2023-2024学年北京东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷和答案

高中PAGE1试题2023-2024学年北京市东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）2．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，3），则z的共轭复数z=A．1+3i B．1−3i C．﹣1+3i 3．（4分）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，m），若a→A．﹣4 B．−12 C．14．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆台、一个圆锥5．（4分）在△ABC中，“sin2A＝sin2B”是“△ABC为等腰三角形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（）A．2π B．3π C．4π D．5π7．（4分）函数f（x）＝sin2x•tanx（）A．奇函数，且最小值为0 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为2 D．偶函数，且最小值为08．（4分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．AC D．BC9．（4分）已知a→，b→是单位向量，c→=a→+2bA．3 B．7 C．3 D．210．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（）A．3π4 B．π C．2π D．3二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为．12．（5分）已知函数f(x)=3sin2x−cos2x，则f（0）＝；若将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后得到g（x）的图象，则函数g（x13．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+φ）（0≤φ＜2π）．若f（x）在区间[π3，π]上单调递减，则φ14．（5分）在△ABC中，a＝42，b＝m，sinA﹣cosA＝0．①若m＝8，则c＝；②当m＝（写出一个可能的值）时，满足条件的△ABC有两个．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：①四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值②三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为2③A1D+DB的最小值为2请写出所有正确结论的序号．三、解答题：共6小题，共85分。16．已知集合A＝{x|2a﹣2≤x≤a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}．（1）若a＝﹣2，求A∪（∁RB）；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．17．如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象经过B(π6，0)（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若α∈(5π12，2π3)，且18．已知△ABC满足，且b=6，A=2π3，求sinC的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=3，③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点．（Ⅰ）当AC→=2CP→时，用BA→，BC→表示（Ⅱ）若|AP→|=120．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD＝75°，∠ABD＝45°．（注：点A，B，C，D在同一平面内）（Ⅰ）求△ABD的面积；（Ⅱ）求点C，D之间的距离．21．已知集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17}，集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当X＝{1，2，5，7，11，13，16，17}时，设xi，xj∈X（1≤i，j≤8），（i）写出方程xi﹣xj＝3的解（xi，xj）；（ii）若方程xi﹣xj＝k（k＞0）至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程xi﹣xj＝k（1≤i，j≤8）至少有三组不同的解．

2023-2024学年北京市东城区广渠门中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DDABDBDCCB一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）【分析】由补集的定义直接求解即可．【解答】解：因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，所以∁UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．故选：D．【点评】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．（4分）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，3），则z的共轭复数z=A．1+3i B．1−3i C．﹣1+3i 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，3），∴z＝﹣1+3i则z的共轭复数z=−1−3故选：D．【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，m），若a→A．﹣4 B．−12 C．1【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求得m的值．【解答】解：∵向量a→=（﹣1，2），b→=（2，m），若则﹣m﹣4＝0，求得m＝﹣4，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4．（4分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．【解答】解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B．【点评】本题考查旋转体的形状判断，考查空间位置关系和想象能力，属于基础题．