第32课 圆与方程

第32课圆与方程普查与练习32圆与方程1．圆的标准方程和一般方程a．利用几何法或待定系数法求圆的方程(1)(2023汇编，35分)根据下列条件求圆C的标准方程．(Ⅰ)已知圆C以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径，则圆C的方程为__(x－2)2＋(y＋2)2＝25__．(Ⅱ)已知圆C经过点E(－1，－1)和F(－2，2)，且圆心C在直线l：x－y－1＝0上，则圆C的方程为__(x－3)2＋(y－2)2＝25__．(Ⅲ)已知圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程为__(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)__．(Ⅳ)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__．(Ⅴ)已知过点P(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)，则圆C的方程为__(x－3)2＋y2＝2__．(Ⅵ)已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆C与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切，则圆C的方程为__(x＋1)2＋(y＋1)2＝2__．(Ⅶ)圆心C在直线3x－y＝0上，与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2eq\r(7)的圆的方程为__(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9__．解析：设圆C的半径为r.(Ⅰ)(法一)依题意得点(－1，2)，(5，－6)为直径的两个端点，∴圆心坐标为线段AB的中点坐标，即(2，－2)，所求圆的半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(（－1－5）2＋[2－（－6）]2)＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.(法二)依题意得A(－1，2)，B(5，－6)，或A(5，－6)，B(－1，2)．设S(x，y)为所求圆上任意一点，∵该圆以AB为直径，∴SA⊥SB或S与A重合或S与B重合，∴eq\o(SA,\s\up6(→))·eq\o(SB,\s\up6(→))＝0，∴(－1－x，2－y)·(5－x，－6－y)＝(x＋1)(x－5)＋(y－2)·(y＋6)＝0，即x2＋y2－4x＋4y－17＝0，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.(Ⅱ)由E(－1，－1)，F(－2，2)得线段EF的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2))).又kEF＝eq\f(－1－2,－1＋2)＝－3，可得EF的垂直平分线的斜率为eq\f(1,3)，可得EF的垂直平分线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，即x－3y＋3＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,x－y－1＝0，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，)))可得圆心坐标为C(3，2)，半径为|CE|＝eq\r(（3＋1）2＋（2＋1）2)＝5.∴圆C的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝25.(Ⅲ)(法一)∵圆C经过坐标原点和点(4，0)，设O(0，0)，A1(4，0)，则圆心在线段OA1的垂直平分线上，∴可设圆心坐标为(2，y0)．又∵圆C与直线y＝1相切，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－0）2＋（y0－0）2＝r2，,|1－y0|＝r，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－\f(3,2)，,r＝\f(5,2)，))∴圆C的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).(法二)根据题意画出圆C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接CO，如图所示．在Rt△ODC中，r2＝(r－1)2＋22，解得r＝eq\f(5,2)，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(3,2)))，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).(Ⅳ)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，∴可设C(a，0)，a>0.又∵圆C的圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，∴eq\f(|2a|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2或a＝－2(不合题意，舍去)，∴C(2，0)．又∵点M(0，eq\r(5))在圆C上，∴圆的半径r＝eq\r(（0－2）2＋（\r(5)－0）2)＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(Ⅴ)∵圆C与直线x－y＝1相切于点Q(2，1)，∴圆心C在直线y－1＝－(x－2)上，即在直线y＝－x＋3上．∵点P(4，1)，Q(2，1)在圆C上，∴圆心C在直线x＝3上．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－x＋3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))∴圆心C(3，0)，∴圆C的半径r＝eq\r(（2－3）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.(Ⅵ)(法一)由题意设圆心坐标为(a1，a1)．∵该圆与直线x＋y＝0及x＋y＋4＝0都相切，∴eq\f(|a1＋a1|,\r(2))＝eq\f(|a1＋a1＋4|,\r(2))，解得a1＝－1，∴圆心坐标为(－1，－1)，半径为r＝eq\f(|2a1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.(法二)∵圆的两条切线x＋y＝0与x＋y＋4＝0平行，∴到圆的两条切线距离相等的直线方程为x＋y＋2＝0，即圆心在直线x＋y＋2＝0上．又圆心在直线y＝x上，∴联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))∴圆心坐标为(－1，－1)．易知两条平行切线间的距离即为圆的直径，即2r＝eq\f(|0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，∴r＝eq\r(2)，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.(Ⅶ)已知圆心在直线y＝3x上，可设圆心坐标为(a2，3a2)．又已知圆与x轴相切，可得r＝|3a2|，圆心到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|a2－3a2|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(|2a2|,\r(2))，可得圆被直线x－y＝0截得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(（3a2）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a2|,\r(2))))2)＝2eq\r(7)，化简可得aeq\o\al(2,2)＝1，解得a2＝±1，∴圆心坐标为(1，3)或(－1，－3)，半径r＝3，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.(2)(经典题，5分)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MN))＝(C)A．