吉林大学《高等数学》教学大纲

2013版公共基础课程设置一览表

大学数学课程模块

模块课程编码课程名称学分考核性质总学时讲授实验学期备注适用对象

（+习

题课）

931001高等数学AI4.0考试6464124中心校区：

模块931002高等数学AII4.0考试6464224计算机、软

1931003高等数学Ain4.0考试6464316件、物理、

931010线性代数A4.0考试64641、212材料、电子

（1）物理、

概率论与数理计算机、

9310134.0考试6464312

统计A软件

电子、材料

931004高等数学BI5.0考试8888116南岭校区

模块931005高等数学BII5.0考试8888216（不含管理

2931011线性代数B3.0考试5454212学院）、基础

概率论与数理4.0考试64643园区、南湖

93101412

统计B校区

933037数学实验I0.5考查14141

933038数学实验II0.5考查14142

933039数学实验III0.5考查10102

933040数学实验w0.5考查10103

931006高等数学CI4.5考试7272116南岭校区：

模块931007高等数学CII4.5考试7272216管理中

3931012线性代数C3.0考试5454212心校区：经

4.0考试64643济、商学、

哲学（劳动

概率论与数理

93101512与社会保

统计C

障、应用心

理学）

931008高等数学D3.5考试6060114中心校区：

模块考试40402哲学（社会

4统计与科学计工作、社会

9310092.510

算方法学、哲学）、

行政

931016高等数学E4.5考试8080116中心校区：

模块线性代数与概考试72722生命

9310174.520

5率统计

新民校区：

931018医用数学AI4考试6060101

模块觎ymij医学七年

6考试6060制、医学八

931019医用数学All4102

制工7^0年制、药学、

931020医用数学BI3.0考试484881绪医学五年

931021医用数学BH3.0考试484882绪制、生物工

考试5050医^¥程、药学

931022医用数学C3.081

制

医药数理统计考试4242的喑三

9310232.584

方法舞

模块考试6464中校医Ot

7庆I也、化I

931001高等数学AI4.0124

藤姨n（物

理）

考试6464中校对Ot

庆I往、化!

931002高等数学AII4.0224

藤姨n（物

理）

考试6464中校医熊

庆I叫、化!

931003高等数学Ain4.0316

藤姨n（物

理）

4.0考试6464中校药觥

931010线性代数A212

庆I（化）

4.0考试6464312中巳校区O

概率论与数理庆I生仙

931013

统计A麓妖口（物

理）

3.0考试48484中妪：电子

931024计算方法A

痴恫lx

2.0考查30304

其他931025计算方法B南师、野出

备选EE

课程复变函数与积4848中iW：电？

93102630考试3

分变换A撷晒区

931027数学物理方法A50考试80804中IL/:辘

数学物理方法4848中妪：电子

93102830考试3

BI痴恫lx

数学物理方法6464中L梅:4?

93102940考试4

BII热胴区

复变函数与积考试4040

931030253

分变换B

1616

931031数学物理方程10考试3

南啕妪

矢量分析与场1616

93103210考试3

论

复变函数与积30考查48483基础园区

931033

分变换

931036复变函数2.0考试32324iwax

考试8888翱园区W

931041高等数学I5.0116

考试8888翱园区:修

931042高等数学n5.0216

931043数学模型2.0考查32325南囹妪

考试6464甄屈区:

931044数值计算4.04

注：《数学实验l-IV》：」二公共数学B类课程的学院为必修课，聿（它学院请自定。

吉林大学本科生公共数学课程

教学大纲

课程编号：acl31931001-一3

课程名称：高等数学AI--AIII

课程英文名称：AdvancedMathematicsAI--AIII

学时/学分：256/12.0（理论讲授192学时，习题课64学时）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业

开课学期：第I—in学期

考核方式：考试（闭卷）

执笔人：白岩

编写日期：2013年10月

吉林大学本科生公共数学课程教学大纲

课程编号：acl3931001--3

课程名称：高等数学Ab—AHI

课程英文名称：AdvancedMathematicsAI--AIII

学时/学分：256/12.0（理论讲授192学时，习题课64学时）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业

