“一题多变”在高中数学教学中的理论基础与实践路径探究

摘要：探究“一题多变”在高中数学教学中的理论基础与实践路径，通过资料搜集、理论分析等方法，阐释一题多变的定义、内容，总结一题多变的理论基础，包括建构主义学习理论、脚手架理论、马登变异理论。在文章核心模块，围绕关注一题多变应用方式，进行一题多变训练，灵活应用一题多变方法，开展一题多变深度探究，给出具体的实践方法，为学生创造良好的学习环境，增强学生对各模块知识的理解与掌握。得出如下结论：实现对一题多变的深入研究，将其灵活应用于高中数学教学中，有效提升了数学教学效率、学生学习兴趣，并对其他相关研究起到了参考作用。关键词：一题多变；高中数学；理论基础；实践路径进入新时期以后，很多高中数学教师在探索更加有效、先进的教学方式，其中一题多变因在教学中的便利性、适用性等优势而受到广泛欢迎。在一题多变应用进程中，需关注其基本变换方法、注意事项等，并能善于在教学中总结经验，优化教学方式，如此才能发挥其根本作用。故而有必要对一题多变应用方法展开深度探究，发挥其更大作用。一、“一题多变”概述（一）定义一题多变，可从字面意思对其加以研究，理解为题目结构的变式，如题目形式、结论、条件等的变换，但并未从实质上改变题目，只是从不同方面、角度揭示题目本质。在高中数学中引入一题多变理论，引导学生结合数学题目展开深度探究，在“变”中寻找解题方法，总结“不变”与规律，提升思维灵活性。分析一题多变内涵，关键是“变”“为何变”“如何变”，让学生基于自身的数学知识、技能体系、数学经验等，求解题目答案，掌握更加有效的解题方法。（二）内容分析一题多变内容，总结如下：1.出题角度变化：在为学生提供例题时，可从不同思考方式、角度出发，引导学生从不同视角切入，分析数学知识的内涵与要义，培养学生解题能力、思维能力，实现对数学知识的全面掌握。2.考查数学技能与能力的多样化：围绕同一例题，出具不同形式的题目，考查学生各类能力掌握情况，培养学生问题分析能力、深度思考能力等[1]。3.考查数学知识广泛性：一题多变中，涉及不同模块的知识点，学生需对例题产生深刻认识，实现各类知识的相互转化、联系，提升学生数学素养、整体化思维，巩固数学知识体系。4.训练多种解题方式：同一道例题包括多种解题方式，学生在掌握各类解题方式的过程中促进创新思维的提升，能灵活应对不同难度、形式的题目。二、“一题多变”在高中数学教学中的理论基础分析一题多变在高中数学教学中的理论基础，如图1所示，进行具体化分析：（一）建构主义学习理论瑞士一位心理学家最先提出建构主义心理学，并提出学生学习过程是一个主动建构过程，而非被动接受知识传输的过程，学生对知识的理解与掌握来源于其对知识的主动性思考、反省。在该理论体系下，引入一题多变模式时，应发挥教师的主导性作用，尊重学生主体地位，教师扮演学生知识建构的助手角色，以合理的、更具层次性的问题，引导学生实现各类知识的衔接，理解新知识的同时，巩固旧知识，这对于完善学生知识体系，实现对各类知识的整体化认识来说至关重要。（二）脚手架理论脚手架理论指的是引导学生合理借助教师、父母、同伴等的提示或者辅助，完成其原本无法单独完成的任务，在学生能独立完成学习任务时，教师及时撤除脚手架，给学生更多的发挥空间。基于脚手架理论，在一题多变探究中，教师可通过对题目的变换，搭建新、旧知识的“脚手架”，如将例题中的问题进行类比归纳、引入辅助元素、特殊处理等，做好铺垫，搭建解题台阶，降低解题难度，教授学生更加多元化、简单易行的解题方式[2]。