2eq\r(6)B．8C．4eq\r(6)D．10解析：(法一)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题知圆过A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)三点，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))满足D2＋E2－4F>0，∴圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y2＋4y－20＝0，解得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，∴M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，∴|MN|＝4eq\r(6)，故选C.(法二)由已知可得kAB＝eq\f(3－2,1－4)＝－eq\f(1,3)，kCB＝eq\f(2＋7,4－1)＝3，∴kAB·kCB＝－1，∴AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，∴△ABC的外接圆的圆心为线段AC的中点，坐标为(1，－2)，半径为eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(（1－1）2＋（－7－3）2)＝5，∴△ABC的外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得(y＋2)2＝24，解得y＝±2eq\r(6)－2，∴|MN|＝4eq\r(6)，故选C.(3)(2020江苏模拟，5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l：x－eq\r(3)y＋2eq\r(3)＝0与圆C：x2＋y2＝4的两个交点．当圆M的面积最小时，圆M的标准方程为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝1__．解析：(法一)设直线l与圆C交于A，B两点．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2\r(3)＝0，,x2＋y2＝4，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)，,y＝1)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，)))∴A(－eq\r(3)，1)，B(0，2)或A(0，2)，B(－eq\r(3)，1)．易知当AB为圆M的直径时，圆M的面积最小，此时圆M的圆心为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝1.∴所求圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝1.(法二)设圆的方程为x2＋y2－4＋k(x－eq\r(3)y＋2eq\r(3))＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3)k,2)))2＝k2－2eq\r(3)k＋4，∴r2＝k2－2eq\r(3)k＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\r(3)))2＋1，∴当k＝eq\r(3)时，半径r取得最小值，此时圆的面积最小，∴所求圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝1.b．求与圆有关的轨迹方程(4)(2023原创，5分)已知点A(－2，0)，B(2，0)，在平面直角坐标系中的动点M满足|MA|＝eq\r(2)|MB|，则点M的轨迹方程为__x2＋y2－12x＋4＝0(或(x－6)2＋y2＝32)__．解析：设点M坐标为(x，y)．已知|MA|＝eq\r(2)|MB|，可得|MA|2＝2|MB|2，即(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，化简可得x2＋y2－12x＋4＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－12x＋4＝0(或(x－6)2＋y2＝32)．(5)(经典题，12分)已知点P(0，5)，圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(Ⅰ)求圆C中过点P的弦的中点的轨迹方程；答案：x2＋y2＋2x－11y＋30＝0解析：解：易知圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，故圆心为C(－2，6)，半径为4.(2分)设过点P的弦AB的中点为N，当直线AB的斜率不存在时，N(0，6)；当直线AB的斜率为0时，N(－2，5)；(4分)当直线AB的斜率存在且不为0时，设N(a，b)，则直线AB的斜率kAB＝eq\f(b－5,a)，而直线CN的斜率kCN＝eq\f(b－6,a＋2)，∴eq\f(b－5,a)·eq\f(b－6,a＋2)＝－1，整理可得a2＋b2＋2a－11b＋30＝0.(6分)经验证，(0，6)和(－2，5)均符合上式．∴过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.(8分)(Ⅱ)若点Q是圆C上的动点，求PQ中点M的轨迹方程．答案：x2＋y2＋2x－11y＋eq\f(109,4)＝0解析：解：设M(m，n)，则Q点坐标为(2m，2n－5)．∵点Q是圆C上的动点，∴把Q的坐标代入圆C的方程得4m2＋(2n－5)2＋8m－12×(2n－5)＋24＝0，化简整理得m2＋n2＋2m－11n＋eq\f(109,4)＝0，∴PQ中点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋eq\f(109,4)＝0.(12分)(2023原创，5分)已知A(－6，0)，圆O：x2＋y2＝9，过点A的动直线l与圆O交于P，Q两点，设线段PQ的中点为M，则当直线l运动时，点M的运动轨迹的长度为__2π__．解析：如图，由M为PQ中点，可知OM⊥PQ，即∠AMO＝90°，可知点M在以OA为直径的圆上运动．取OA中点E(－3，0)，可知E在圆O上．以E为圆心，OE为半径作圆E，设圆E与圆O交于G，H两点，则点M运动的轨迹为弧GOH.易知|OE|＝|EG|＝|OG|＝3，所以∠GEO＝60°，所以∠GEH＝2∠GEO＝120°，所以轨迹长度为eq\f(120°,360°)×2π×3＝2π.c．求圆上动点到其他点距离的最值(6)(2023汇编，9分)已知圆C的半径为1，且经过点A(3，4)，①圆心C到原点的距离的最小值为(A)(2020北京，4分)A．4B．5C．6D．7②设点P是圆C上的动点，Q是直线x＝－4上的动点，若圆心C在原点与点A的连线上，则|PQ|的最小值为(C)A.eq\f(19,5)B.eq\f(23,5)C.eq\f(27,5)D.eq\f(31,5)解析：①根据题意，点C在以A为圆心，r1＝1为半径的圆上．∵A(3，4)，∴|OA|＝5，∴|OC|min＝|OA|－r1＝4.故选A.②如图，过A作AM⊥x轴于点M，过C作CN⊥x轴于点N，则|AM|＝4，|OM|＝3，∴|OA|＝eq\r(|AM|2＋|OM|2)＝5.∵CN∥AM，∴eq\f(|CN|,|AM|)＝eq\f(|ON|,|OM|)＝eq\f(|OC|,|OA|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OA))－|AC|,|OA|)＝eq\f(4,5)，∴|CN|＝eq\f(4,5)|AM|＝eq\f(16,5)，|ON|＝eq\f(4,5)|OM|＝eq\f(12,5)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(16,5))).过C作直线x＝－4的垂线，则垂线与圆C的交点为使得|PQ|最小的点P，垂足为使得|PQ|最小的点Q，∴|PQ|min＝|CQ|－1＝eq\f(12,5)＋4－1＝eq\f(27,5).故选C.2．直线与圆的位置关系a．直线与圆的位置关系的判定(7)(多选)(2021新高考Ⅱ，5分)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(ABD)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切解析：圆C：x2＋y2＝r2表示圆心为(0，0)，半径为r的圆，圆心到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2)).