计算方法（第二版）

目录

绪论........................................................(1)

0.1学习好的算法....................................................(1)

0.2误差和精度......................................................(2)

0.3注意学习方法....................................................(5)

第1章多项式插值方法.....................................(6)

1.1Lagrange插值多项式..........................................(6)

1.2分段低次Lagrange多项式插值方法...........................(16)

1.3Hermite插值和分段三次Hermite插值方法......................(20)

*1.4三次样条插值方法................................................(28)

习题1(38)

*第2章多项式最佳平方逼近方法和最小二乘方法............(40)

2.1函数最佳平方逼近的定义和解释................................(40)

2.2最佳平方逼近多项式的确定方法................................(42)

2.3用Legendre正交多项式作最佳平方逼近.....................(46)

2.4用Chebyshev正交多项式作最佳平方逼近....................(50)

2.5曲线拟合的最小二乘方法.......................................(53)

2.6求解特殊线性方程组的最小二乘方法...........................(59)

习题2(62)

第3章数值积分方法和数值微分方法.....................(64)

3.1插值型数值积分的基本思想......................................(64)

3.2插值型数值积分公式的确定办法及其代数精度...................(65)

3.3分段低阶数值积分和外推........................................(72)

3.4Gauss求积公式...............................................(77)

3.5数值微分及其外推...............................................(81)

习题3(87)

第4章非线性方程求根的迭代法...........................(89)

4.1实根隔离与二分法..............................................(89)

4.2基本迭代法及其外推.............................................(90)

•2•实用计算方法（第2版）

4.3Newton迭代法..............................................（95）

*4.4解非线性方程组的Newton迭代法...........................（101）

习题4........................................................（103）

第5章解线性方程组的迭代法...............................（105）

5.1Jacobi方法和Gauss-Seidel方法...........................（105）

5.2向量和矩阵的模............................................（108）

5.3线性方程组基本迭代法的收敛性.............................（113）

5.4Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的致散性...................（115）

5.5SOR方法..................................................（117）

习题5........................................................（119）

第6章解线性方程组的直接法...............................（121）

6.1直接消去法.................................................（121）

6.2矩阵分解法.................................................（124）

6.3直接法的误差分析..........................................（128）

习题6........................................................（131）

第7章解常微分方程的差分方法.............................（133）

7.1一阶常微初值问题及其差分方法.............................（133）

7.2Euler方法.................................................（135）

7.3梯形方法...................................................（138）

7.4Runge-Kutta方法..........................................（139）

7.5显式单步方法的稳定性问题.................................（143）

*7.6Adams多步方法............................................（149）

*7.7常微边值问题的差分离散化方法.............................（156）

X.7.8常微特征值问题的差分离散化方法...........................（158）

习题7........................................................（165）

*第8章矩阵特征值与特征向量的数值方法....................（167）

8.1赛法.......................................................（167）

8.2反赛法.....................................................（170）

8.3计算对称矩阵特征值的Jacobi方法...........................（172）

习题8........................................................（175）

习题解答提示...................................................（176）

绪论

大家知道，所有工程技术问题都需要定性、定量地去研究和解决.都离不开数

学和计算机的帮助.解决工程技术问题的流程大致如图0.0.1所示.

€、

果

足

满

足后续处理

求/

修改处理____________否

图0.0.1解决工程技术问题流程图

由此可见，数学是理性描述科技问题的工具：数值算法是数学模型和计算机之

间的纽带和桥梁.可看做用于实际计算的离散化的数学模型.利用数学工具和计算

机,设计者可以反复修改和计算，从而实现理性和感性的统一，实现理论和实用的

统一.这种充分使用数学和计算机的设计方式极大地推动了科学技术的发展和应

用.尽管建立数学模型可能会涉及较多的数学知识.然而，要实现数值计算，就必须

作离散化处理，就必须将它归结为一些最基本的数学问题和算法问题.本课程要学

习的就是在科技计算中必须掌握的最基本、最常用的算法.

