江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.化简，得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.2.已知向量的夹角为60°，且，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】.故选：C.3.已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（）A. B.C.(3，2) D.(1，3)【答案】A【解析】设顶点的坐标为，，且，.故选：．4.已知，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知，故，从而.所以.故选：D.5.已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】∵与是共线向量，∴存在实数，使得，即，已知是两个不共线向量，则有，解得.故选：A.6.已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A选项，，A正确.对于B选项，，B错误.对于C选项，，C正确.对于D选项，，D正确.故选：B.7.已知，且，则的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故选：D.8.矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，则，，，，，所以当，时，取最小值.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A. B.若且，则C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；对于选项B，由，得，又，所以或，故选项B错误；对于选项C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故选项C正确，对于选项D，，故选项D正确.故选：ACD.10.下列计算中正确的是（）A.B.C.D.都是锐角，，则【答案】AD【解析】对于A，因为，正确，对于B，当时，，错误，对于C，当时，，错误，对于D，因为都是锐角，则，又，则，，所以，正确.故选：AD.11.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.若为非零向量，则不与垂直B.、为实数，若，则与共线C.若平面内有四个点，则必有D.在中，为的中点，若，则是在上的投影向量【答案】CD【解析】对于选项A，若，则有，此时与垂直，所以选项A错误，对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误，对于选项C，因为，即，所以选项C正确，对于选项D，因为分别是与同向的单位向量，又，且为的中点，知，即，所以是在上的投影向量，故选项D正确.故选：CD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算＝________.【答案】1【解析】＝＝tan45°＝1.13.设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______．【答案】±2【解析】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，，则，解得.14.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______．【答案】【解析】如图，为圆心，连接，则，因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值.所以，所以，则，即的取值范围是.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在中，，，．求：（1）的值；（2）．解：（1）.（2）因为，所以，所以.16已知点，，，求：（1）的值；（2）的大小；（3）点A到直线BC的距离．解：（1）依题意，得，，.（2）因为，又，所以.（3）点A到直线BC的距离为．17.已知向量，其中，且．（1）求的值；（2）若，且，求角的值．解：（1）因为，所以，即，又，得到，代入，得到，又，所以.（2）由（1）得，，，因为，，所以，因为，所以，，所以，所以.18.如图，某企业的两座建筑物AB，CD的高度分别为20m和40m，其底部BD之间距离为20m．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备，投影到建筑物CD上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF为，投影幕墙的高度EF越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α，幕墙的高度EF为y（m）．（1）求y关于α的函数关系式，并求出定义域；（2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF的高度．解：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=，∠GAD=，又投影设备的投影张角∠EAF为，所以，所以G一定在EF上，所以，所以．（2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF的高度最小，即求y的最小值，由（1）得，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，又，所以满足题意，此时，．答：当时，投影的图像最清晰，此时幕墙EF的高度为m．19.（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度（2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度．（3）如图丙，在四边形中，分别在边