1米长栅栏围成，根据长方形的周长公式求出一条长和宽是多少，再把它分成两个整数相加的形式可确定长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式即可求解。【详解】24÷2＝12（米）12＝1＋1112＝2＋1012＝3＋912＝4＋812＝5＋712＝6＋611×1＝11（平方米）10×2＝20（平方米）9×3＝27（平方米）8×4＝32（平方米）7×5＝35（平方米）6×6＝36（平方米）一共有6种不同的围法，面积最大是36平方米。长/米11109876宽/米123456面积/平方米112027323536【点睛】本题主要考查了学生根据长方形的周长公式和面积公式解答问题的能力。【对应练习2】用一根铁丝正好围一个每条边长都是4厘米的五边形（如图）。如果用这根铁丝围一个长、宽均为整厘米数的长方形（包含正方形）。（1）写出所有围法长方形的长、宽的长度。（2）其中围出最大长方形的面积是多少平方厘米？（列表、图画、列式都是解决问题的好办法）【答案】（1）长：5厘米，宽5厘米；长：6厘米，宽4厘米；长：7厘米，宽3厘米；长：8厘米，宽2厘米；长：9厘米，宽1厘米（2）25平方厘米【分析】（1）先计算出这根铁丝的长度，铁丝的长度即为围成长方形（包含正方形）的周长，对长方形的长或宽进行赋值，然后根据长方形的周长公式，分别计算出这个长方形的宽或长，据此解决。（2）通过长方形面积公式，分别计算出围成长方形的面积，然后比较即可，据此解决。【详解】铁丝的长度：4×5＝20（厘米）宽为1厘米时，长为：（20－1×2）÷2＝18÷2＝9（厘米）宽为2厘米时，长为：（20－2×2）÷2＝16÷2＝8（厘米）宽为3厘米时，长为：（20－3×2）÷2＝14÷2＝7（厘米）宽为4厘米时，长为：（20－4×2）÷2＝12÷2＝6（厘米）宽为5厘米时，长为：（20－5×2）÷2＝10÷2＝5（厘米）所以围成的长方形的长和宽分别为：长：5厘米，宽5厘米；长：6厘米，宽4厘米；长：7厘米，宽3厘米；长：8厘米，宽2厘米；长：9厘米，宽1厘米（2）长：5厘米，宽5厘米，面积为5×5＝25（平方厘米）长：6厘米，宽4厘米，面积为6×4＝24（平方厘米）长：7厘米，宽3厘米，面积为7×3＝21（平方厘米）长：8厘米，宽2厘米，面积为8×2＝16（平方厘米）长：9厘米，宽1厘米，面积为9×1＝9（平方厘米）答：围出最大长方形的面积是25平方厘米。【点睛】解决本题的关键是熟练掌握长方形的周长和面积公式。【对应练习3】先填表再解答。长方形或正方形周长面积边长是（

）厘米20厘米长6厘米、宽4厘米长7厘米、宽（

）厘米21平方厘米长（

）厘米、宽2厘米20厘米（1）分析表中的数据，从中你发现了什么？（2）小明用20米长的篱笆围成一块长方形或正方形的鸡圈养鸡。根据你的发现，他怎样围才能让围成的鸡圈面积最大？最大面积是多少？①围的方法：②最大面积：【答案】长方形或正方形周长面积边长是（5）厘米20厘米25平方厘米长6厘米、宽4厘米20厘米24平方厘米长7厘米、宽（3）厘米20厘米21平方厘米长（8）厘米、宽2厘米20厘米16平方厘米（1）发现：这4个图形的周长相等，面积不相等。长和宽越接近，面积就越大或当长和宽相等时，面积最大。（2）①围的方法：围成边长是5米的正方形。②最大面积：25平方米【分析】正方形边长＝周长÷4，正方形面积＝边长×边长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，由此完成表格；（1）通过观察表格中的周长和面积的变化，发现这4个图形的周长相等，面积不相等。长和宽越接近，面积就越大或当长和宽相等时，面积最大；（2）根据（1）的发现，长和宽越接近面积越大，要想鸡圈面积最大，正方形时面积最大，再计算出面积，由此解答。【详解】长方形或正方形周长面积边长是（5）厘米20厘米25平方厘米长6厘米、宽4厘米20厘米24平方厘米长7厘米、宽（3）厘米20厘米21平方厘米长（8）厘米、宽2厘米20厘米16平方厘米（1）发现：这4个图形的周长相等，面积不相等。长和宽越接近，面积就越大或当长和宽相等时，面积最大。