5．（4分）在△ABC中，“sin2A＝sin2B”是“△ABC为等腰三角形”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．【解答】解：若在△ABC中有sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B=π则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故充分性不成立，当△ABC为等腰三角形时，若A是顶角，B是底角，则2A不一定等于2B，则sin2A＝sin2B不成立，故必要性不成立，则“sin2A＝sin2B”是“△ABC为等腰三角形”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．6．（4分）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则它的表面积是（）A．2π B．3π C．4π D．5π【分析】由轴截面，得到圆锥的底面半径，再利用圆锥的表面积公式求解即可．【解答】解：由题意可知，圆锥的底面直径为2，母线为2，则圆锥的底面半径为1，所以圆锥的表面积为12故选：B．【点评】本题考查了圆锥的几何性质的应用，圆锥的轴截面的理解与应用，圆锥的侧面积公式的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．7．（4分）函数f（x）＝sin2x•tanx（）A．奇函数，且最小值为0 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为2 D．偶函数，且最小值为0【分析】先求出函数定义域，对已知函数进行化简，然后结合奇偶性的定义检验奇偶性，再结合余弦函数性质可求函数的最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠π又f（x）＝sin2x•tanx＝2sincosx⋅sinx则f（﹣x）＝2sin2（﹣x）＝2sin2x＝f（x），即函数f（x）为偶函数，A，C均错误；因为f（x）＝2sin2x＝1﹣cos2x，x≠π2+kπ，k∈Z，则cos2所以f（x）＝1﹣cos2x∈[0，2），所以函数f（x）的最小值为0，无最大值，故B错误，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断及最值的求解，属于基础题．8．（4分）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）A．AB B．AD C．AC D．BC【分析】根据题意，分析可得：在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，进而可分析出△ABC的三边及中线AD中，最长的线段．【解答】解：△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：C．【点评】本题考查平面图形的直观图的作法，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于简单题．9．（4分）已知a→，b→是单位向量，c→=a→+2bA．3 B．7 C．3 D．2【分析】由向量垂直得a→⋅c→=【解答】解：∵a→，b→是单位向量，c→=a→+∴a→∴2a|c→|=1−2+4=3故选：C．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（）A．3π4 B．π C．2π D．3【分析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，根据正三角形的性质求得OA的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆．【解答】解：设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，则OA=23×3所以OP=PA2由PQ2−OP2所以其面积S＝π．故选：B．【点评】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）已知复数z满足iz＝2+i，则z的虚部为﹣2．【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可．【解答】解：因为iz＝2+i，所以z=2+i所以z的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．12．（5分）已知函数f(x)=3sin2x−cos2x，则f（0）＝﹣1；若将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后得到g（x）的图象，则函数g（x【分析】用辅助角公式化简得f(x)=2sin(2x−π6)，代入即可求f（0）；由三角函数图象的平移变换可得g（x），再由三角函数的图象性质可求得g【解答】解：因为f(x)=2(3所以f(0)=2sin(−π依题意，g(x)=f(x+π令2x＝kπ，（k∈Z），得x=kπ所以g（x）的图象的对称中心为(kπ令k＝0，得g（x）的图象的一个对称中心为（0，0）．故答案为：﹣1；（0，0）（答案不唯一）【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+φ）（0≤φ＜2π）．若f（x）在区间[π3，π]上单调递减，则φ的一个取值可以为【分析】先求出f（x）在R上的单调减区间，再根据题意建立不等式组，即可求解．【解答】解：令π2+2kπ≤x+φ≤3π2+2kπ可得π2−φ+2kπ≤x≤3π2−φ+2kπ∴f（x）的单调减区间为[π2−φ+2kπ，3π2−φ+2kπ]，又f（x）在区间[π∴[π3，π]⊆[π2−φ+2kπ，3π∴π2−φ+2kπ≤π33π∴π6+2kπ≤φ≤π2+2kπ，k∈Z∴π6≤φ≤π2故答案为：π6【点评】本题考查三角函数的单调性，不等式思想，属中档题．14．（5分）在△ABC中，a＝42，b＝m，sinA﹣cosA＝0．①若m＝8，则c＝42；②当m＝6（写出一个可能的值）时，满足条件的△ABC有两个．【分析】①求出A，再由余弦定理求解即可；②根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m的范围即可得解．【解答】解：①∵sinA﹣cosA＝0，∴tanA＝1，∵0＜A＜π，A=π由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即32=64+c解得c=42（2）因为A=π所以当bsinπ即42取m＝6即可，满足条件（答案不唯一）．故答案为：42【点评】本题考查了余弦定理的应用、考查了三角形解的个数问题，属于基础题．