若A在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝eq\f(r2,\r(r2))＝r，所以直线l与圆C相切，A正确；若A在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>eq\f(r2,\r(r2))＝r，所以直线l与圆C相离，B正确；若A在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<eq\f(r2,\r(r2))＝r，所以直线l与圆C相交，C错误；若点A在l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝eq\f(r2,\r(r2))＝r，所以直线l与圆C相切，D正确．综上，选ABD.(2023原创，5分)已知直线l：ax－y＋eq\f(3,4)ar＝0(a≠0)与圆C：x2＋y2＝r2，则下列说法正确的是(B)A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相交C．直线l与圆C相离D．不能确定直线l与圆C的位置关系解析：(法一)对ax－y＋eq\f(3,4)ar＝0(a≠0)进行整理，得y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)r))，∴直线l过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)r，0)).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)r))eq\s\up12(2)＋02<r2，∴点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)r，0))在圆C内，∴直线l与圆C相交．故选B.(法二)易知圆心C(0，0)，∴圆心到直线l的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)ar)),\r(a2＋1))＝eq\f(3,4)·eq\f(|a|,\r(a2＋1))·r.∵eq\f(|a|,\r(a2＋1))＝eq\r(\f(a2,a2＋1))<1，∴d<r，∴直线l与圆C相交．故选B.b．根据直线与圆的位置关系求参数(8)(2023汇编，10分)已知直线l：y＝x＋b.(Ⅰ)若b＝1，直线l与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(C)A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)(Ⅱ)若直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是__[1，eq\r(2))__．解析：(Ⅰ)易知直线l：y＝x＋1，即x－y＋1＝0.(法一)由题得圆心的坐标为(a，0)，半径r＝eq\r(2).∵直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)，解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围是[－3，1]．故选C.(法二)联立直线l与圆的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,（x－a）2＋y2＝2，))消元得2x2－2(a－1)x＋a2－1＝0.∵直线l与圆有公共点，∴Δ＝[－2(a－1)]2－8(a2－1)＝－4(a－1)(a＋3)≥0，解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围是[－3，1]．故选C.(Ⅱ)如图，直线l：y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线，曲线y＝eq\r(1－x2)表示单位圆在x轴及其上方的部分．当直线过点(－1，0)时，它与半圆交于两点，此时b＝1，记为直线l1；当直线与半圆相切时，b＝eq\r(2)，记为直线l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)，∴1≤b<eq\r(2)，即实数b的取值范围是[1，eq\r(2))．c．直线与圆相交时的相关问题(9)(2023汇编，24分)已知圆O：x2＋y2＝4，O为坐标原点．(Ⅰ)设直线l：y＝kx＋m与圆O交于M，N两点，①当k＝m＝1时，|MN|＝(D)A．2eq\r(2)B.eq\f(\r(14),2)C．4D.eq\r(14)②当k＝1时，若△MON为等边三角形，则m＝(B)A.eq\r(6)B．±eq\r(6)C.eq\r(2)D．±eq\r(2)③若|MN|的最小值为2，则m＝(C)(2021北京，4分)A．±2B．±eq\r(2)C．±eq\r(3)D．±eq\r(5)(Ⅱ)设直线l1：nx＋y＋eq\r(3)n－1＝0与圆O交于P，Q两点，①过P，Q分别作l1的垂线与x轴交于A，B两点，若|PQ|＝2，则|AB|＝(B)A．2B.eq\f(4\r(3),3)C．2eq\r(3)D．4②将直线l1向下平移eq\f(1,2)个单位长度得到直线l2，并设直线l2与圆O的交点分别为P′，Q′，则弦长|P′Q′|的最小值为(C)A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\r(3)D．2解析：由题可得圆O的圆心为O(0，0)，半径r＝2.(Ⅰ)①当k＝m＝1时，直线l：x－y＋1＝0，则圆心O到直线l的距离d＝eq\f(|0－0＋1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴弦长|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).故选D.②当k＝1时，直线l：x－y＋m＝0，根据题意作图，如图所示，则圆心O到直线l的距离d＝eq\f(|0－0＋m|,\r(2))＝eq\f(\r(2)|m|,2).若△MON为等边三角形，则d＝eq\f(\r(3),2)r，即eq\f(\r(2)|m|,2)＝eq\f(\r(3),2)r＝eq\r(3)，∴m＝±eq\r(6).故选B.③由题易得圆心到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，则弦长|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，当k＝0时，弦长取得最小值，为2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3).故选C.(Ⅱ)①∵|PQ|＝2，∴圆心O到直线l1的距离d1＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，即eq\f(|\r(3)n－1|,\r(n2＋1))＝eq\r(3)，解得n＝－eq\f(\r(3),3)，∴直线l1：－eq\f(\r(3),3)x＋y－2＝0，∴其倾斜角为30°.根据题意作图，如图所示，过A作AC⊥BQ于点C，则易知四边形ACQP是矩形，且∠CAB＝30°，∴|AB|＝eq\f(|AC|,cos∠CAB)＝eq\f(|PQ|,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).故选B.②将方程nx＋y＋eq\r(3)n－1＝0进行整理，得y＝1－n(x＋eq\r(3))，∴直线l1过定点(－eq\r(3)，1)，∴直线l2过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2))).设Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，则|OE|＝eq\r(3＋\f(1,4))＝eq\f(\r(13),2)<2,∴点E在圆O内，∴当直线l2与OE垂直时，弦长|P′Q′|有最小值，此时|P′Q′|＝2eq\r(4－\f(13,4))＝eq\r(3).故选C.(10)(2023汇编，10分)已知直线l经过点(－1，0)，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0,(Ⅰ)设直线l的斜率为k，且与圆C交于不同的两点A，B，则当k＝eq\f(1,3)时，△ABC的面积为__eq\f(4\r(6),5)__；当△ABC的面积最大时，实数k＝__±eq\f(\r(7),7)__；(Ⅱ)将圆C向左平移3个单位得到圆C′，设直线l与圆C′交于不同的两点A′，B′，E在圆C′上，F(－2，0)，且A′B′⊥EF，则四边形A′EB′F面积的最大值为__4eq\r(3)__．