（三）马登变异理论马登变异理论的核心是：学习即鉴别，基于对差异的深度认识，辅助解题过程，要求教师能引入变异维数，对其加以深度扩展，增强学生对例题各个方面的深刻认识，关注例题中包含的变异性质，体验变异，为变异问题解决做好准备。在马登变异理论中，一题多变的“变”，应保持问题变式的先进性、科学性，不能只是叠加学生的问题求解次数，让问题显现出重复化、机械化，更多应在变换中去探索题目的本质，降低题目求解难度，提升解题效率。三、“一题多变”在高中数学教学中的实践路径（一）关注“一题多变”应用方式，提升实际教学效果在实际引入一题多变方式时，关注以下要点内容：1.精选例题：并非所有的例题都适宜与一题多变模式配搭，若例题选择不恰当，非但难以发挥一题多变优势，还会增加师生负担，让教学进程愈加艰难。故而应结合教材内容、新课程目标、学生学情等各类因素，选择一些基础性、具备一定难度、有代表性、具备多类解题方法的例题，为学生创造更好的解题条件，如此才能激发学生的参与热情、积极性，促使学生在自我探究中掌握数学知识的核心内容[3]。2.变式设计：结合例题具体特征设计多元化变式，如变化形式、变化角度、变化数据、变化解题思路、变化题目条件等，引导学生尝试通过不同的解题方法与技巧破解难题，提升思维能力、解题能力[4]。如在变化题目条件设计时，如在均值不等式学习时，，（当且仅当等于时，取“=”），强调该定理的应用条件是一正、二定、三相等，在一题多变中，除了让学生掌握该模块的理论内容，还进一步深化学生对函数性质的理解与掌握，结合如下例题1展开研究：大于0，取何值时，与1/的和值有最小值，最小值为多少？解析：本题结合均值不等式求解思路可知：在取值1时，可得出与1/的最小值为2。变式1：当属于并满足不等于0的条件时，请问与其分数的和值是否存在最小值，为什么？解析：在变式1中，正负性不确定，未能满足以上提出的“一正”条件，故而对小于0与大于0这两种情况展开分类讨论。在学生求解出答案后，再对例题展开多重变形。变式2：大于5，求解函数二者的和值最小值是多少？解析：分析例题表面结构，并不满足定值存在条件，对其结构加以变形来辅助理解与解题，即：如将5变换成5与（-5）的乘积与25的和值，通过求取二者的和值，结合均值不等式定义即可求出最小值。变式3：重新设置条件，如大于等于3，求取函数最小值，让变式更具实际意义。解析：结合均值不等式理论概念，得出：与1/的和值大于等于2，满足条件等于1时“=”成立，但是等于1不在定义域区间中，故而得出结论：不存在最小值2。将变式设计的权利交给学生，尊重学生在一题多变学习中的主体地位，教授学生一题多变的具体方法、流程、注意事项，鼓励学生结合例题在不改变例题根本性质的前提下，对例题进行反复的变换，尝试结合不同模块的知识与理论对其求解，总结一题多变经验，达成学习目标，培养数学思维[5]。3.解题方式转换：即结合例题的基本形式，创新性地引入多元化解题方式，在解题方式转换进程中，深化学生对模块知识的理解与掌握，如在“集合与常用逻辑用语”学习时，尝试进行解题方式转换，如表1所示：例2：已知集合与集合，两个集合的交集为0，求解实数的取值范围。解析：分析集合元素属性，基于此确定取值区间。例3：重新变换集合与集合的相关条件，求解两者之间存在的关系。解析：利用以上提出方式，分析集合的性质与定义，掌握与的关系。（二）进行“一题多变”训练，拓宽学生解题思路1.针对性设计：结合学生学情、考试需求等，设置相关的训练方式、内容，培养学生数学思维。