开课学期：第i--in学期

考核方式：考试（闭卷）

、课程的对象和课程性质

高等数学A课程我校计算机、软件、物理、材料、电子等专业学生必修的一

门重要的基础理论课。通过本课程的学习，使学生获得微积分（包括无穷级数和微

分方程）的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基

础。通过本课程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、

空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。目的

在于为培养我国需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、课程的教学内容及学时分配（授课+习题课）

1、预备知识（4+0）

实数集，函数，常用逻辑符号简介。

2、极限与连续（16+6）

数列极限的概念，数列极限的性质，函数极限的定义，函数极限的性质，极

限的四则运算法则和复合运算法则，极限存在准则和两个重要极限，无穷小的性

质，无穷小比较，无穷大，连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的运算与

初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，一致连续。

3、导数与微分（12+4）

导数的定义，求导举例，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关

系，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数求导法则，

初等函数的导数，高阶导数，隐函数及参数方程所确定的函数的导数，微分的定

义，微分的几何意义，微分的计算。

4、中值定理与导数的应用（16+6）

Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L'Hospital法则，

Taylor公式，函数单调性判别法，函数的极值与最值，函数的凸凹性与拐点，弧

微分与平面曲线的曲率。

5、不定积分(12+4)

原函数与不定积分，不定积分的性质，基本积分公式，第一换元积分法，第

二换元积分法，分部积分法，简单有理函数的积分，三角函数有理式的积分。

6、定积分(16+6)

定积分的定义，定积分的性质，积分上限函数与原函数存在定理，

Newton-Leibniz公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的元

素法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，无穷区间上的反常积

分，无界函数的反常积分。

7、空间解析几何Q2+6)

空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量

积和向量积，平面及其方程，直线及其方程，直线与平面、直线与直线、平面与

平面的位置关系。柱面与旋转曲面，曲面及其方程，曲线及其方程，常见的二次

曲面。

8、多元函数的极限和连续性(6+2)

平面点集，多元函数，二重极限，极限的运算法则，多元连续函数，有界闭

区域上连续函数的性质，多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(22+6)

偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数微分法，隐函数的微分法，方

向导数与梯度，空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程，多元

函数的Tayloy公式，多元函数的件极值问题，条件极值问题。

10、重积分(12+4)

二重积分的概念，二重积分的几何意义和性质，直角坐标下计算二重积分，

在极坐标系下计算二重积分，二重积分的换元法，三重积分的概念，在直角坐标

系下计算三重积分，在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分，含参变量的积分，

反常重积分，二函数和6函数。

11、第一型曲线积分与曲面积分(6+2)

第一型曲线积分的概念和性质，第一型曲线积分的计算，第一型曲面积分的

概念和性质，曲面面积的计算，第一型曲面积分的计算，几何形体上积分的应用

举例。

12、第二型曲线积分与曲面积分Q6+4)

第二型曲线积分的概念和性质，两种曲线积分之间的关系，第二型曲线积分

的计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第二型曲面积分的概念和

性质，第二型曲面积分的计算，Gauss公式及其应用，散度，Stokes公式，旋度。

13、无穷级数(22+6)

数项级数的概念，数项级数的性质，正项级数的比较判别法、比值判别法和

根值判别法，Cauchy收敛准则，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，函数项

级数的概念，募级数及其收敛性，基级数的运算，函数展开成累级数，基级数的

应用，三角函数系的正交性，以2%为周期的函数的Fourier级数，奇、偶函数的

展开，函数展开成正弦级数或余弦级数，以2/为周期的函数的Fourier级数。

14、常微分方程与差分方程(20+8)