0.1学习好的算法

对于某个具体的数学模型，人们可提出多种算法来达到其数值计算的目的，然

而，这些算法有好的也有差的.只有好的算法才是值得学习的.

1.好的算法必须是合理、实用的

以求解线性方程组Ax=b为例，其中A是一个"X"非奇异矩阵.若选用线性

代数中介绍的Cramer法则作为求解方法，则加=2/D.笈=1,2,，其中D是

系数矩阵行列式的值，D.是用b替换A中第4列所得矩阵之行列式的值.在这种求

解方法下，共需计算（〃+1）个行列式的值且需做n次除法运算，每个行列式共有

，八个乘积，每个乘积需做〃一1次乘法运算，这样共需做（〃+1）!（"-1）+〃次乘除

运算.当〃=20时，需做9.7X10Z。次乘除运算，即使采用每秒运算1亿次的计算机

也需计算30多万年.显然，Cramer法则在设计、求解线性方程组算法去解决实际

•2•实用计算方法(第2版)

问题时是不能采用的.

2.好的算法必须在计算量和计算精度方面是可满足实际需求的

仍以求解线性方程组­=b为例，选用线性代数中介绍的Gauss消去法(在

第5章中将具体介绍这种数值方法).若消去过程能顺利进行，则求解过程所需的

乘除运算的次数可以估计出来，为n'的同阶量，记为。(小),其中„是未知数的个

数.当“=20时，Gauss消去过程仅需几万次乘除运算就可完成求解工作；当n=

100时，求解工作也只需儿百万次乘除运算.可见Gauss消去法在计算量方面是可

以满足实际需求的.然而，由线性代数知识可知，若算法设计不合理，消去过程可能

会产生较大的误差，甚至消去过程不能进行下去，只有改进了的Gauss消去法一

选主元Gauss消去法——才是合理、实用、满足适当精度要求的.

3.好的算法必须是高效率的

一个算法的效率可从总体计算量和计算精度这两个方面分析比较.例如，对于

确定的工值，要计算多项式

P„(T)=a„x"H---FaiT+a(l

的值，如果先计算各项的值再相加，忽略加法的运算量，需要的乘法计算量为

»+(z7-1)+…+2+1="(1+”)/2

次；如果将计算过程改写为

P„(x)=+a,1+a”-21z+…+«i}x+a0，

则仅需要n次乘法计算量.当〃较大时，这两种计算方法的计算效率相差很大.

又例如，求解，，元一次线性方程组时，用某三种不同算法求得近似解的精度是

差不多的，但它们需分别花费0(r),。(1),0(”)次的乘除运算，当然仅花费0(”)

计算量的算法在三者中是最好的算法.同样地，在计算花费差不多的前提下，计算

结果精度高的算法是最好的算法.

4.好的算法是有一定实用范围的

对于同•个数学问题，本书介绍了几个实用的算法.但一个好的算法往往有它

的实用范围，超出这个范围它就不再是好算法了.因此，读者只有懂得不同算法的

不同特长，才能选用最有效的算法解决实际问题.

0.2误差和精度

大家知道，解决实际工程技术问题要经过若干环节，每个环节都会产生误差.

最后用计算机计算的结果当然也是有误差的，然而只要最后的计算结果能控制在

所要求的误差范围内，这种解决问题的过程就是实用、有效的.因此，需要对所有可

能的误差归类分析，分析其产生的原因和度量办法，找出减小和控制误差的办法.

1.误差的来源和归类

只要分析一下解决工程技术问题的流程，就不难发现误差的来源和归类大致

绪论•3•

如图0.2.1所示.

图0.2.1误差的来源和归类

模型误差是在工程技术问题向数学模型转化过程中产生的.在建立数学模型

时，通常要加上一些限制，抓住主要的因素，忽略次要的因素，因此数学模型带有理

想化的描述，它与实际问题之间难免存在误差.本书不讨论模型误差.

