猜想01 三角形（考题猜想常考易错7个考点42题专练）解析版

猜想01：三角形题型一：等腰三角形的判定和性质题型二：等边三角形的判定和性质题型三：直角三角形的判定和性质题型四：勾股定理及其应用题型五：线段的垂直平分线题型六：角平分线题型七：三角形的证明题型一：等腰三角形的判定和性质1．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了等边对等角的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，先根据，得出，再根据，求出，再根据平行线性质得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．2．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，，点C，D，E，F在同一条直线上，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是（

）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明全等是解题的关键；由条件易证，从而判定①；由全等的性质得，从而判定②；由全等角相等及角的关系可判定④；无法判断③，从而可得答案．【详解】解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，，，故①②正确；∵，，，∴，∵，故④正确；无法判断③，故③错误；故选：C．

3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点作，垂足为，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：．4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键．在上截取，连接，根据“平分”和“”证明出，故选项①正确；由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，由三角形面积公式及等量代换可得，故选项②④正确．【详解】在上截取，连接，

∵，∴，，∴，∵，，∴，∵平分，即，在和中，，∴，∴，∴，故①正确；∵，∴，∴，故②正确；根据已知条件无法证明，故③错误；∵，∴，∴，即，故④正确．其中正确的是①②④．故选：C．5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，D是的中点，E，F分别在边上，且．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是(

)A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，根据等腰三角形的性质可得，，可证明，再根据全等三角形的性质，逐项判断，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵在中，，D是的中点，∴，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，故①正确；∴，即，故②正确；∵，∴，∴，故③正确；故选：D6．（23-24八年级上·广东汕头·期末）在等腰中，，，为边上一点，连接．(1)如图①所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，且，若，，，则的周长为_______．(2)如图②所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，过点作的延长线于点，，求的长；(3)如图③所示，以为顶点，为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想；与的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而得出，根据等角对等边得出，进而可得，根据三角形的周长公式，即可求解；（2）过点作于点，证明，则，，即可得出；（3）设，根据题意得出，，过点作交的延长线于点，连接，证明，得出，证明得出，等量代换可得，即可得证．【详解】（1）解：∵等腰中，，，∴，∵，∴，∴，又∵是等腰直角三角形，∴∴∴又∵，∴∴的周长为，故答案为：．（2）解：如图所示，过点作于点，∵等腰，∴，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，在中，∴∴，∴（3）解：猜想，证明如下，设∵，，∴，∵，∴，∵是的外角，则，又∴如图所示，过点作交的延长线于点，连接，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴又∵∴∴，∴∵，∴在中，，∴∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，在中，∴∴∴，即【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点．(1)求证：．(2)当时，求证：平分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．（1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；（2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）如图，设、交于点，∵，由（1）得，∴，，，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∴，∴，∴平分．题型二：等边三角形的判定和性质8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形中，F是上一点，E是上一点，连接．若，，，平分，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分，正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据可证明，由全等三角形的性质可得到，则，然后依据四边形的内角和为可求得的度数，然后再证明，则依据等腰三角形的性质可得到与的关系．【详解】解：,即，，故①正确，，故③正确．平分，平分．又，平分，是的垂直平分线，故④正确．由已知条件无法证明，故②错误．故选：C．9．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案；【详解】解：过E作，∵是等边三角形，，，∴，，∵，∴，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．10．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过P作交于点F，通过求证，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度．【详解】解：过P作交于点F，如图所示则，∵是等边三角形，∴，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵于E，是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A．11．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】A【分析】由等边三角形的性质得，，，则，，即可根据证明得，，可判断①正确；再推导出，可判断④正确；再证明，得，，可判断③正确；由，，证明是等边三角形，可判断②正确；因为，所以，可判断⑥正确；作于点，于点，由，得，则，即可证明平分，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．【详解】解：等边三角形和等边三角形，，，，在和中，，，故①正确；故④正确；在与中，，，故③正确；，是等边三角形，故②正确，，，故⑥正确；作于点，于点，，点在的角平分线上，平分，故⑤正确综上所述，正确的有个，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，平行线的判定，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点；连结，交交于点，与交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用，①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确．【详解】解：①∵和是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；故①正确；③∵（已证），∴，∵（已证），∴，∴，在与中，，∴，∴；故③正确；②∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴；故②正确；④∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴．故④正确；综上所述，正确的结论有：①②③④．故选：D．13．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图1，是等边三角形，点D，E分别在上，且．(1)求证：．(2)求的度数．(3)如图2，点C关于的对称点为点M，连接，证明平分．【答案】(1)见解析(2)；(3)见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，第（3）问作出合适的辅助线得到是等边三角形是解题的关键．（1）由等边三角形的性质可知，．再结合题意即可利用证明；（2）由得出，结合三角形外角的性质即得出；（3）延长，使，连接，证明是等边三角形，推出，得到，据此即可证明平分．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，．又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴；（3）证明：延长，使，连接，由（2），得，∴是等边三角形，∴，，∵点C点M关于对称，∴，，∴，∴，∴，∴，∴平分．14．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在四边形中，，，，，，．如果点P由B点出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿方向向点B匀速运动，它们的速度均为，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：