（答案不唯一，合理即可）（2）①围的方法：围成边长是5米的正方形。②最大面积：5×5＝25（平方米）答：围成边长是5分米的正方形面积最大，最大面积是25平方米。【点睛】解答本题的关键是根据计算出的周长和面积，通过对比、观察、总结发现规律，从而利用规律解决问题。【考点九】长方形的拼接裁剪问题。【方法点拨】两个或多个相同的长方形进行拼接，可以把宽拼接在一起，也可以把长拼接在一起。【典型例题1】裁剪问题。在一个长10厘米、宽8厘米的长方形纸上剪去一个边长是4厘米的正方形，小林想到了两种剪法（如下图），剩下部分的周长和面积分别是多少？【答案】①周长是36厘米，面积是64平方厘米；②周长是44厘米，面积是64平方厘米【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，正方形周长＝边长×4，正方形面积＝边长×边长。①的周长可以看成长是10厘米，宽是8厘米的长方形周长，根据长方形周长公式计算即可，面积用长方形的面积减去边长是4厘米正方形面积即可；②的周长可以看成长是10厘米，宽是8厘米的长方形周长再加上两个正方形边长即可，面积用长方形的面积减去边长是4厘米正方形面积即可。【详解】①＝18×2＝36（厘米）＝80－16＝64（平方厘米）②＝18×2＋4＋4＝36＋4＋4＝44（厘米）＝80－16＝64（平方厘米）答：①剩下部分的周长是36厘米，剩下部分的面积是64平方厘米；②剩下部分的周长是44厘米，剩下部分的面积是64平方厘米【对应练习1】李奶奶正在剪窗花，她在一张长48厘米，宽32厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，剪完后，剩下的部分是什么形状？它的面积是多少？

【答案】长方形；512平方厘米【分析】从长方形纸上剪下最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽。剩下的长方形的长为原来长方形的宽，剩下的长方形的宽为原来长方形的长与宽的差。根据长方形的面积＝长×宽解答。【详解】32×（48－32）＝32×16＝512（平方厘米）答：剩下的部分是长方形，面积是512平方厘米。【点睛】解决本题的关键是明确最大正方形的边长等于长方形的宽。再根据长方形的面积公式解答。【对应练习2】如图，一个长13厘米，宽8厘米的长方形，剪去了一个边长5厘米的正方形，求剩下图形的面积。

【答案】79平方厘米【分析】根据题意可知，剩下图形的面积＝长方形的面积－正方形的面积，长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，依此计算并解答。【详解】13×8＝104（平方厘米）5×5＝25（平方厘米）104－25＝79（平方厘米）答：剩余图形的面积是79平方厘米。【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握长方形和正方形的面积的计算方法。【对应练习3】在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸中，减去一个边长是6厘米的正方形．（剪的方法如图）（1）求出剩下部分的周长是多少？（2）求出剩下部分的面积是多少？【答案】40厘米；60平方厘米【详解】试题分析：（1）由图可知：剩下部分的周长与原来长方形的周长相等；（2）剩余部分的面积即为长方形面积减去正方形的面积．解：（12+8）×2，=20×2，=40（cm），（2）12×8﹣6×6，=96﹣36，=60（平方厘米）；答：（1）剩余部分的周长为40厘米；（2）剩余部分的面积为60平方厘米．点评：此题解答关键为弄清周长与各边的关系，得出规律：在长方形内减去一个正方形后，周长不变，面积为长方形面积减去正方形面积．【典型例题2】拼接问题。有两个相同的长方形，长36厘米，宽18厘米。（1）拼成一个正方形，它的周长是多少？（2）拼成一个长方形，它的周长是多少？（3）拼成的两个图形，面积相等吗？是多少？【答案】（1）144厘米；（2）180厘米；（3）相等；1296平方厘米【分析】（1）如图一，把两个长方形沿长拼在一起，拼成一个正方形，正方形的边长为36厘米，正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算即可解答。