截断误差是在连续型的数学问题向离散型的数值算法转化过程中产生的.例

如，Taylor展式

=/（HO）+/'（-）（?一丈。）H----卜广”（「）（工一丁。）”十余项

71!

有无限项，只有•作有限项截断，才能形成具体计算/（Z）的近似值的公式

/„（）=/（To）+/（10）（H—To）+…+—_'（z—To'）",

11!

其中，丢掉的“余项”直接反映了近似值/，（了）与准确值/（M）之间的误差，这就是

截断误差.一般来讲，连续型的数学问题常常可表示为一个极限问题，为了实现计

算，需将无穷过程作有限截断处理，具体计算出近似值，由此产生的误差就是截断

误差.截断误差是计算加工时产生的.它既是现实的又是理想的.

舍入误差是计算机作数值计算时产生的.例如，计算37r（TT=3.14159265-）

时,k有无限个小数位，计算机只能取一定字长来计算.据四舍五入的规则，若取四

位字长计算，计算结果为3X3.142；若取八位字长计算，计算结果为3X

3.1415927.•般来讲，计算过程中某些数据的位数可能很多，也可能是无穷位的

小数，计算机只能用有限字长计算，必须舍掉尾数，这就产生了舍入误差.舍入误差

是实实在在的，它虽然微不足道，但在复杂的计算过程中舍入误差可能会传播和积

累，可能会被放大，可能会严重地影响计算结果.因此在实际计算中应尽可能地简

化计算步骤，减少计算次数，减少重复运算，力求避免那些产生较大舍入误差的运

算（例如，除数不能太小等），注意舍入误差的传播和积累.

2.近似解的精度

将数学问题改写为计算机可执行的算法时存在截断误差，计算机在每一步计

算中会产生舍入误差，后续计算又会在前步计算的基础上产生误差的积累：计算过

程中处处是近似的且处处有误差.那么计算结果怎样才能保证实际要求呢？这就需

要关于近似解靠近准确解程度的度量标准.

•4•实用计算方法（第2版）

这里就单个近似值S和准确值S*之间的关系来说明问题.按照通常的习惯，

采用三个标准来说明S对于的“准确”程度，即精度.第一个标准是绝对误差.

第二个标准是相对误差，第三个标准是误差数值的计算机表示方式.

绝对误差表示形式为

IS-S,|<e,

其中，e是一个较小的数值，例如10-'或10-8等.显然,e越小，S靠近的程度越

满意，此时可称近似值S具有绝对误差精度e.这种精度标准类似于机械零件尺寸

加工的情形,准确尺寸S*是理论上的.加工出来的尺寸S是近似的，但加工的尺寸

满足S'-e〈S〈S”+e时，就是满足精度要求的.

相对误差的表示形式为

IS-S，1

IS|

它和绝对误差在表现误差大小方面有什么区别呢？下面用一个例子来说明：

测量100m长度时有1m的误差，绝对误差为1m,相对误差为1%；测量1m

长度时有2cm的误差，绝对误差为2cm,相对误差为2%.二者比较，前者测量精

度高.这是因为绝对误差中可带有不同的量纲单位；相对误差是一种无量纲的精度

表示形式.表示单位长度的误差量.显然.相对误差越小，近似值的精确度越高.

误差是具体数值.数值在计算机中是近似表示的，这种近似程度直接表现了误

差量的大小和误差精度.

大家知道，计算机中所有的数据都要按四舍五入的规则表示为规格化形式，例

如对某个数值S”,计算机将其表示为

S=±0.ata2-"a,,X10*,

其中是整数，0.…是规格化小数，a।W0,a>〜a„可以是零值也可以是非

零值.显然，S是在规格化小数的小数点后第”+1位上发生舍入的结果.现在的问

题是，单从S的规格化形式，如何直观地观察S对S’的近似程度呢？

首先讨论S*已知的情形.例如

S*=0.2314159X10',

S,=0.2315368X10*,

S,=0.2314164X10*,

这三个数中关于10*的某次4是相同的.人们可直观地看出，S1对S，已准确到规

格化小数的小数点后第三位，与对S*已准确到规格化小数的小数点后第五位.