常微分方程的基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶齐次线性微分方

程，一阶非齐次线性微分方程，Bernoulli方程，全微分方程，可降阶的高阶微分

方程，高阶齐次线性微分方程的通解的结构，高阶齐次线性微分方程的通解的求

法，常系数齐次线性微分方程，高阶非齐次线性微分方程的解的结构和求法，二

阶常系数非齐次线性微分方程，Euler方程，应用举例，差分方程。

三、教学内容基本要求

1、预备知识

(1)理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

(2)理解复合函数和反函数的概念。

(3)熟悉基本初等函数的性质及其图形。

(4)会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、极限与连续

(1)理解数列极限的概念，掌握数列极限的性质，掌握数列极限的四

则运算法则，掌握数列极限存在的单调有界原理，夹挤定理。

(2)理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质，掌握函数极限的四

则运算法则，掌握复合函数极限运算法则，理解海涅定理，会用两个

重要极限求极限。

(3)理解无穷小及无穷小的阶的概念，掌握无穷小的性质，会用等价

无穷小求极限。理解无穷大的定义，理解无穷大与无穷小的关系，了

解无穷大与无界的关系。

(4)理解函数的连续(一点处、区间)的概念；了解一点处左、右连续的概念；

了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型。

(5)了解连续函数的运算和初等函数的连续性。

(6)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题

中应用这些性质。

(7)了解一致连续的概念

3、导数与微分

(1)理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法

线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式。

(2)掌握函数和、差、积、商四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反

函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

(3)理解高阶导数的概念，会求简单函数的〃阶导数，掌握两个函数相乘高阶导

数的Leibniz公式。

(4)掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

(5)理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导

的关系；了解一阶微分形式不变性。

4、中值定理与导数的应用

(1)理解Rolle(罗尔)定理、Lagrange(拉格朗日)中值定理；了解Cauchy(柯西)