提醒：圆C向左平移3个单位长度，即圆心向左平移3个单位长度，半径不变，故可直接得出圆C′的方程．解析：(Ⅰ)由圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，即(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C(3，0)，半径r＝2.∵直线l经过点(－1，0)，∴当斜率k＝eq\f(1,3)时，直线l的方程为y＝eq\f(1,3)(x＋1)，即x－3y＋1＝0，∴圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|3＋1|,\r(1＋9))＝eq\f(2\r(10),5)，∴|AB|＝2×eq\r(4－\f(8,5))＝eq\f(4\r(15),5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(15),5)×eq\f(2\r(10),5)＝eq\f(4\r(6),5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)|CA|·|CB|sin∠ACB≤eq\f(1,2)|CA||CB|＝eq\f(1,2)|CA|2＝2，当且仅当sin∠ACB＝1时等号成立，∴当△ABC的面积最大时，∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．∵|AC|＝2，∴斜边上的高为eq\r(2).已知直线l：y＝k(x＋1)，故点C到直线l的距离d＝eq\f(|3k＋k|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±eq\f(\r(7),7).(Ⅱ)根据题意，圆C′：x2＋y2＝4，此时点C′与坐标原点重合．①当直线l与x轴垂直时，|A′B′|＝2eq\r(3)，|EF|＝4，∴四边形A′EB′F的面积S＝eq\f(1,2)|A′B′|·|EF|＝4eq\r(3).②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，则直线EF的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)，即x＋ky＋2＝0.根据题意作图，如图所示，(法一)∵点C′到直线l的距离为eq\f(|k|,\r(k2＋1))，到直线EF的距离为eq\f(2,\r(k2＋1))，∴|A′B′|＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|k|,\r(k2＋1))))2)＝2eq\r(\f(3k2＋4,k2＋1))，|EF|＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(k2＋1))))2)＝4eq\r(\f(k2,k2＋1))，∴四边形A′EB′F的面积S＝eq\f(1,2)|A′B′|·|EF|＝eq\f(1,2)·2eq\r(\f(3k2＋4,k2＋1))·4eq\r(\f(k2,k2＋1))＝4eq\r(\f(（3k2＋4）k2,（k2＋1）2)).令t＝k2＋1>1(当k＝0时，四边形A′EB′F不存在)，则S＝4eq\r(\f(（3t＋1）（t－1）,t2))＝4eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋1))2)<4eq\r(4－1)＝4eq\r(3).综上，四边形A′EB′F面积的最大值为4eq\r(3).(法二)联立直线l与圆C′的方程，整理得(k2＋1)x2＋2k2x＋k2－4＝0，∴xA′＋xB′＝－eq\f(2k2,k2＋1)，xA′xB′＝eq\f(k2－4,k2＋1)，∴|A′B′|＝eq\r(1＋k2)·|xA′－xB′|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xA′＋xB′）2－4xA′xB′)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(4k4－4（k2－4）（k2＋1）,（k2＋1）2))＝2eq\r(\f(3k2＋4,k2＋1)).联立直线EF与圆C′的方程，整理得(k2＋1)y2＋4ky＝0，∴y1＝－eq\f(4k,k2＋1)，y2＝0，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2－2,k2＋1)，－\f(4k,k2＋1)))，F(－2，0)，∴|EF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2－2,k2＋1)＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k,k2＋1)))2)＝4eq\r(\f(k2,1＋k2)).以下同法一．d．直线与圆相切时的相关问题(11)(2023汇编，20分)已知直线l与圆C：x2＋(y－1)2＝1相切，(Ⅰ)若直线l与x轴交点的横坐标为－eq\r(3)，则直线l的斜率为__eq\r(3)或0__；(Ⅱ)若直线l经过点(1，3)，则直线的方程为__x＝1或3x－4y＋9＝0__；(Ⅲ)若直线l经过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)＋1))，且与两个坐标轴分别交于点M，N，则|MN|＝__2＋eq\r(2)__；(Ⅳ)若直线l的斜率为eq\r(3)，且与y轴交于点A，与圆C相切于点B，则|AB|＝__eq\r(3)__．(2021天津)解析：由圆C的方程可得圆心C(0，1)，半径r＝1.(Ⅰ)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－eq\r(3)，不与圆C相切．若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k＝0，∴点C到直线l的距离d＝eq\f(|\r(3)k－1|,\r(k2＋1))＝r＝1，化简得k2－eq\r(3)k＝0，解得k＝eq\r(3)或0.故直线l的斜率为eq\r(3)或0.(Ⅱ)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，与圆C相切．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，则点C到直线l的距离d＝eq\f(|－1＋3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，此时直线l的方程为y－3＝eq\f(3,4)(x－1)，即3x－4y＋9＝0.综上，直线的方程为x＝1或3x－4y＋9＝0.(Ⅲ)令Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)＋1))，易知点P在圆C上，∴点P即为切点．∵kPC＝eq\f(\f(\r(2),2)＋1－1,\f(\r(2),2))＝1，∴直线l的斜率为－1，∴直线l：y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋1))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))，即x＋y－eq\r(2)－1＝0.令x＝0，则y＝eq\r(2)＋1；令y＝0，则x＝eq\r(2)＋1，∴|MN|＝eq\r(2)×(eq\r(2)＋1)＝2＋eq\r(2).(Ⅳ)不妨假设点A在x轴上方，直线l与x轴交于点D，则tan∠ADO＝eq\r(3)，∴∠ADO＝60°，∴∠BAC＝30°.∵B是切点，∴BC⊥AD，∴|AB|＝eq\f(|BC|,tan∠BAC)＝eq\r(3).(12)(经典题，5分)已知圆(x＋1)2＋y2＝12的圆心为C，点P是直线l：mx－y－5m＋4＝0上的点．若圆C上存在点Q使∠CPQ＝60°，则实数m的取值范围是(C)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(30),6)，1＋\f(\r(30),6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，1－\f(\r(30),6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(30),6)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，＋∞))解析：由题可知，圆的圆心C(－1，0)，半径为2eq\r(3).