再讨论S*未知的情形.在实际计算中，常用某种数值方法计算出一串数值

{S,}去逼近S：也可估计并计算出误差值|S,—S，I，现将计算结果列出如下：

SI=0.3152612,|S|-S*|<0.1101935X102,

S2=0.3148536,|S2-S*|40.6943352XlO-,

S3=0.3141018,|S3-S"KO.5746532X10^'.

绪论,5,

不从｛S,｝的数值观察它们逼近S，的表现，S2对&来说已在小数点后第二位无法

改进，故Sz对S,至少准确到小数点后第二位；同理，S对S'至少准确到小数点

后第三位.单从Is—S.|的数值观察S,逼近S•的表现，直观地，Si对已准

确到小数点后第二位，Sz已准确到小数点后第三位，S已准确到小数点后第四位.

总之，不管准确值9已知还是未知，近似值S与准确值S+在规格化小数部分

相同的位数越多，S对S.的近似程度就越好，计算精度就越高.

0.3注意学习方法

1.要带着实用的欲望学习

本课程所学习的一些计算方法，简言之，是关于高等数学和线性代数课程中的

基本数学问题数值化处理的方法，它是科技计算的基础.也是1T行业的基础.该课

程中涉及的每一类问题，都有着广泛的应用背景，既有算法又有具体实现过程，因

此读者应摆脱关于理论课程学习方法的限制J.带着分析问题、解决问题和实际应用

的目的来学习本课程.

2.要注重算法思想

本课程在将某一类数学问题转化为数值算法的过程中，综合使用了多种基础

知识，具体算法似乎显得繁杂.但要注意，设计算法的基本思想始终是直观明快的.

因此，只有注重算法思想的学习,才能无碍地记住算法和相应的计算公式.才能培

养关于分析和解决实际问题的能力，死记硬背是无效的.

3.要注重实践性环节

现今阶段.无需对每个算法编程上机了，每种算法都有相应的软件，学习阶段

的实践仅需要调用这些程序去解决一个简单问题,观察其解决的效果.这样的实践

过程虽然简单，但是必要的，因为这样可一般性地了解具体的计算过程，可加深对

各种算法优缺点和最佳适应范围的理解.

第1章多项式插值方法

多项式插值方法，直观地说，认为已知的一批数据点(加，人)屋。是准确的，这

些数据点所表现的准确函数关系/(#是未知的；在这种情况下要作一条多项式近

似曲线&(外且点点通过这些数据点.插值问题不仅要讨论这种近似曲线S,(.r)

的构造方法，要讨论这种近似所产生的误差，还要讨论这种插值曲线S”(才)是否稳

定地收敛于未知函数/(7).

多项式插值方法是一种用多项式函数近似和逼近未知函数/(z)的数值方法，

它在科技计算中的应用非常广泛.

1.1Lagrange插值多项式

1.背景要求与Lagrange插值问题的提法

在生产实践和科学实验中，常常不能具体写出反映真实现象的函数/(工)的表

达式，但可通过实验测得若干离散的函数值｛/Q")｝\。，如表1.1.1所示.

人们希望利用这些有限的信息构造一个

表1.1.1离散的函数值

近似函数，该近似函数对表中的实测值是准确

4©•••

的,并能近似描述/(了)的变化规律.