中值定理、会用中值定理证明简单的等式或不等式。

(2)掌握用L，Hospital(洛必达)法则求未定式极限的方法。

(3)理解Taylor(泰勒)定理。

(4)掌握用导数判别函数的单调性和求极值和最值的方法。

(5)会用导数判断函数图形的凹凸性和求函数图形的拐点。

(6)会求平面曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线；会描绘简单函数的图

形。

(7)掌握弧微分；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

5、不定积分

(1)理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式。

(2)掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法。

(3)掌握不定积分的分部积分法。

(4)会计算简单有理函数的积分，会计算简单三角有理式的积分。

6、定积分

(1)理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的

几何意义；了解函数可积的充分条件。

(2)理解积分上限函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理一

Newton-Leibniz公式。

(3)掌握换元积分法和分部积分法。

(4)理解定积分的元素法，会求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧

长。

(5)理解无穷区间上的反常积分和无界函数的积分的概念；会计算反常积分，会

判断反常积分的收敛性。

7、空间解析几何

(1)理解空间直角坐标系。

(2)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余

弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积和混合

积)；掌握两个向量垂直、平行的条件。

(3)理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平

面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会

判断平面与平面之间的位置关系(平行、垂直、)；会判断直线与直线之间的位置

关系(平行、垂直、相交)；会判断平面与直线之间的位置关系(平行、垂直、直线

在平面上)。

(4)理解曲面方程和曲线方程的概念。

(5)了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母

线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间

曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

8、多元函数的极限和连续性

(1)理解n维点集特别是平面点集的概念；理解多元函数的概念；理解二元函数

的几何意义。

(2)了解二元函数的极限的概念；了解二元函数极限的运算法则；会求简单二元

函数的极限；会证明二元函数极限不存在。

(3)了解二元函数连续性的概念，了解闭区域上连续函数的性质，了解多元初等

函数的连续性。

9、多元函数微分学

(1)理解多元函数偏导数的概念；掌握偏导数的求法；会求高阶偏导数。

(2)理解全微分的概念；掌握全微分的求法；了解全微分存在的充分条件和必要

条件。

(3)掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法。

(4)会求由方程式确定的隐函数的导数或偏导数；会求由方程组确定的隐函数的

导数或偏导数。

(5)理解方向导数与梯度的概念；会求方向导数和梯度。

(6)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方

程。

(7)了解n元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n阶泰勒公式；理解多元函数极

值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的

充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数

的最值，并会解决一些应用问题。

10、重积分

(1)理解二重积分的概念；了解重积分的性质和二重积分中值定理。

(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)；了解二重积分换元法。

(3)理解三重积分概念；会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

(4)了解含参变量积分确定函数的概念和性质。了解反常重积分的概念。了解广

函数和方函数的定义和性质。

11、第一型曲线积分与曲面积分

(1)理解第一型曲线的概念和性质，掌握第一型曲线积分的计算。

(2)理解第一型曲面的概念和性质，掌握第一型曲面积分的计算。

(3)了解几何形体上积分的概念；会用重积分和两类线面积分求一些几何量与物

理量(体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量等)。

12、第二型曲线积分与曲面积分

(1)理解第二型曲线积分的概念，了解第二型曲线积分的性质；了解两类曲线积

分之间的关系；掌握第二型曲线积分的计算方法。

(2)掌握Green公式；掌握平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函

数。

(3)理解第二型曲面积分的概念，了解第二型曲面积分的性质；了解两类曲面积

分之间的关系；掌握第二型曲面积分的计算方法。

(4)掌握Gauss公式；了解散度的概念。

(5)了解Stokes公式；了解旋度的概念。

13、无穷级数

(1)理解数项级数收敛和发散的概念；理解收敛级数和的概念；掌握级数收敛的

必要条件和级数收敛的基本性质；掌握几何级数与调收敛与发散的条件。

(2)掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法，会根值法和积分判别法。

(3)掌握交错级数的莱布尼兹判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概

念。

(4)理解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解函数项级数的一致收敛性。

(5)掌握募级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握哥级数运算规则，

会求一些募级数在收敛区间内的和函数；了解函数展开成Taylor级数的充分必要

条件；掌握",sinx,cos无,In(l+无)和(1+x)'"的Maclaurin展式，会利用它们将一些

函数间接展开成哥级数。

(6)理解Fourier级数的概念；了解Fourier级数的收敛定理；了解三角函数系

的正交性；掌握将以2n为周期的函数展开成Fourier级数的方法；了解将以21

为周期的函数展开成Fourier级数；会将函数展开成正弦级数和余弦级数。

14、常微分方程与差分方程

(1)理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、初值问题和特解等概念。

(2)掌握可分离变量的方程、齐次方程、准齐次方程的解法。

(3)会解一阶线性方程；了解常数变易法；会解伯努利方程。

(4)会解全微分方程。

(5)会用降阶法解高阶微分方程，形如：

严=/(尤).y"=/(x,y')y"=f(y,y')

(6)理解线性微分方程的性质和解的结构；掌握二阶常系数齐次线性方程的解

法。

(7)理解非齐次线性微分方程解的结构和叠加原理。会解自由项为多项式、指数

函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;

会解Euler方程；会应用微分方程解决一些实际问题。

(8)理解差分方程的概念，会解简单的差分方程。

四、选用教材与主要参考书

1、选用教材

大学数学一一微积分(上、下册)第二版，普通高等教育“十一五”国家级规

划教材，李辉来等编，高等教育出版社2010年出版。

2、主要教学参考书

(1)高等数学(上、中、下)，欧维义等编，吉林大学出版社，2000年出版。

(2)微积分(上、下)，同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2002年出版。

五、关于本大纲的说明

1、本大纲依据教育部颁发的教学基本要求，按照吉林大学本科课程教学大

纲管理条例(校教字［2003H6号)，并结合我校相关专业需求的具体情况拟定的，

适合于对数学知识需求较多的专业使用。

2、''教学内容”中打*的部分和相应条目的内容是供选讲或可略讲的内容。任

课教师可根据教学实际情况适当处理，亦可根据教学对象适当增加少量大纲规定

之外的内容。

3、该课程以课堂讲授为主、习题课教学为辅助环节，课堂讲授以教材内容、

为主，习题课以解题方法、作业的总结和讨论为主。教学过程以板书或多媒体为

手段，由浅入深，循序渐进，启发式教学，全部内容授课结束后，以闭卷的形式

进行期末考试，并对结果进行试卷分析和总结。

吉林大学本科生公共数学课程

教学大纲

课程编号：acl3931004--5

课程名称：高等数学BI―—BH

课程英文名称：AdvancedMathematicsBI---BII

学时/学分：208/10（理论讲授176学时，习题课32学时）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：工科、化学、生物、环境等专业