（2）如图二，把两个长方形沿宽拼在一起，拼成一个长方形，长方形的长为36＋36＝72（厘米），宽为18厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可解答。（3）拼成的两个图形的面积都等于原来的两个长方形的面积和，所以拼成的两个图形的面积相等，长方形的面积＝长×宽，所以36乘18等于原长方形的面积，再乘2即等于原来两个长方形的面积和，也就是拼成的两个图形的面积。【详解】（1）36×4＝144（厘米）答：正方形的周长是144厘米。（2）（36＋36＋18）×2＝90×2＝180（厘米）答：长方形的周长是180厘米。（3）36×18×2＝648×2＝1296（平方厘米）答：拼成的两个图形的面积相等，是1296平方厘米。【对应练习1】有两个完全相同的长方形，长是18厘米，宽是9厘米。把它们拼成一个长方形或正方形，它们的周长和面积分别是多少？你有什么发现？【答案】90厘米；324平方厘米；发现见详解【分析】如下图，把两个长方形的宽拼在一起，可以拼成一个长方形，长方形的长为18＋18＝36（厘米），宽为9厘米，把长方形的长拼在一起，可以拼成一个正方形，正方形的边长为18厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长；把数据代入计算出长方形和正方形的面积和周长，然后得结论。【详解】拼成长方形时：周长：（18＋18＋9）×2＝45×2＝90（厘米）面积：（18＋18）×9＝36×9＝324（平方厘米）拼成正方形时：周长：18×4＝72（厘米）面积：18×18＝324（平方厘米）90厘米＞72厘米，324平方厘米＝324平方厘米所以长方形和正方形的面积相等，长方形的周长大于正方形的周长。答：拼成长方形时，周长是90厘米，面积是324平方厘米；拼成正方形时，周长是72厘米，面积是324平方厘米。我发现：拼成的长方形和正方形面积相等，长方形的周长比正方形的周长长。【对应练习2】两个大小一样的长方形，长是34厘米，宽是17厘米，把这两个长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形的面积和周长分别是多少？【答案】面积1156平方厘米；周长是170厘米【分析】根据题意可知，把这两个长方形拼成一个大长方形，有一种拼组的方法：把两个长方形的宽拼组一起，就会拼成一个长34＋34＝68（厘米），宽17厘米的长方形，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。【详解】拼成的大长方形的长是34＋34＝68（厘米），宽是17厘米。（68＋17）×2＝85×2＝170（厘米）68×17＝1156（平方厘米）答：拼成的大长方形的面积是1156平方厘米；周长是170厘米。【点睛】此题考查了长方形的周长与面积公式的实际应用以及长方形的拼组，解答此题的关键是：先弄清楚新长方形的长和宽，进而可以逐步求解。【对应练习3】有两个完全相同的长方形，长是24分米，宽是12分米。（1）拼成一个正方形，它的周长和面积各是多少？（2）拼成一个长方形，它的周长和面积各是多少？【答案】（1）96分米；576平方分米（2）120分米；576平方分米【分析】（1）把长拼在一起，形成一个边长为24厘米的正方形，再根据正方形的周长和面积公式计算即可解答。（2）把宽拼在一起，形成一个长为24＋24＝48厘米、宽为12厘米的长方形，再根据长方形的周长和面积公式计算即可解答。【详解】（1）24×4＝96（厘米）24×24＝576（平方厘米）答：它的周长是96厘米，面积是576平方厘米。（2）（24＋24＋12）×2＝60×2＝120（厘米）（24＋24）×12＝48×12＝576（平方厘米）答：它的周长是120厘米，面积是576平方厘米。【点睛】首先要分析清楚拼成的图形的长和宽（或边长）是多少，这是解答本题的关键。【典型例题3】拓展型。四个同样形状的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如右图．