)fo••A

由于”+1个无关的条件能唯一地确定一

个”次代数多项式函数所以用多项式L,,(H)近似表述/(.r)是合理的.于

是，有以下关于Lagrange插值多项式问题的提法：

已知区间［八R的等距或不等距节点｛由｝:。和这些节点处的函数值｛/*｝£=“，

求"次插值多项式使得

=ft，k=0,1,

可用一种笨拙的办法获得(z),即令

L„(JC)=£2o+aj4----+a„x",

将”+1个无关的插值条件代入，从而获得关于”+1个未知数的线性方程组

/*=a。+内用+即状++,k=0,1,2,,,,

这个方程组唯一可解，解得a。，右，…，a”就可得到然而这种办法不仅麻烦，

计算量大，而且求解方程组的计算过程会出现较大的误差，是不可取的.下面从简

单的线性插值和二次插值例子中总结出一套构造一般Lagrange插值的简便方法.

2.两点确定线性插值函数

假设已知两个插值节点也和丁用，已知相应的函数值人和/⑴，要构造一个

第1章多项式插值方法・7・

线性插值函数Li（才）=ax+6,使得

LNJCQ=fk,Li（4+i）=fk+i.

该线性插值函数L（/）如图1.1.1所示，它是

很容易构造的，可利用构造直线的点斜式方程写

出，即

,A,Cr)；

，（z）=）—（1.1.1）

力什I—%

特别地•式（1.1.1）可变形为两点式方程

图1.1.1线性插值函数图形

Li（h）=fklk（^）+人+4+1（1），（1.1.2）

其中00）—三中---—♦人（/）=

力+1—4

称〃（#）是关于节点孔的节点基函数，称小］（7）是关于节点H的节点基函数.

心（7）用式（L1.2）的表示形式是有特点的.它突出了每个节点处对应着一个

基函数,插值函数是这些节点基函数的线性组合形式.其组合系数就是节点处的函

数值.正是由于这种表现形式上的特点，节点基函数可相应地表现为

(1,m=k，(1,〃？=£+1,

lk(")=Z"i(a%)=

Io,mWk,0,7〃W上+1,

它们都是［项，1+/上的线性多项式函数，其图形如图1,1.2所示.

图1.1.2线性插值基函数图形

线性插值函数心（外近似f（x）的效果可由其误差函数

Ri（^）=/（#）—Li（1）

来描述，那么线性插值函数的误差函数有什么特点，又如何确定呢？第一，由于插值

的原因，线性插值函数在节点处的误差为零.其误差函数应具有的形式为

Rl（J*）=C（JC-27）（2、-JC/.+1）；

第二.当/（彳）就是线性函数时，/（7）和L（w）就是一致的，所以，线性插值函数的

误差函数一定是一个二次多项式；第三，R1）的具体形式为

Ri（i）=f（x）—Li（x'）=/（：）.（1—*）（］—叫+i）,WG［加，］计11.

(1.1.3)

•8•实用计算方法（第2版）

此误差表达式的具体证明可参见定理1.1.1.

3.三点确定二次多项式插值函数

假设已知三个节点我—，融它们可能是等距的，也可能是不等距的，还已知

相应的互异的函数值八，/小，力+2,要构造一个二次多项式插值函数LN",使得

L2（jrt）=ft,

Li（H*+1）=f1

Lz（N*+2）=fk+2-

三个独立的插值条件可唯一地确定一个二

次多项式插值函数，如图1.1.3所示.

需要特别强调的是，我们需要像式（1.1.2）

图1.1.3二次插值函数的图形那样的节点基函数的线性组合形式，即

Lz（J-）=fklk（-T）+fk+llh+1（-T）+人+Z〃+2（Z）.（1.I-4）

因为L>（x）是一个二次多项式，所以可推知式（1.1.4）中的三个节点基函数都是

二次多项式；因为在节点孔处的函数值/*在式（1.1.4）中仅仅由这一项

来表现，所以可推知

4（X*）=1，//（工什I）==0.

总之，式（1.1.4）的形式特点决定了节点基函数的性质：三个节点基函数4（H）,

4+1（才），小2（工）都是二次多项式,它们在插值节点处的表现如表1.1.2所示.