开课学期：第i―—n学期

考核方式：考试（闭卷）

先修课程：初等数学

执笔人：孙毅

编写日期：2013年10月

吉林大学本科生公共数学课程教学大纲

课程编号：acl3931004--5

课程名称：高等数学Bb—BH

课程英文名称：AdvancedMathematicsBI--BII

学时/学分：208/10（理论讲授176学时，习题课32学时）

课程类别：普通教育课程

课程性质：必修课

适用专业：工科、化学、生物、环境等专业

开课学期：第i—n学期

考核方式：考试（闭卷）

、课程的对象和课程性质

高等数学B是我校各工科专业、化学、生物、环境等专业学生的普通教育必

修课，通过本课程的学习，使学生获得微积分（包括无穷级数和微分方程）的基本

概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。通过本课

程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、

运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。目的在于为培养我国

需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、课程的教学内容及学时分配（授课+习题课）

1、预备知识（4+0）

实数集，函数，常用逻辑符号简介。

2、极限与连续（16+4）

数列极限的概念，数列极限的性质，函数极限的定义，函数极限的性质，极

限的四则运算法则和复合运算法则，极限存在准则和两个重要极限，无穷小的性

质，无穷小比较，无穷大，连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的运算与

初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

3、导数与微分（12+2）

导数的定义，求导举例，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关

系，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数求导法则，

初等函数的导数，高阶导数，隐函数及参数方程所确定的函数的导数，微分的定

义，微分的几何意义，微分的计算。

4、中值定理与导数的应用（16+2）

Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，VHospital法则，

Taylor公式，函数单调性判别法，函数的极值与最值，函数的凸凹性与拐点，弧

微分与平面曲线的曲率。

5、不定积分(12+2)

原函数与不定积分，不定积分的性质，基本积分公式，第一换元积分法，第

二换元积分法，分部积分法，简单有理函数的积分，三角函数有理式的积分。

6、定积分(14+4)

定积分的定义，定积分的性质，积分上限函数与原函数存在定理，

Newton-Leibniz公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的元

素法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，无穷区间上的反常积

分，无界函数的反常积分。

7、空间解析几何(14+2)

空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量

积和向量积，平面及其方程，直线及其方程，直线与平面、直线与直线、平面与

平面的位置关系。柱面与旋转曲面，曲面及其方程，曲线及其方程，常见的二次

曲面。

8、多元函数的极限和连续性(6+0)

平面点集，多元函数，二重极限，极限的运算法则，多元连续函数，有界闭

区域上连续函数的性质，多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(16+4)

偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数微分法，隐函数的微分法，方

向导数与梯度，空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程，多元

函数的Taylor公式，多元函数的件极值问题，条件极值问题。

10、重积分(14+2)

二重积分的概念，二重积分的几何意义和性质，直角坐标下计算二重积分，

在极坐标系下计算二重积分，二重积分的换元法，三重积分的概念，在直角坐标

系下计算三重积分，在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分，含参变量的积分，

反常重积分，二函数和6函数。

11、第一型曲线积分与曲面积分(6+2)

第一型曲线积分的概念和性质，第一型曲线积分的计算，第一型曲面积分的

概念和性质，曲面面积的计算，第一型曲面积分的计算，几何形体上积分的应用

举例。

12、第二型曲线积分与曲面积分Q4+2)