(1)设的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值；(2)当t为何值时，为等边三角形？(3)当t为何值时，？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质．（1）当P、Q两点同时停止运动时，点P和点C重合，得出，进而得出，令点C到的距离为，根据三角形面积公式，即可解答；（2）根据等边三角形的判定定理“含有60度角的等腰三角形是等边三角形”，列出方程求解即可；（3）根据“含有30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半”列出方程求解即可．【详解】（1）解：当P、Q两点同时停止运动时，点P和点C重合，此时，∴，∴，令点C到的距离为h，∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴当时，为等边三角形，∵，∴，解得：；（3）解：∵，，∴，∴，∵，∴，解得：．题型三：直角三角形的判定和性质15．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，，分别是，的中点，点在上，延长交于，，，，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可．【详解】∵，分别是，的中点，，∴，∵，，∴，∴．故选：C．16．（23-24八年级上·北京西城·期中）中，，，，是的角平分线，点、分别是线段、线段上的动点，则的最小值是(

)A．4 B．3 C．8 D．【答案】A【分析】如图，作关于的对称点，连接，则，在上，，当三点共线，且，即重合时，的值最小，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，则，∵是的角平分线，∴在上，∴，∴当三点共线，且，即重合时，的值最小，∵，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线，轴对称的性质，含的直角三角形，垂线段最短是解题的关键．17．（22-23八年级下·贵州遵义·期中）如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，连接，．若，，，则的长度为()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，根据三角形中位线定理求得、的长，根据直角三角形的性质计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：，分别是，的中点，，，，，，，是的中点，．故选：B．18．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以得到，然后根据勾股定理可以得到，从而可以得到的数量关系．【详解】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，∴，∵，∴，∴，化简，得：，故选：C．19．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．（1）根据题意易得，，则，即可根据判定；（2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证．【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，∵是的边上的高，∴，即，∴，∴，∴．20．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）在中，，分别过点A、B两点作过点C的直线m的垂线，垂足分别为点D、E．

(1)如图1，当，点A、B在直线m的同侧时，求证：；(2)如图2，当，点A、B在直线m的异侧时，请问（1）中有关于线段、和三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；(3)如图3，当，，点A、B在直线m的同侧时，一动点M以每秒的速度从A点出发沿A→C→B路径向终点B运动，同时另一动点N以每秒的速度从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M和点N作于P，于Q．设运动时间为t秒，当t为何值时，与全等？【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)或14或16秒【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．（1）根据于D，于E，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，于是；（2）同（1）易证，则，，于是；（3）只需根据点M和点N的不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，∴，∵于D，于E，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）解：结论：；理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（3）解：①当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，∴，解得：，不合题意；②当时，点M在上，点N也在上，如图，

∵，∴点M与点N重合，∴，解得：；③当时，点M在上，点N在上，如图，

∵，∴，解得：；④当时，点N停在点A处，点M在上，如图，

∵，∴，解得：；综上所述：当或14或16秒时，与全等．题型四：勾股定理及其应用21．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．11，60，61 B．4，5，6 C．12，35，36 D．15，16，17【答案】A【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．【详解】解：A、∵，∴这组数是勾股数；B、∵，∴这组数不是勾股数；C、∵，∴这组数不是勾股数；D、∵，∴这组数不是勾股数．故选：A．22．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，根据面积相等的关系证明勾股定理．利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等即可得答案．【详解】解：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：，，，故选：C．23．（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）如图所示，一圆柱高，底面半径为，要爬行的最短路程（取3）是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用-圆柱展开图．先将圆柱展开，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图所示：沿将圆柱的侧面展开，∵底面半径为，∴，在中，∵，∴．故选：B24．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（）米，踏之何忍”．A．4 B．5 C．7 D．12【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用；由长方形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案．【详解】解：四边形是长方形，，在中，由勾股定理得：，（米），故选：A．25．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）若三角形的三边长为，且满足，则下列说法正确的是（