下面介绍确定节点基函数4（无）的简便办表1.L2节点基函数在插值

法.首先，因为/*（才）是一个二次多项式，且节点处的表现

4（工什1）=/«（1什2）=。，龙计】1什2

所以1人工）中必定含有因式（N—Z*T）（£-Ik（x）100

工料2）,且4（了）必定具有如下形式：人⑴010

=C（1—）（7—7^+2）・心2（1）001

再利用条件4（工*）=1,确定常系数

1

c----------------------

一不计1）（力4一工什2）

于是就得到了/式1）的表达式为

］（、=（才一才什1）（才一才什2）

k1（］«-1什］）（/4—7叶2”

用同样的办法可确定节点基函数//（］）.首先，因为是一个二次多项

式,且24+I（4）—4H4（①12）=0，所以lk+\式）中必定含有因式（1一X*）（X-XJH-2），

且心|（/）必定具有如下形式：

/什］（1）=—1&）（］—JT-2）.

再利用4M（加+］）=1，确定常系数C,并得到

第1章多项式插值方法•9•

./、（?一口）（之一JCk+2）

lk+\（1）=777?•

（尤什i-XkH^k+i—1什2）

用同样的办法可确定节点基函数。+21），其形式为

（7—）（7-L+i）

4+2（1）=

（Xk+2-LCXk+2-74+1）

这三个节点基函数的图形如图LL4所示.

图1.1.4三点二次插值的节点基函数图形

二次多项式插值函数以⑺近似/（z）的效果可由其误差函数

区2（力）=/'（l）一L（支）

来描述,其误差函数有什么特点且如何确定呢？有三个定性的结果：第一.由于插值

的原因，在节点处的插值误差为零•所以在形式上有

R＞（x）=，（彳—）（才一/什I）（1一卫什2）；

第二.当/（工）就是二次多项式时•L）（JT）和/'（］）是一致的，2（/）对/（1）准确到

二次多项式的程度，所以，二次插值函数的误差函数一定是一个三次式；第三，此误

差函数R,（£）的具体形式为

&（1）=）（l—八）（/—文计1）0—/八），EG［工一1计21.（LL5）

此误差表达式的具体证明可参见定理1.1.1.

4.Lagrange型"次插值多项式

假设已知区间［a,〃］上的互异节点的分划，a=No＜乃＜a-2＜=b,

节点之间可能是等距的，也可能是不等距的，并且已知这些节点处相应的插值

｛九｝?=。，要构造一个n次多项式要“（H）,使得

L”（H*）=/*,k—0,1,,,•,n.

应该肯定，〃+1个无关的插值条件可唯一地确定所需构造的n次多项式

（7）.由于％（才）的构造中仅涉及通过节点处的函数值｛九｝、。，而不涉及函数的

导数值，所以称这样的L“（z）为Lagrange型n次插值多项式.

由于L“（T）需要突出加处的插值/*,根据式（1.1.2）和式（1.1.4）的表现和推

广，可假设L,,（了）仍然是关于节点基函数的线性组合形式，即

11

L〃（＞z）=＞二，八（工）.（1.1.6）

•10・实用计算方法（第2版）

根据式（1.L6）的形式特点，可推知节点基函数人（彳）的性质.事实上，因为

是〃次多项式,所以可要求全部节点基函数4（1）都是〃次多项式.由于在节

点心处的插值人仅仅由///l）这一项来表现.所以可推知“（1）的特点.总之，

由式（1.1.6）的形式特点决定了节点基函数/式文）具有如下性质：

1）Ki）是〃次多项式；

[1,j=k,

2）巧）=k=0,1,,72.

10,j中k,

利用节点基函数的形式特点4（1）就可以被简便地确定.因为12）=0有〃

个根，所以。（久）可表现为

Ik（*r）=一/0）・・・（1一）（1—x什i）•••（«r一r”）.