第二型曲线积分的概念和性质，两种曲线积分之间的关系，第二型曲线积分

的计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第二型曲面积分的概念和

性质，第二型曲面积分的计算，Gauss公式及其应用，散度，Stokes公式，旋度。

13、无穷级数Q6+4)

数项级数的概念，数项级数的性质，正项级数的比较判别法、比值判别法和

根值判别法，Cauchy收敛准则，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，函数项

级数的概念，募级数及其收敛性，募级数的运算，函数展开成募级数，哥级数的

应用，三角函数系的正交性，以2%为周期的函数的Fourier级数，奇、偶函数的

展开，函数展开成正弦级数或余弦级数，以2/为周期的函数的Fourier级数。

14、常微分方程与差分方程(16+2)

常微分方程的基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶齐次线性微分方

程，一阶非齐次线性微分方程，Bernoulli方程，全微分方程，可降阶的高阶微分

方程，高阶齐次线性微分方程的通解的结构，高阶齐次线性微分方程的通解的求

法，常系数齐次线性微分方程，高阶非齐次线性微分方程的解的结构和求法，二

阶常系数非齐次线性微分方程，Euler方程，应用举例。

三、教学内容基本要求

1、预备知识

(1)理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

(2)理解复合函数和反函数的概念。

(3)熟悉基本初等函数的性质及其图形。

(4)会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、极限与连续

(1)理解数列极限的概念，掌握数列极限的性质，掌握数列极限的四

则运算法则，掌握数列极限存在的单调有界原理，夹挤定理。

(2)理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质，掌握函数极限的四

则运算法则，掌握复合函数极限运算法则，理解海涅定理，会用两个

重要极限求极限。

(3)理解无穷小及无穷小的阶的概念，掌握无穷小的性质，会用等价

无穷小求极限。理解无穷大的定义，理解无穷大与无穷小的关系，了

解无穷大与无界的关系。

(4)理解函数的连续(一点处、区间)的概念；了解一点处左、右连续的概念；

了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型。

(5)了解连续函数的运算和初等函数的连续性。

(6)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问

题中应用这些性质。

3、导数与微分

(1)理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法

线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式。

(2)掌握函数和、差、积、商四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反

函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

(3)理解高阶导数的概念，会求简单函数的〃阶导数，掌握两个函数相乘高阶导

数的Leibniz公式。

(4)掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

(5)理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导

的关系；了解一阶微分形式不变性。

4、中值定理与导数的应用

(1)理解Rolle(罗尔)定理、Lagrange(拉格朗日)中值定理；了解Cauchy(柯西)