）A．边的对角是直角 B．边的对角是直角C．边的对角是直角 D．此三角形不是直角三角形【答案】A【分析】本题考查平方差公式，以及勾股定理逆定理．将等式转化为，即可得出结论．【详解】解：，∴，∴，∴三角形为直角三角形，求为斜边，∴边的对角是直角；故选A．26．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图所示，在四边形中，，，，．

(1)求的长；(2)四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是对勾股定理的掌握和运用．（1）利用勾股定理直接计算即可解题；（2）先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后利用计算即可．【详解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，，∴，∴是直角三角形且，∴．27．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．【答案】(1)；(2)；(3)丙房间的宽是米．【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）证明，从而得到米，米，即可求出；（3）根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．【详解】（1）解：在中，∵，米，米，∴，∵，∴甲房间的宽度米，（2）解：∵，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，∴米．（3）解：过点作垂线，垂足点，连接，设，且．∵梯子的倾斜角为，∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴米，即丙房间的宽是米．题型五：线段的垂直平分线28．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（

）A．9 B．13 C．13.5 D．18【答案】B【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图得到垂直平分，则，得到，然后利用等线段代换得到．【详解】解：由作法得垂直平分，∴∴∴的周长故选：B．29．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可．【详解】解：连接，

∵是的平分线，∴，∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∵为的平分线，∴点O是的外心，∴，∴，∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，∴，∴，在中，．故选：D．30．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，∵的周长，∴，∴，∴，∴的长为；故选D．31．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．

(1)求证：．(2)连接，求证垂直平分．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．（1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明；（2）利用““证明，可得，所以点在的垂直平分线上，根据，可得点在的垂直平分线上，进而可以解决问题．【详解】（1）证明：于点，，又平分，，，在和中，，．（2）证明：在和中，，，．点在的垂直平分线上，，点在的垂直平分线上，垂直平分；32．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O．(1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析(2)【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．（1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论（2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数．【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下：连接，∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O．∴，∴，∴点O在的垂直平分线上；（2）∵，∴，∵，∴题型六：角平分线33．（23-24八年级上·吉林白山·期末）在中，，平分，，垂足为点E，若，则的长为（）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．据此即可解答．【详解】解：∵，平分，，∴，故选：A．34．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键．【详解】作于，于，∵平分，∴，∴，设的面积为，则，∵为的中点，∴，∵的面积比的面积大，∴的面积比的面积大，∴，∴，∴故选：．35．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如图，的三边，，的长分别是10，15，20，点是三条角平分线的交点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查角平分线的性质定理．过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点，点是三条角平分线的交点，，，的三边，，的长分别是10，15，20，．故选：D．36．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的角平分线，，，，P，Q分别是和上的任意一点，连接，，，，给出下列结论：①；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论；③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可；④过点P作于点N，得出，求出，即可求出结果．【详解】解：①∵，是的角平分线，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，故①正确；②∵，∴，，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正确；③根据解析①可知，，∴当最小时，最小，过点A作于点M，如图所示：当点P在与交点上时，，且最小值为，∵平分，∴，，∴，∵，∴，即的最小值是，故③错误；④过点P作于点N，如图所示：∵平分，，∴，∴，∵，∴，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．37．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）已知，平分；(1)如图1中，若点B,D分别在上，，求证：；(2)在图2中，若，，求（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明，若不成立，则说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．（1）由角平分线的性质可得，即可证明，可得，再根据，即可解题；（2）过C作于E，于F，根据平分，可得，证明，即可证明，可得，再根据（1）中证明，即可解题．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：成立，过C作于E，于F，∵平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，由（1）知，∴．38．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）在中，平分，交于点．(1)如图1，点为线段上一点，点，分别为，边上的点，连接，，且满足，若，求的长度；(2)如图2，延长至点，且满足，若，，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定；（1）过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解；（2）在上截取，连接，利用三角形内角和定理求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，利用证明，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差及等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图1，过点作于点，于点，平分，，，，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图2，在上截取，连接，，，，平分，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．题型七：三角形的证明39．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）、均为等腰直角三角形．(1)连接，，如左图，若当，，求______；______．(2)绕点C旋转到一定角度后，如右图．①求证：；②探究与的数量和位置关系【答案】(1)2，(2)①证明见解析②，【分析】本题考查了全等三角形判定与性质及直角三角形性质，（1）证明，得出，，再利用直角三角形性质求出长即可解决问题；（2）①先证明，即可证出全等；②根据全等三角形性质得出与的数量和位置关系．【详解】（1）解：、均为等腰直角三角形，，，，在中，，，，，，故答案为：2，；（2）解：①、均为等腰直角三角形，，，即，；②，，理由如下：，，，，，．40．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、．(1)猜想：与、之间有