由Ik{JCk）=1,可求得

c=--------------------------------1--------------------------------,

（力—io）•••（*—）（*—.TJH-I）•••（科—.r„）

于是就有。（①）=TT.......—•

强4-目

其中，口是连乘符号.

。（无）的图形有什么特点呢？卜面就五个等距节点的情形，画出节点基函数

/i（J-）=（a*—2）（x—3）（工一4）（X—5）/24,

，3（z）=（1一1）（了-2）（z—4）（攵-5）/4

的图形，为此先简单地计算几个函数值并列在表1.1.3中，再作九（才）和A（z）的简

图（见图1.1.5（a））.由图可见，当插值节点总数较少时，端点处的节点基函数

ZJ（H）的振荡起伏较小，同样可知，/Z（H）"」（H）4（了）的振荡起伏也是较小的.总

之，当插值节点总数较少时，所有节点基函数的振荡起伏没有出现异常情况.

表1.1.3五节点基函数图形的几个函数值

611.52.533.54.5

l\^Xk)10.273—0.03900.023—0.039

，3（力士）0-0.5470.70310.703-0.547

卜面就九个节点的情形，画出节点基函数

6X5

的图形，为此先简单地计算几个函数值并列在表1.1.4中.再作乙（7）和乙（力的简

图（见图1.1.5（b））.由图可见，当插值节点总数较多时，端节点及其附近节点处的

节点基函数具有较小的振荡起伏.区间中部的节点基函数图形在端点附近出现了

第1章多项式插值方法•11•

图1.1.5插值节点总数不同时Lagrange节点基函数的表现

表1.1.4九节点基函数图形的几个函数值

11.52.53.54.55.56.5

/])10.196-0.0130.003一0.0010.001-0.001

7.58.555.56.57.58.5

Is（英）0.003-0.01310.673-0.3520.549-1.964

异常的起伏.可以肯定，当插值自点总数继续增多时.中部在点基函数在区间端点

附近的起伏还会进一步加剧.

n次Lagrange插值多项式L“（_r）如式（1.1.6）所示，近似/（%）的效果可用余

项

R”（H）=f（x）—L„（x）

来描述.有两个结论是肯定的：第一，当/（.r）就是"次多项式函数时,由插值多项

式函数的唯一性可知，/（z）和L”函）是一致的；第二，在插值节点｛%｝屋。处，插值

误差为零.因此插值误差（即余项）具有如下形式：

/?„（J-）=C（.X-心）（了一了［）…

插值误差更具体的表现如定理1.1.1所述.

定理1.1.1设/（£）在上是"+1次可微的，L,（_r）是如式（1.1.6）所

示的"次Lagrange插值多项式，则插值误差为

R“（.r）=/（了）—L“（H）=/,£寸（工一7*）,S6

（1.1.7）

证明若才等于某个插值节点取，则式（1.1.7）两边都等于零，定理显然成立.

下面考虑了不是插值节点的情形.记

•12•实用计算方法（第2版）

3,+1（攵）=（X-①。）（才-X，）“•（X-Z”）,

设误差函数形式为

R”（①）=K（x）a>»+i（x）,

其中.K1）是待定的函数.还引进辅助函数

<p（t）=f（t）一L„（f）—K（了）3”+1（t）,

则在t=z,Hoh”处中（？）=0,<p（t）在fC[a上至少有”+2个零点.根

据Rolle定理,'（，）在6八的两个零点之间至少有一个零点，£‘（，）在[a,切上

至少有”+1个这样的零点，，中>（八在，e[a，口上至少有一个零点.那么，至少存

在着一点SG[a,切，使得/+"（£）=0,于是有

产，（分=-L"（g）-K（z）二中>=0.

由于L,,（?）是n次多项式，w„+i（Z）是〃+1次多项式，有

—=0,s铲⑷=（”+1）],

所以有/,,<+1,（$）-K（J-）（H+1）!=0,

K⑺=，二'忖,3e[a，"

代入R“（M）的表达式，从而证得式（1.1.7）正确.