将直线l化简得到(x－5)m－(y－4)＝0，可知直线l过定点(5，4)．如图，过点P作圆C的切线PR，切点为R，连接CR，CP.若圆C上存在点Q使∠CPQ＝60°，则∠CPQ≤∠CPR，即sin60°≤sin∠CPR＝eq\f(|CR|,|CP|)＝eq\f(2\r(3),|CP|)有解，即|CP|≤4有解，∴|CP|min≤4，即C到直线l的距离d≤4，∴eq\f(|－m－0－5m＋4|,\r(m2＋1))≤4，解得0≤m≤eq\f(12,5).故选C.(13)(2023汇编，25分)已知圆O：x2＋y2＝1，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B.(Ⅰ)若点P是直线l：x＋ky－2＋3k＝0所过的定点，则直线AB的方程为__2x－3y－1＝0__；(Ⅱ)若直线l的方程为x＋y－6＝0，则四边形PAOB面积的最小值为__eq\r(17)__，此时四边形PAOB外接圆的方程为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(9,2)__；(Ⅲ)若直线l的方程为4x＋3y－10＝0，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为__eq\f(3,2)__；(Ⅳ)若直线l的方程为x＋y－2eq\r(2)＝0，则使∠AOB最小的点P的坐标是__(eq\r(2)，eq\r(2))__；(Ⅴ)若直线l的方程为y＝2x＋a，且点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PO,\s\up6(→))，则实数a的取值范围是__[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]__．解析：(Ⅰ)(法一)将直线l方程变形为x＝－k(y＋3)＋2，可知直线经过定点P(2，－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在圆O：x2＋y2＝1上，可得过点A，B的切线方程分别为x1x＋y1y＝1，x2x＋y2y＝1.已知点P(2，－3)在过A，B的两条切线上，可得2x1－3y1＝1，2x2－3y2＝1，根据两点确定一条直线，可得过点A，B的直线方程为2x－3y＝1，即直线AB的方程为2x－3y－1＝0．(法二)同法一可知P(2，－3)，O(0，0)，根据切线的性质，易知点O，A，P，B在以OP为直径的圆上，该圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，半径为eq\f(1,2)|OP|＝eq\f(\r(13),2)，可得圆的方程为(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(13,4)①.又已知圆O：x2＋y2＝1②，所以①－②可得两圆的公共弦所在直线即AB的方程为－2x＋3y＋1＝0，即2x－3y－1＝0.(Ⅱ)根据切线的性质，可知OA⊥AP，|AP|＝eq\r(|OP|2－1)，S四边形PAOB＝2S△AOP＝2×eq\f(1,2)r·|AP|＝eq\r(|OP|2－1)，可知当|OP|最小时，四边形PAOB面积取得最小值．因为当OP与直线l垂直时，|OP|取得最小值eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)，所以四边形PAOB面积的最小值为eq\r(（3\r(2)）2－1)＝eq\r(17).此时由OP与直线l垂直，可知OP的斜率为1，方程为y＝x，与直线l的方程联立，可得点P坐标为(3，3)．因为OA⊥AP且OB⊥BP，所以OP为四边形PAOB外接圆的直径，所以外接圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))，半径为eq\f(3\r(2),2)，可得此时外接圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(9,2).(Ⅲ)由题意可知，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|cos∠APB＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2cos∠APB，要求它的最小值，只需|PA|最小，∠APB最大．易知当|OP|最小时，|PA|取得最小值，同时∠APB有最大值，所以当OP与直线l垂直时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最小值．由点O到直线l的距离为|OP|＝eq\f(10,\r(42＋32))＝2，圆O的半径为1，可知此时|PA|＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，cos∠OPA＝eq\f(|PA|,|OP|)＝eq\f(\r(3),2)，cos∠APB＝2cos2∠OPA－1＝eq\f(1,2)，可得(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min＝(eq\r(3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(Ⅳ)如图，记∠AOP＝α(0°<α<90°)，则cosα＝eq\f(|OA|,|OP|)＝eq\f(1,|OP|).易知当OP与直线l垂直时，|OP|最小，cosα最大，α最小，从而∠AOB最小，此时直线OP的方程为y＝x，与直线l的方程x＋y－2eq\r(2)＝0联立，解得P点坐标为(eq\r(2)，eq\r(2))．(Ⅴ)如图，设PO与AB交于H,则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PH,\s\up6(→))，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PO,\s\up6(→))，则有eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(PO,\s\up6(→)).在Rt△PAO中，|PA|2＝|PH|·|PO|，则|PA|2＝eq\f(3,4)|PO|2.又|PO|2＝|PA|2＋1，所以|PO|2－1＝eq\f(3,4)|PO|2，解得|PO|2＝4，即|PO|＝2.所以eq\f(|2×0－0＋a|,\r(4＋1))＝eq\f(|a|,\r(5))≤2，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5)，即a的取值范围为[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]．e．圆上的点到直线的距离为定值的问题(14)(2020北京密云区二模，4分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，若点P在圆C上，并且点P到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，则满足条件的点P的个数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：由题可知圆心C(0，1)，半径r＝eq\r(2)，可得圆心到直线y＝x的距离d＝eq\f(|0－1|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，故过圆心且与直线y＝x平行的直线与圆C有两个交点，这两个交点都符合题意．又r＝2d，则与圆心关于直线y＝x对称的点也在圆上，该点也符合题意．综上可知，共有3个点P满足条件．故选C.(15)(经典题，5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是__(－13，13)__．解析：易得圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离为eq\f(|c|,13).又圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，∴到直线12x－5y＋c＝0距离为1的两条直线与圆都相交，∴eq\f(|c|,13)＋1<2，∴eq\f(|c|,13)<1，解得－13<c<13.