已知大正方形面积是81平方厘米，小正方形面积是25平方厘米，长方形长多少厘米。【答案】7厘米【详解】试题分析：大正方形面积是81平方厘米，边长应是9厘米；小正方形面积是25平方厘米，边长应是5厘米；大正方形边长减去小正方形边长正好等于长方形的两个宽，所以长方形的宽应是（9﹣5）÷2=2（厘米）；根据“长方形的长=面积÷宽”，代入数值进行解答即可．解：（81﹣25）÷4÷[（9﹣5）÷2]，=14÷2，=7（厘米）；答：长方形长7厘米．点评：此题应根据题意，先算出大正方形的边长和小正方形的边长，进而求出每个长方形的面积，根据长方形的面积计算公式即可得出结论．【对应练习1】如图是用五个相同的小长方形拼成的一个大长方形，大长方形的周长是88厘米，求大长方形的面积。【答案】480平方厘米【详解】试题分析：由图可知：小长方形的2条长与3条宽相等，大长方形的长是小长方形长的2倍，宽是小长方形的长加宽，设小长方形的长为a厘米，表示出大长方形的长和宽，根据周长是88厘米，列出方程求出小长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽以及面积．解：小长方形的2条长与3条宽相等，那么小长方形的长：宽=3：2，宽是长的；设小长方形的长为a厘米，则小长方形的宽是a厘米，大长方形的长是2a厘米；宽是a+a=a（厘米）；（2a+a）×2=88，2a+a=44，a=44，a=12；小长方形的长就是12厘米，宽就是12×=8（厘米）；大长方形的长是小长方形长的2倍，宽是小长方形的长加宽，所以：大长方形的长是：12×2=24（厘米）大长方形的宽是：12+8=20（厘米）大长方形的面积是：24×20=480（平方厘米）答：这个大长方形的面积是480平方厘米．点评：根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长是44厘米，求出小长方形的长和宽，进而求解．【对应练习2】拼图与计算：用4块同样大小的长方形板，拼成一个正方形后，中间空出的小正方形面积是25平方厘米，已知长方形的长为11厘米，那么每个长方形板的面积是多少？并画出拼图示意图．【答案】66平方厘米，【详解】试题分析：由题意可知：中间空出的小正方形边长为5（25=5×5）厘米，然后画出图，进而得出长方形的宽为11﹣5=6（厘米）；进而根据“长方形的面积=长×宽”进行解答即可．解：如图：长方形的宽为：11﹣5=6（厘米）；11×6=66（平方厘米）；答：长方形板的面积是66平方厘米．点评：解答此题的关键是先求出长方形的宽，进而根据长方形的面积计算方法进行解答即可．【对应练习3】如图，宽为50厘米的矩形图案由10个一样的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为多少平方厘米？【答案】400平方厘米【分析】根据图形可得5个小长方形的宽的长度之和是50厘米，据此可以求出小长方形的宽，小长方形的一条长等于4条宽的和，分别求出小长方形的长，再求面积。【详解】小长方形的宽：50÷5＝10（厘米），小长方形的长：50－10＝40（厘米）所以一个小长方形的面积＝长×宽40×10＝400（平方厘米）答：其中一个小长方形的面积为400平方厘米。【考点十】正方形的拼接裁剪问题。【方法点拨】多个相同的正方形进行拼接，可以拼成一个新的正方形，也可以拼成一个新的长方形。【典型例题1】裁剪问题。在一张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方形。小明想到了三种剪的方法（如下图）。剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米）【答案】76平方厘米；40厘米、48厘米、52厘米【分析】根据对图中信息的了解，这三个长方形都是减去了一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形，计算面积的时候，用原来的面积减去长为6厘米，宽为4厘米的长方形的面积，得到的就是它们的面积；计算它们的周长时，利用平移法，将图中的长和宽平移，不难发现，第一个图形的周长不变，第二个图形的周长多了两条宽，第三个图形多了两条长，据此计算。