青海省西宁市大通回族土族自治县2025届高考二模数学数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1青海省西宁市大通回族土族自治县2025届高考二模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若与均为实数，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】C【解析】因为，所以，所以,则．故选：C．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得或，所以或，因为，所以.故选：C.3.圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是A. B. C. D.【答案】A【解析】若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积，故选A.4.已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得．故选：B．5.给定下列四个命题，其中真命题是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【答案】D【解析】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误对：利用反证法简单证明如下：若两个平面垂直，假设一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直.因为，且平面的交线，故可得，这与题设与不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.即选项正确.故选：D．6.已知，则（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因为，所以，且，所以，又因为，由，可得，所以．故选：A．7.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A.或 B.或 C. D.【答案】B【解析】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为，可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，又由圆的圆心为，半径为2，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或，又因为，所以或，解得或．故选：B．8.某科技兴趣小组设计了一个信号发生器，传输0，1，2信号，信号传输互不干扰，收到的信号不变的概率为，收到其他两种信号的概率均为．输入同一个信号的概率都是，输出3个信号作为一组信息单元，在输出信号为“0，2，1”的条件下，输入信号为“0，0，0”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件A为“输出信号为0，2，1”，事件B为“输入信号为0，0，0”，则．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙两名篮球运动员连续12场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有（）场次123456789101112甲16181811182025191718828乙41116102528162910181621A.甲的众数大于乙的众数 B.甲的极差大于乙的极差C.甲的平均数大于乙的平均数 D.甲的分位数大于乙的分位数【答案】AC【解析】由题意知甲的众数为18，而乙的众数为16，所以甲的众数大于乙的众数，故A正确；甲的极差为，乙的极差为，所以甲的极差小于乙的极差，故B错误；因为甲的平均数，乙的平均数，所以甲的平均数大于乙的平均数，故C正确；甲的得分按从小到大顺序排列为：8，11，16，17，18，18，18，18，19，20，25，28，又，所以甲的分位数为19，乙的得分按从小到大顺序排列为：4，10，10，11，16，16，16，18，21，25，28，29，又，所以乙的分位数为21，故D错误．故选：AC．10.已知函，则（）A.由可得必是的整数倍B.的图象关于点对称C.的表达式可改写为D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】BC【解析】对于A选项，若，则，所以，，，上述两个等式作差得，则，所以，必是的整数倍，A错；对于B选项，，所以的图象关于点对称，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，所以，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，D错.故选：BC.11.已知函数，1为的极小值点，则（）A. B.的极大值为3C.恰有3个零点 D.的图象关于点对称【答案】BC【解析】因为，所以，因为1为的极小值点，由，所以.此时由f'(x)=3x2-3=3由.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以的极大值点为，极大值为；的极小值.所以，故A错误；因为的极大值点为，极大值为，故B正确；因为的极大值为，的极小值，所以恰有3个零点，故C正确；因为，所以，故函数的图象关于点对称，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为_________．【答案】或【解析】当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为，实轴长为，由题意得，解得，所以该双曲线的标准方程为；当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则渐近线方程为实轴长为，由题意得，解得，则该双曲线的标准方程为．综上，该双曲线的标准方程为或．故答案为：或13.已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________.【答案】【解析】因为，所以，又，所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为.故答案：.14.已知，函数，若，则的最小值为_________．【答案】6【解析】由题意可知的定义域为，令，解得；令，解得．则当时，，故，所以；当时，，故，所以，故，即，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6．故答案为：6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示：性别游泳合计喜欢不喜欢男8040120女324880合计11288200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？（2）为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望．附：，其中．010.050.0100050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联．根据列联表中的数据，计算得到，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．（2）由题意可知抽取的男性有人，女性有人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，且，，.所以X的分布列为：X012P所以．16.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，求的面积；（2）若，求的值．解：（1）因为，则，且，化简得．由余弦定理得，即，可得，所以的面积为．（2）由及正弦定理得，因为，即，化简得，所以．17.已知函数，其中，.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.解：（1）当时，，定义域为，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.（2）当时，，定义域为，所以，因为在区间上存在极值，所以在上必存在变号零点，令，则在上必存在变号零点，因为，所以，解得，当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.18.设为数列的前n项和，时，，已知．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．（1）证明：当时，，即，则，而，则，于是时，，整理得，又，所以数列是首项和公比都是2的等比数列.（2）解：由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式.（3）解：由（2）知，，，两式相减得，，则．不等式，当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此，所以实数的取值范围是，的最小值为.19.如图1，已知抛物线，O为坐标原点，点A，B是E上异于点O的两点（其中点A在第一象限），直线AB交x轴于点C，且，将平面AOC沿着x轴翻折得到三棱锥，如图2所示，且．（1）求点C的坐标；（2）求证：平面平面；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值．（1）解：由题意知直线AB的斜率不为0且不过原点，所以可设直线AB的方程为，联立，得，则，所以．因为，所以，所以，即，解得（舍去），所以直线AB的方程为，令，得，即．（2）证明：如图，在平面内过点作，垂足为M，在平面内过点M作，垂足为N，连接，因为，所以．由折叠的性质可得，因为，所以，所以，所以，所以，即．因