∴实数c的取值范围是(－13，13)．f．圆上动点到直线距离的最值问题(16)(多选)(2021新高考Ⅰ，5分)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(ACD)A.点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)解析：由题知，圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，所以圆心M到直线AB的距离为eq\f(|1×5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq\f(11,\r(5))＝eq\f(11\r(5),5).因为4<eq\f(11\r(5),5)<5，所以点P到直线AB的距离的最小值为eq\f(11\r(5),5)－4<2，最大值为eq\f(11\r(5),5)＋4<10，即A选项正确，B选项错误．画出图形如图所示，由图可知，当PB与圆M相切时，∠PBA最大或最小．连接MP，BM，可知PM⊥PB，|BM|＝eq\r(（5－0）2＋（5－2）2)＝eq\r(34)，|MP|＝4，所以|BP|＝eq\r(|BM|2－|MP|2)＝3eq\r(2)，C，D选项正确．故选ACD.(17)(2018全国Ⅲ，5分)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(A)A．[2，6]B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，所以A(－2，0)，B(0，－2)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(2).圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C(2，0)，半径r＝eq\r(2)，圆心C(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(2))＝2eq\r(2).设点P到直线x＋y＋2＝0的距离为h，显然，当PC⊥AB时，h取得最值．过点C作直线AB的垂线，垂足为F，当点P为线段CF与圆C的交点时，h最小，hmin＝d－r＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)，则(S△ABP)min＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))·hmin＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2；当点P为线段FC的延长线与圆C的交点时，h最大，hmax＝d＋r＝2eq\r(2)＋eq\r(2)＝3eq\r(2)，则(S△ABP)max＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))·hmax＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×3eq\r(2)＝6.综上所述，△ABP面积的取值范围为[2，6]．故选A.g．与圆上动点有关代数式的最值问题(18)(经典题，15分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(Ⅰ)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；答案：eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3)解析：解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，它表示以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆.eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，∴设eq\f(y,x)＝k，则y＝kx.(2分)当直线y＝kx与圆相切时，如图所示，斜率k取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝kx的距离d＝eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)，∴eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(5分)(Ⅱ)求y－x的最大值和最小值；答案：y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6)解析：解：令z＝y－x，则y－x可看作是直线y＝x＋z在y轴上的截距．(7分)当直线y＝x＋z与圆相切时，纵截距z取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝x＋z的距离d＝eq\f(|2－0＋z|,\r(2))＝eq\r(3)，解得z＝－2±eq\r(6)，∴y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(10分)(Ⅲ)求x2＋y2的最大值和最小值．答案：x2＋y2的最大值为7＋4eq\r(3)，最小值为7－4eq\r(3)解析：解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何的知识可知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的交点处取得最大值和最小值，如图所示．(12分)∵圆心到原点的距离为2，∴x2＋y2的最大值为(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值为(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).(15分)3．圆与圆的位置关系a．圆与圆位置关系的判定(19)(2021河北开学考，5分)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋k(4x＋3y)－1＝0(k∈R，k≠0)的位置关系为(A)A．相交B．相离C．相切D．无法确定解析：由题可知，圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1.将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋2k)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3k,2)))2＝1＋eq\f(25k2,4)，∴圆C2的圆心为C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2k，－\f(3k,2)))，半径为r2＝eq\r(1＋\f(25k2,4)).∵|C1C2|＝eq\r(4k2＋\f(9k2,4))＝eq\r(\f(25k2,4))，eq\r(1＋\f(25k2,4))－1<eq\r(\f(25k2,4))<eq\r(1＋\f(25k2,4))＋1，∴r2－r1<|C1C2|<r2＋r1，两圆相交．故选A.b．求两圆公共弦的长度和所在的直线方程(20)(2021浙江台州模拟，6分)圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为__y＝x__，A，B两点间的距离为__eq\r(14)__．解析：将圆C1的标准方程化为一般方程，可得x2＋y2－2x－4y＋1＝0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－4y＋1＝0，,x2＋y2－4x－2y＋1＝0，)))整理得y＝x，∴过A，B两点的直线方程为y＝x.由题可知，圆C1的圆心为(1，2)，半径为r＝2.∵点C1到直线y＝x的距离d＝eq\f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14)，即A，B两点间的距离为eq\r(14).c．根据圆与圆的位置关系求参数的值或范围(21)(2021广西来宾模拟，5分)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(A)A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(3，4)解析：由题可知，圆C1的圆心为C1(1，a)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(－2，－1)，半径为r2＝a，∴|C1C2|＝eq\r(9＋（a＋1）2).