【详解】剩余部分的面积：10×10－6×4＝100－24＝76（平方厘米）剩余部分的周长：10×4＝40（厘米）10×4＋4×2＝40＋8＝48（厘米）10×4＋6×2＝40＋12＝52（厘米）答：剩余部分的面积都是76平方厘米，剩余部分的周长分别是40厘米、48厘米、52厘米。【对应练习1】一张正方形纸的边长是15厘米。在它的边上剪去一个长5厘米、宽3厘米的长方形，剩下的纸的周长是多少厘米？面积呢？先画出你剪的方法，再计算。【答案】60厘米；210平方厘米。（答案不唯一）【分析】如图，在一张边长为15厘米的正方形边上剪去一个长5厘米、宽3厘米的长方形，剩下的纸的周长，在减少两条线段的同时，也增加了两条相等的线段，所以剩下的周长还等于原正方形的周长，面积用正方形面积减去剪下的长方形面积，据此即可解答。【详解】如图：按下图这样剪：（答案不唯一）周长：15×4＝60（厘米）面积：15×15－5×3＝225－15＝210（平方厘米）答：剩下的纸的周长是60厘米，面积是210平方厘米。【点睛】本题是考查长方形和正方形的周长和面积，要认真审题，把可能出现的情况都想到，然后再任选一种解答。【对应练习2】如图：一张长为8分米的正方形纸中剪去了一个长3分米、宽2分米的长方形．剩下部分的面积是多少？剩下部分的周长是多少？【答案】58平方分米，36分米【分析】根据题意可知，剩下的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积；剩下的周长，可以把长方形的长通过平移，也就是正方形的周长加上长方形的两条宽边，由此列式解答。【详解】面积：8×8﹣3×2＝64﹣6＝58（平方分米）周长：8×4＋2×2＝32＋4＝36（分米）答：剩下部分的面积是58平方分米，剩下部分的周长是36分米。【点睛】此题主要考查正方形、长方形的周长和面积的计算，解答此题还要明确：从正方形纸中剪去了一个长3分米、宽2分米的长方形，面积比原来减少了，而周长比原来增加了。【典型例题2】拼接问题。有两个大小一样的正方形，边长是18厘米，拼成一个长方形后周长是多少？面积是多少？【答案】108厘米；648平方厘米【分析】由题可知，拼成的长方形的长是2个18厘米，宽是18厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，即可解答。【详解】18×2＝36（厘米）（36＋18）×2＝54×2＝108（厘米）36×18＝648（平方厘米）答：长方形的周长是108厘米，面积是648平方厘米。【点睛】此题主要考查了长方形的周长和面积公式。【对应练习1】4个边长是4厘米的小正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的周长和面积各是多少？【答案】周长是32厘米；面积是64平方厘米【分析】把4个边长是4厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的边长就是4＋4＝8（厘米），然后根据正方形的周长＝边长×4，以及正方形的面积＝边长×边长进行计算即可解答。【详解】这个大正方形的边长是：4＋4＝8（厘米）8×4＝32（厘米）8×8＝64（平方厘米）答：这个大正方形的周长是32厘米；面积是64平方厘米。【点睛】此题应根据题意进行拼组，然后根据正方形的周长、面积计算公式，进行计算即可得出结论。【对应练习2】用9块边长6厘米的正方形纸片拼成一个正方形。（1）请你在下边先画图。（2）所拼成图形的周长和面积各是多少？【答案】（1）见详解；（2）72厘米；324平方厘米【分析】（1）用9块正方形纸片拼成一个正方形，可以拼成3行，每行2块正方形纸片。则大正方形的边长应为3×6＝18厘米。据此画图即可。（2）正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。【详解】（1）（2）3×6＝18（厘米）18×4＝72（厘米）18×18＝324（平方厘米）则所拼成图形的周长是72厘米，面积是324平方厘米。