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：①四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值②三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为2③A1D+DB的最小值为2请写出所有正确结论的序号①②．【分析】对于①：根据BB1∥平面ACC1A1可知四棱锥E﹣ACC1A1的高为定值，进而可得结果；对于②：分析可知△ABD的面积最大值为1，三棱锥E﹣ABD的最大值为2，即可得体积最大值；对于③：将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面，结合平面几何性质分析最值．【解答】解：对于①：因为BB1∥平面ACC1A1，且E∈BB1，可知点E到平面ACC1A1的距离相等，即四棱锥E﹣ACC1A1的高为定值，且底面ACC1A1为面积为定值，所以四棱锥E﹣ACC1A1的体积为定值，故①正确；对于②：因为点D在棱AC上，且AC⊥BC，可知当且仅当点D与点C重合时，△ABD的面积取到最大值12又因为点E在棱BB1上，且BB1⊥平面ABC，可知当且仅当点E与点B1重合时，三棱锥E﹣ABD的高取到最大值2，所以三棱锥E﹣ABD的体积的最大值为13×1×2=2对于③：如图将△ABC翻折到与矩形ACC1A1共面，连接A1B交AC于点D，此时A1D+DB取得最小值，因为A1C1＝CC1＝2，BC＝1，则BC1＝3，可得A1所以A1D+DB的最小值为13，故③错误；故答案为：①②．【点评】本题主要考查了三棱柱的结构特征，考查了空间想象能力，属于中档题．三、解答题：共6小题，共85分。16．已知集合A＝{x|2a﹣2≤x≤a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}．（1）若a＝﹣2，求A∪（∁RB）；（2）若A∩B＝A，求a的取值范围．【分析】（1）由已知结合集合的并集集补集运算即可求解；（2）由题意得A⊆B，然后结合集合的包含关系对A是否为空集进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由题意得A＝{x|﹣6≤x≤﹣2}，∁RB＝{x|x≥1或x≤﹣3}，故A∪（∁RB）＝{x|x≥1或x≤﹣2}；（2）由题意得A⊆B，①当A＝∅时，2a﹣2＞a，得a＞2，符合题意；．②当A≠∅时，2a−2≤aa＜12a−2＞−3，得故a的取值范围为(−1【点评】本题主要考查了集合的交集，补集集并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中等题．17．如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象经过B(π6，0)（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若α∈(5π12，2π3)，且【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，由题意求得sin（2α−π3）=12，结合2α−π3的范围，求得2α【解答】解：（Ⅰ）π6+2π3可得A＝2，12∴ω＝2，再结合五点法作图可得2×π6求得φ=−π（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f（α∵α∈(5π12，2π3)，∴∴cos2α=cos7【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，根据三角函数的值求角，属于基础题．18．已知△ABC满足①，且b=6，A=2π3，求sinC的值及△ABC的面积．从①B=π4，②a=3，③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，由sinC＝sin（A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到sinC，再由正弦定理求得a，由此即可求得三角形面积．选②，由正弦定理结合已知数据可得sinB＞1，此时三角形无解；选③，先由正弦定理结合已知条件求得sinB=22，再根据诱导公式及和差角公式可得sin【解答】解：选①，由A+B+C＝π可知，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sin(2π由正弦定理有asinA=bsinB，即∴S△ABC选②，∵a=3，b=6，A∴由正弦定理可得，asinA=bsinB，即选③，∵a＝32sinB，b=6，A=∴由正弦定理可得，asinA=bsinB，即asinB＝∴32∴sin又B为△ABC内角，∴sinB=2又A=2π故B=π4，∴sinC=sin(A+B)=sin2π∴S△ABC【点评】本题考查和差角公式的运用以及利用正弦定理，面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．19．已知P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点．（Ⅰ）当AC→=2CP→时，用BA→，BC→表示（Ⅱ）若|AP→|=1【分析】（Ⅰ）根据平面向量线性运算法则表示出BD→，BP（Ⅱ）建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），利用平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得．【解答】解：（Ⅰ）因为P是边长为2的等边△ABC所在平面内一点，M是BC的中点，D是AM的中点，且AC→所以BD=1BP→所以BD=3=3（Ⅱ）如图以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），则C(1，−3)，A（0，0），所以AB→=(−1，−3所以CP=−2sin(θ+π因为−1≤sin(θ+π6)≤1即CP→【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．20．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得∠BAD＝75°，∠ABD＝45°．（注：点A，B，C，D在同一平面内）（Ⅰ）求△ABD的面积；（Ⅱ）求点C，D之间的距离．【分析】（Ⅰ）由三角形内角关系求出∠ADB＝60°，利用正弦定理可得AD，计算sin∠BAD，利用三角形面积公式计算可得结果；（Ⅱ）△ACD中由余弦定理可得结果．【解答】解：（I）在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，所以∠ADB＝60°，由正弦定理：ADsin∠ABD=AB所以AD=sin45°sin∠BAD=sin75°=sin(45°+30°)=2所以△ABD的面积为S△ABD（Ⅱ）由∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，得∠CAD=45°，AC=63在△ACD中由余弦定理，得CD所以CD=215即点C，D之