∵圆C1与圆C2相交，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，即|a－2|<eq\r(9＋（a＋1）2)<a＋2，解得a>3.故选A.(22)(2020山东模拟，5分)已知两圆x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线．若a∈R，b∈R，且ab≠0，则eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值为(B)A．3B．1C.eq\f(4,9)D.eq\f(1,9)解析：由题意得两圆的标准方程分别为(x＋2a)2＋y2＝4和x2＋(y－b)2＝1，圆心分别为(－2a，0)，(0，b)，半径分别为2，1.因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，所以圆心距满足eq\r(（－2a）2＋b2)＝2＋1＝3，即4a2＋b2＝9，即eq\f(4,9)a2＋eq\f(1,9)b2＝1，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)a2＋\f(1,9)b2))＝eq\f(4,9)＋eq\f(1,9)＋eq\f(4a2,9b2)＋eq\f(b2,9a2)≥eq\f(5,9)＋2eq\r(\f(4a2,9b2)·\f(b2,9a2))＝eq\f(5,9)＋eq\f(4,9)＝1，当且仅当b2＝2a2＝3时等号成立．故选B.d．求两圆的公切线方程(23)(2020浙江，6分)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__eq\f(\r(3),3)__，b＝__－eq\f(2\r(3),3)__．解析：由条件得两圆圆心和半径分别为C1(0，0)，C2(4，0)，r1＝1,r2＝1.因为直线y＝kx＋b(k>0)与圆C1，C2都相切，所以d1＝eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝1，d2＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1，则有eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))，即b2＝(4k＋b)2，整理得k(2k＋b)＝0.因为k>0，所以2k＋b＝0，即b＝－2k，代入d1＝eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq\f(\r(3),3)，则b＝－eq\f(2\r(3),3).e．求分别在两圆上的两个动点之间距离的最值(24)(2021江苏南京期末，5分)已知直线l1：kx＋y＝0(k∈R)与直线l2：x－ky＋2k－2＝0相交于点A，点B是圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，则|AB|的最大值为__5＋2eq\r(2)__．解析：因为直线l1：kx＋y＝0恒过定点O(0，0)，直线l2：x－ky＋2k－2＝0可变形为x＝k(y－2)＋2，即直线l2恒过定点C(2，2)．又l1⊥l2，所以两直线的交点A在以OC为直径的圆上．设OC的中点为D，则D(1，1)，且圆D的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.因为直线l1的斜率存在，所以点A的轨迹不包括圆D与y轴的交点(0，2)，如图所示．要求|AB|的最大值，即求圆D和圆E：(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的点连线距离的最大值．由两圆的圆心距为eq\r(（1＋2）2＋（1＋3）2)＝5，且两圆的半径均为eq\r(2)，可知|AB|max＝5＋2eq\r(2).4．隐形圆在解题中的妙用(25)(2023汇编，15分)已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋25－m＝0，A(－1，0)，B(1，0)．(Ⅰ)若圆C上存在点P使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，则m的最小值为__16__．(Ⅱ)若圆C上存在点Q使得|OQ|＝eq\f(1,2)|AQ|，则圆C的半径eq\r(m)的取值范围是__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(202)－2,3)，\f(\r(202)＋2,3)))__．(Ⅲ)设MN是圆C的一条弦，CM⊥CN，E是MN的中点.若圆C与直线y＝x＋1相切，且当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A1，B1，使得∠A1EB1≥eq\f(π,2)恒成立，则线段A1B1长度的最小值为__2eq\r(10)＋2__．解析：(Ⅰ)由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0可得PA⊥PB，可得点P在以AB为直径的圆上，即点P在圆x2＋y2＝1上．将x2＋y2－8x－6y＋25－m＝0化为标准方程(x－4)2＋(y－3)2＝m，可得圆心坐标为C(4，3)，半径r＝eq\r(m).根据题意可知圆C与圆O有交点．如图，当两圆外切时，圆C的半径最小．因为|OC|＝eq\r(42＋32)＝5，所以圆C半径的最小值为5－1＝4，即(eq\r(m))min＝4，可得mmin＝16.(Ⅱ)设Q(x0，y0)，则|OQ|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)，|AQ|2＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0).∵|OQ|＝eq\f(1,2)|AQ|，∴|OQ|2＝eq\f(1,4)|AQ|2，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)(x0＋1)2＋eq\f(1,4)yeq\o\al(2,0)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,3)))2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(4,9)，∴点Q在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))为圆心，eq\f(2,3)为半径的圆上．又点Q在圆C上，∴圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))2＋y2＝eq\f(4,9)与圆C有公共点．∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))与点C(4，3)间的距离为eq\f(\r(202),3)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\r(m)))≤eq\f(\r(202),3)≤eq\f(2,3)＋eq\r(m)，解得eq\f(\r(202)－2,3)≤eq\r(m)≤eq\f(\r(202)＋2,3)，∴eq\r(m)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(202)－2,3)，\f(\r(202)＋2,3))).(Ⅲ)∵圆C与直线y＝x＋1相切，∴圆心C到直线y＝x＋1的距离等于半径eq\r(m)，即eq\f(|4－3＋1|,\r(2))＝eq\r(m)，解得m＝2，∴|CM|＝|CN|＝eq\r(2).又CM⊥CN，∴△CMN是等腰直角三角形，|MN|＝2.又E为MN的中点，∴CE⊥MN，|CE|＝1，即点E在以C为圆心，1为半径的圆上，∴点E在圆(x－4)2＋(y－3)2＝1上．要使得∠A1EB1≥eq\f(π,2)恒成立，则点E在以A1B1为直径的圆上(与点A，B不重合)或内部，又点A1，B1在直线l上，点C到直线l的距离d＝eq\f(|4－9－5|,\r(12＋（－3）2))＝eq\r(10)，∴以A1B1为直径的圆的半径的最小值为eq\r(10)＋1，∴|A1B1|的最小值为2eq\r(10)＋2，即线段A1B1长度的最小值为2eq\r(10)＋2.随堂普查练321．