【点睛】熟练掌握正方形的周长、面积公式，灵活运用公式解决问题。【对应练习3】用6个边长为1厘米的小正方形可以拼成一个大长方形，有几种拼法？画图表示出来。拼成的长方形的面积是多少？【答案】两种第一种拼法：面积为：6×1＝6（平方厘米）第二种拼法：面积为：3×2＝6（平方厘米）【分析】可以把6个边长为1厘米的正方形都摆在同一行，拼成一个长为6厘米，宽为1厘米的长方形；接下来根据长方形面积的计算公式求出面积；还可以把六个正方形摆成两行，每行三个，拼成一个长为3厘米。宽为2厘米的长方形，进而求出面积。【详解】第一种拼法：面积为：6×1＝6（平方厘米）第二种拼法：面积为：3×2＝6（平方厘米）【点睛】本题关键要将两种拼法给拼出来再分别计算面积。【考点十一】铺砖问题其一。【方法点拨】解决铺砖问题的方法：1.要铺的图形的面积+地砖的面积=地砖的总块数。2.要铺的图形的长可以铺的块数×要铺的图形的宽可以铺的块数=地砖的总块数。【典型例题】佳兴小区有一块边长为8米的正方形休闲场地，用面积是4平方分米的彩色方砖来铺这块休闲场地，共需要多少块?解析：8×8=64（平方米）64平方米=6400（平方分米）6400÷4=1600（块）答：共需要1600块。【对应练习1】状状家的卫生间长6米，宽3米，用面积是9平方分米的方砖铺地，需要多少块方砖?解析：

6×3=18（平方米）18平方米=1800平方分米1800÷9=200（块）【对应练习2】涛涛装修长4米，宽3米的书房。如果书房地面要铺上边长是2分米的正方形地砖，一共需要多少块？(1)涛涛的计算方法如下：4×3＝12（平方米）12平方米＝1200平方分米1200÷2＝600（块）你同意涛涛的做法吗？同意的请说理由；不同意的写新的解答过程。(2)如果每块地砖的售价是18元，涛涛买这些地砖至少要花多少钱？解析：(1)不同意4×3＝12（平方米）12平方米＝1200平方分米2×2＝4（平方分米）1200÷4＝300（块）答：一共需要300块。(2)300×18＝5400（元）答：涛涛买这些地砖至少要花5400元。【对应练习3】一条校园小路长120米，宽3米。用边长3分米的水泥方砖铺地，需要这种水泥方砖多少块？校园小路的面积：120×3＝360（平方米）360平方米＝36000平方分米每块方砖的面积：3×3＝9（平方分米）方砖的块数：36000÷9＝4000（块）答：需要这种水泥方砖4000块。【考点十二】铺砖问题其二。【方法点拨】地砖的总块数×每块砖的面积=要铺的图形的面积。【典型例题】一间厨房用长方形的地砖铺地，每行铺15块，铺20行。（1）这个厨房一共铺多少块地砖?（2）如果每块地砖长4分米，宽3分米，这个厨房的面积是多少平方米?解析：（1）15×20=300（块）（2）4×3×300=3600（平方分米）=36（平方米）【对应练习1】明明家用边长是8分米的方砖铺地，卧室正好用了50块方砖，明明家卧室的面积是多少平方米?解析：8×8×50=3200（平方分米）3200平方分米=32平方米【对应练习2】工程队用边长为4分米的方砖铺会议室地面，沿着长正好铺了35块，沿着宽正好铺了25块，会议室的面积有多少平方米？解析：4×4＝16（平方分米）16×（35×25）＝16×875＝14000（平方分米）14000平方分米＝140平方米答：会议室的面积有140平方米。【对应练习3】学校会议室是一个长方形。如果用边长5分米的方砖来铺地面，沿着长边可铺20块，沿着宽边可铺10块。学校会议室地面面积有多少平方米？解析：5×5×（10×20）＝25×200＝5000（平方分米）＝50平方米答：学校会议室地面面积有50平方米。【考点十三】铺砖问题其三。【方法点拨】确定最优的铺砖方案时，需根据不同砖的类型确定砖的块数以及对应的金额，找出最省钱的方案。【典型例题】李红家准备在客厅地面上铺方转，选择哪种方砖便宜，需要这种方砖多少块？解析：边长2分米，面积是（）平方分米，每平方分米的单价是：（元），边长1分米，面积是（）平方分米，单价是3元。2，所以选择边长2分米的方砖便宜。6米＝60分米4米＝40分米（60×40）÷（2×2）＝2400÷4＝600（块）答：选择边长2分米的方砖便宜，需要