中值定理、会用中值定理证明简单的等式或不等式。

(2)掌握用fHospital(洛必达)法则求未定式极限的方法。

(3)理解Taylor(泰勒)定理。

(4)掌握用导数判别函数的单调性和求极值和最值的方法。

(5)会用导数判断函数图形的凹凸性和求函数图形的拐点。

(6)会求平面曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线；会描绘简单函数的图

形。

(7)掌握弧微分；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

5、不定积分

(1)理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式。

(2)掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法。

(3)掌握不定积分的分部积分法。

(4)会计算简单有理函数的积分，会计算简单三角有理式的积分。

6、定积分

(1)理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的

几何意义；了解函数可积的充分条件。

(2)理解积分上限函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理一

Newton-Leibniz公式。

(3)掌握换元积分法和分部积分法。

(4)理解定积分的元素法，会求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧

长。

(5)理解无穷区间上的反常积分和无界函数的积分的概念。

7、空间解析几何

(1)理解空间直角坐标系。

(2)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余

弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积和混合

积)；掌握两个向量垂直、平行的条件。

(3)理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平

面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会

判断平面与平面之间的位置关系(平行、垂直、)；会判断直线与直线之间的位置

关系(平行、垂直、相交)；会判断平面与直线之间的位置关系(平行、垂直、直线

在平面上)。

(4)理解曲面方程和曲线方程的概念。

(5)了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母

线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间

曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

8、多元函数的极限和连续性

(1)理解n维点集特别是平面点集的概念；理解多元函数的概念；理解二元函数

的几何意义。

(2)了解二元函数的极限的概念；了解二元函数极限的运算法则；会求简单二元

函数的极限；会证明二元函数极限不存在。

(3)了解二元函数连续性的概念，了解闭区域上连续函数的性质，了解多元初等

函数的连续性。

9、多元函数微分学

(1)理解多元函数偏导数的概念；掌握偏导数的求法；会求高阶偏导数。

(2)理解全微分的概念；掌握全微分的求法；了解全微分存在的充分条件和必要

条件。

(3)掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法。

(4)会求由方程式确定的隐函数的导数或偏导数；会求由方程组确定的隐函数的

导数或偏导数。

(5)理解方向导数与梯度的概念；会求方向导数和梯度。

(6)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方

程。

(7)了解n元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n阶泰勒公式；理解多元函数极

值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的

充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数

的最值，并会解决一些应用问题。

10、重积分

(1)理解二重积分的概念；了解重积分的性质和二重积分中值定理。

(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)；了解二重积分换元法。

(3)理解三重积分概念；会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

(4)了解含参变量积分确定函数的概念和性质。了解反常重积分的概念。了解厂

函数和6函数的定义和性质。

11、第一型曲线积分与曲面积分

(1)理解第一型曲线的概念和性质，掌握第一型曲线积分的计算。

(2)理解第一型曲面的概念和性质，掌握第一型曲面积分的计算。

(3)了解几何形体上积分的概念；会用重积分和两类线面积分求一些几何量与物

理量(体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量等)

12、第二型曲线积分与曲面积分

(1)理解第二型曲线积分的概念，了解第二型曲线积分的性质；了解两类曲线积

分之间的关系；掌握第二型曲线积分的计算方法。

(2)掌握Green公式；掌握平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函

数。

(3)理解第二型曲面积分的概念，了解第二型曲面积分的性质；了解两类曲面积

分之间的关系；掌握第二型曲面积分的计算方法。

(4)掌握Gauss公式；了解散度的概念。

(5)了解Stokes公式；了解旋度的概念。

13、无穷级数

(1)理解数项级数收敛和发散的概念；理解收敛级数和的概念；掌握级数收敛的

必要条件和级数收敛的基本性质；掌握几何级数与调收敛与发散的条件。

(2)掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法，会根值法和积分判别法。

(3)掌握交错级数的莱布尼兹判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概

念。

(4)理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

(5)掌握募级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握募级数运算规则，

会求一些累级数在收敛区间内的和函数；了解函数展开成Taylor级数的充分必要

条件；掌握",sinx,cos龙」n(l+龙)和(1+x)'"的Maclaurin展式，会利用它们将一些

函数间接展开成募级数。

(6)理解Fourier级数的概念；了解Fourier级数的收敛定理；了解三角函数系

的正交性；掌握将以2n为周期的函数展开成Fourier级数的方法；了解将以21

为周期的函数展开成Fourier级数;会将函数展开成正弦级数和余弦级数。

14、常微分方程与差分方程

(1)理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、初值问题和特解等概念。

(2)掌握可分离变量的方程、齐次方程、准齐次方程的解法。

(3)会解一阶线性方程；了解常数变易法；会解伯努利方程。

(4)会解全微分方程。

(5)会用降阶法解高阶微分方程，形如：

严=/(尤).y"=/(x,y')y"=于(y,y')

(6)理解线性微分方程的性质和解的结构；掌握二阶常系数齐次线性方程的解

法。

(7)理解非齐次线性微分方程解的结构和叠加原理。会解自由项为多项式、指数

函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;

会解Euler方程；会应用微分方程解决一些实际问题。

四、选用教材与主要参考书

1、选用教材

大学数学一一微积分(上、下册)第二版，普通高等教育“十一五”国家级规划

教材，李辉来等编，高等教育出版社2010年出版。

2、主要教学参考书

(1)高等数学(上、中、下)，欧维义等编，吉林大学出版社，2000年出版。