下面再次总结并强调n次Lagrange型插值多项式的几个特点：

1）仅已知（"+D个关于函数值的独立的插值条件可唯一地确定一个n次插

值多项式函数.

2）尽管这个〃次插值多项式函数可以作多种变形表示，但它一定可以表示为

Lagrange型插值多项式的形式.即可表示为关于节点基函数的线性组合形式

11

L“O）=

*=0

其中，加是插值节点，人是节点以处的函数值/Cr）是定义在节点孔处的

Lagrange型节点基函数.

3）这种表示形式的显著特点是,/人（工）仅突出表现节点4处的函数值人，该项

对其它插值节点处的函数值不予表现,这就决定了节点基函数/式攵）的性质为

也由此决定/«（了）的表达式.

4）L„（^）具有=fk的插值特点，其插值误差函数R,,（H）自然具有

=0的表现自然具有如下的n+1个因式的连乘积形式；

R”（彳）=C（H—Zo）（工一加）…（了一JC„）.

其形式特点为：R,,（z）有”+1个零点,R“⑺有〃+1个因式乘积.R.⑺的系数为

c=/'+>（*/（"+1）!.

第1章多项式插值方法•13・

5)在［a,A］上近似f(7)，是一种用〃次多项式函数对/(/)的近似，特

别地.当/(%)就是一个〃次多项式时，在区间［a,〃:］上有LJ/)三/(公.

以上关于Lagrange型插值函数所总结的儿个特点对以后章节的学习是非常

重要的.

5.应用举例

例1.1.1给定函数/(］)=lar在节点处的函数值如表1.1.5所示.分别用

线性插值和二次插值求ln(ll.75)的近似值.

表1.1.5节点处的函数值

X10111213

/(X)2.30262.39792.48492.5649

解(1)作线性插值.取两个插值节点1。=11,-=12,利用线性插值公式

(1.L2),有

ln(ll.75)心LN1L75)

1175—121175—11

=台皿X2.3979+X2.4849

11—1Z1Z—1J1

=2.4632.

(2)作二次插值.取三个插值节点No=11.小=12.ar2=13,利用二次插值

公式(L1.4).为此先计算出三个节点基函数在父=11.75处的值如下：

Zo(ll.75)=0.15625,乙(11.75)=0.93750,Z2(ll.75)=-0.09375,

再代入式(1.1.4),有

ln(ll.75)gL2(ll.75)

=0.15625X2.3979+0.93750X2.4849-0.09375X2.5649

=2.4638.

与准确值Indi.75)=2.463853…相比，可以看出二次插值比线性插值的精

度高.

例LL2设有测量得到的数据如表1.L6测量数据

表1.1.6所示，试用三次Lagrange插值1346

函数〃(才)表示这些数据的变化规律，

-75814

并计算七(2),心3(6.5)的值.

解利用式(1.L6)及其节点基函数形式，写出三次Lagrange插值函数

zx_(1—3)(1一4)(1一6)z_x(1一1)(才—4)(才-6)71-

37/)-(1-3)(1-4)(1-6)XvL7)+(3-1)(3-4)(3-6)Xb

■(■、一1)(①一3)(彳-6)/s(1-1)(①一3)(JC-4)/］汁

十(4一1)(4—3)(4—6)十(6—1)(6—3)(6—4)

・14・实用计算方法(第2版)

=一13/+54i—72)+擀(/-11*+34/—24)

306

一§(力-10/+271-18)+杀(/-8,+191一12)

630

=-13/+691-92),

□

再计算出L：i(2)=0.4,L：i(6.5)=81.875.

应该看到.虽然/(才)是未知的，但若/(.r)就是某个三次多项式，或本题中的

数据正好位于某个三次多项式曲线上，此时的计算结果LN2)=0.4就是准确的；

若/(才)是任意形状的未知曲线，计算结果%(2