(经典题，5分)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)__，半径是__5__．解析：由题意得a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，此方程表示圆，此时圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(5,4)，此时方程不表示圆．综上所述，a＝－1，圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.2．(2021江苏南京模拟，5分)写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程__(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)__．解析：圆关于直线x＋y－1＝0对称，即该圆圆心在直线x＋y－1＝0上，如(x－1)2＋y2＝1.3．(2021浙江杭州模拟，6分)已知直线l：ax＋by＋c＝0被圆C：x2＋y2＝16截得的弦的中点为M，若3a＋2b－c＝0，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(13,4)__，|OM|的最大值为__eq\r(13)__．解析：如图，设直线l与圆C交于A，B两点，连接OM.因为3a＋2b－c＝0，所以－3a－2b＋c＝0，所以点(－3，－2)在直线l上，设其为点T.因为M是AB的中点，所以MO⊥AB，所以MO⊥MT，所以eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(MT,\s\up6(→))＝0.设M(x，y)，则(－x，－y)·(－3－x，－2－y)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(13,4)，所以点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(13,4).因为点M在以OT为直径的圆上，所以|OM|的最大值等于该圆直径的长度，为eq\r(13).4．(2021广西来宾模拟，5分)一束光线从点A(－2，1)出发，经x轴反射到圆C：x2＋y2－6x－8y＋23＝0上的最短距离为(C)A．5eq\r(2)B．4C．4eq\r(2)D．6解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y－4)2＝2，∴圆C的圆心坐标为(3，4)，半径r＝eq\r(2).作点A(－2，1)关于x轴的对称点B(－2，－1)，则所求的最短距离即为点B与圆C上的点的最短距离，光线的轨迹如图所示．∵|BC|＝eq\r(（3＋2）2＋（4＋1）2)＝5eq\r(2)，∴所求最短距离为5eq\r(2)－eq\r(2)＝4eq\r(2).故选C.5．(2020山东模拟，5分)已知直线l：y－eq\f(\r(2),2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，则“k＝1”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：直线l与圆x2＋y2＝1相切，等价于d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)k＋\f(\r(2),2))),\r(k2＋1))＝1，解得k＝1，所以“k＝1”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的充要条件．故选C.6．(经典题，5分)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(3)，则圆C的面积为__4π__．解析：将圆C的一般方程x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程，得x2＋(y－a)2＝a2＋2，∴圆心为C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2).∵圆心C到直线y＝x＋2a的距离为eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，|AB|＝2eq\r(3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝a2＋2，解得a2＝2，∴圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.7．(2023改编，5分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点M(1，2)的直线l与圆C交于A，B两点．若∠ACB最小，则直线l的方程是__x＋y－3＝0__；若|AM|＝|BM|，则直线l的斜率是__－1__．解析：设圆心C到直线l的距离为d，则coseq\f(∠ACB,2)＝eq\f(d,5).要使∠ACB最小，则d取最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝eq\f(4－2,3－1)＝1，∴kl＝－1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.∵|AM|＝|BM|，∴M是线段AB的中点，又AC＝BC，∴AB⊥CM，∴直线l的斜率为－1.8．(经典题，6分)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，设过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积．答案：10eq\r(2)解析：解：将圆的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为G(1，3)，半径r＝eq\r(10).(1分)最长弦AC为过点E的直径，所以|AC|＝2eq\r(10).(3分)易知最短弦BD为与GE垂直的弦，如图所示．∵|BG|＝eq\r(10)，|EG|＝eq\r(（0－1）2＋（1－3）2)＝eq\r(5)，∴|BD|＝2|BE|＝2eq\r(|BG|2－|EG|2)＝2eq\r(5)，(5分)∴四边形ABCD的面积为eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).(6分)9．(2019浙江，6分)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝__eq\r(5)__．解析：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得eq\f(m＋1,2)＝－eq\f(1,2)，解得m＝－2，∴圆心为(0，－2)，半径r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).10．(2020山东烟台模拟，5分)已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(B)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．4解析：根据题意，可知圆C的圆心坐标为C(4，3)，半径r＝2.过点P作圆C的切线，切点为Q，可得|PQ|＝eq\r(|PC|2－22)，当|PC|最小时，|PQ|取得最小值．又点P在单位圆上，则|PC|min＝|OC|－1＝eq\r(9＋16)－1＝4，可得|PQ|min＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).故选B.11．(2020山东，5分)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝eq\f(3,5)，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__eq\f(5,2)π＋4__cm2.解析：连接OA，作AM⊥EF，分别交OH，DG，EF于S，N，M，过点O作OQ⊥DQ，垂足为Q.∵A到直线DE和EF的距离均为7，∴|EM|＝|AM|＝7.又∵|EF|＝12，|MN|＝|DE|＝2，∴|NG|＝|MF|＝12－7＝5，|AN|＝|AM|－|NM|＝7－2＝5，∴∠AGD＝45°.∵BH∥DG，∴∠AHO＝45°.∵AG是圆弧的切线，∴AG⊥OA，∠AOH＝45°.设|OA|＝R，则|AS|＝|OS|＝eq\f(R,\r(2))，|OQ|＝|SN|＝5－