江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月质量检测数学试卷一、单选题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以；故选：A2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A.140种 B.120种 C.35种 D.34种【答案】D【解析】由题意得：选出4人参会，总的选法共有种，选出4人均为男生的选法有种，则4人中既有男生又有女生的选法共有种，故选：D.3.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为 B.各项的系数和为64C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为【答案】A【解析】对于A，展开式通项为，当时，常数项为，选项A正确；对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.故选：A.4.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】，所以．故选：A．5.甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：,甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，故选：C6.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，则.故选：B.7.已知，若，则（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展开式中的系数为.故选：A.8.设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】由于二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则，，所以，故选:C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.被7除后的余数为5B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是C.已知，则D.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为【答案】BC【解析】对于A：由于，所以，所以，即被7除后的余数为2，故A错误；对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，两位女生不相邻的排法有，则两位女生不相邻的概率为，故B正确；对于C：由可得，解得，故C正确；对于D：从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，共有种取法，取得2件次品共有，则取得2件次品的概率为，故D错误.故选：BC.10.已知，.若随机事件A，B相互独立，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】对B，，B正确；对A，，，A错误；对C，，，C正确；对D，，D正确.故选：BCD.11.正方体的棱长为2，为的中点，则（）A. B.与所成角余弦值为C.面与面所成角正弦值为 D.与面的距离为【答案】AD【解析】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、.选项A：因为，，所以所以，故A正确.选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确.选项C：易求平面的法向量.设平面的法向量为，易求,，由，令，则.设平面与平面所成角为，则,，即，故选项C不正确.选项D：因为平面的法向量为，，设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为，则：,故选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________．【答案】252【解析】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴，解得，∴中，，∴当，即时，常数项为．故答案为：252．13.已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______.【答案】【解析】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项，展开式的通项为，当时，是有理项，则展开式的有理项共4项，所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率.故答案为：14.某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有_______种不同的派驻方式．(用数字填写答案)【答案】15；72.【解析】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有种分配方式；第二空，先将3女分配到3个乡村，有种，再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种，然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法，所以共有种分配方式.故答案为：15；72.四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．15.6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?解：（1）根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外两位同学排列有种排法，第二步：再把丙丁插空排列有种排法，所以共有种排法；（2）先将6为同学分成4组，按人数分有和种分法：第一类：按分法有种分法；第二类：按分法有种分法；所以共有：种分法.所以一共有种不同报名方式.16.已知在的展开式中满足，且常数项为，求：（1）二项式系数最大的项（2）系数绝对值最大的是第几项（3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．解：（1）根据展开式的通项可得令，解得即时，常数项，解得所以二项式系数最大的项（2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项；设第项系数最大，则即，又，所以，即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大.（3）令，，解得，即展开式中有理项共有6项，无理项有5项；所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种；17.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球．（1）求第一次取出的球为红球的概率；（2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．解：（1）设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得：（2）设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得：，所以18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD，E、F分别为PA、AB的中点，直线AC与DF相交于O点．（1）证明：平面DEF；（2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值；（3）求二面角A-EO-D的余弦值.解：（1）以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面DEF的法向量为，，，∵，，∴，取；又，∴，∴，面DEF，所以平面DEF.（2）∵，∴，设直线PC与平面DEF所成角为，则.（3），，，，，