具体要点如图2所示，进行具体化分析：其一，设置难度不一的训练内容，即在一题多变设计时，既要考虑优等生在新型数学方法、理念等方面的需求，也要兼顾学困生、普通生对概念性、理论性知识的学习需求，尝试设计梯度式难度的训练题，让学生结合自身的实际情况灵活选择[6]。其二，灵活选择一题多变训练模式，如考试模拟训练、实际问题训练、抽象训练等，引导学生从不同方面、角度剖析数学知识内涵，提升解题能力。如在“实际问题训练”中，提出问题：如何判断任意角所处象限？有的学生结合概念加以阐述，有的学生结合例题给出答案，有的学生则是单一性的理论分析，教师在对学生给出的结果加以评价时，应持鼓励态度，赞扬学生通过适宜的方式完成学习任务，鼓励学生就学科知识展开深度探究。其三，注重指导与反馈，即在一题多变训练时，指导学生采取正确、有效的方式求解问题，指出其存在的错误与不足，提升思维能力、解题能力[7]。2.重视解题与应用能力培养：引导学生针对同一问题尝试几何图像、代数式、实际问题方法等求解，掌握数学知识在各类数学场景中的具体应用方式，进行解题与应用能力培养。结合“三角函数”相关例题展开具体化探究。例4：已知正弦函数的一个周期为，在区间0到上保持单调递增趋势，求解：函数的单调周期与在区间0到上单调性。尝试从一题多变角度切入，尝试多元化的解题方式。解析1：引入代数式求解方法，结合正弦函数的双角公式、周期公式，求解的单调周期与单调性。解析2：引入几何图像求解方法，结合正弦函数图像，相对直观地观察周期性与单调性。解析3：采取实际问题求解方式，引导学生结合生活中的实际问题对例题加以求解，如振动、音乐等，通过生活化转换方式，理解函数周期性、单调性的意义与作用。3.出题要素设置：其一，出题角度，从实际问题角度、图像角度、代数式角度等各类角度出发，提升学生对不同解题方法的灵活应用能力。且要求教师能采取不同的例题讲解方式，培养学生多元化思维模式，如在一元二次方程相关知识讲解时，从以下角度切入：几何图像角度，在黑板上画出一元二次方程图像，协助学生理解一元二次方程性质与特质，包括开口方向、对称轴、顶点等，并用于问题求解中[8]。代数式角度，给出方程求根公式、一般公式的各类应用方法，在接触、体验、解题中实现对其的深入了解。实际问题角度，即结合面积问题、抛物线运动等，了解方程在实际生活中的灵活应用方法，提升学生数学素养。其二，丰富出题形式，设计不同的出题方式，如填空题，考查学生对基础概念、理论知识的掌握程度；选择题，考查学生在面临多项答案时的快速分析能力、解题思路等；判断题，考查学生对知识的深度理解能力、问题辨别能力等；综合题，考查学生整体分析能力、知识综合应用能力等。其三，综合性大题，设计包括多个知识点的综合题，考查学生不同知识点的灵活转化能力，围绕三角函数设置题目，如下：例5：已知某座山山顶高度400m，山顶与山脚距离500m，山顶、山脚夹角60°，求解山顶、山脚的直线距离与角度余弦值。解析：该例题不但有三角函数，还涉及三角恒等式、勾股定理等方面的知识，引导学生尝试进行例题或者求解思路转变，得出正确答案，培养学生的知识灵活应用能力，巩固学生数学知识体系。（三）灵活应用“一题多变”方法，优化例题讲解过程高中教材中涉及较多典型例题，基本覆盖其所处章节中的基础知识，对于辅助学生理解与掌握各类基础理论知识有着较大的帮助。但教学时间相对有限，若在其中掺杂较多的例题讲解，可能会影响课程的顺利推进，并激发学生的抵触、逆反心理。基于此，可选择其中的典型例题，改变其中条件，在一题多变中，为学生提供各类灵活习题，锻炼学生数学技能，节省题目阅读、熟悉时间，培养学生深度思维能力，鼓励学生在问题探究中举一反三，提高解题水平。（四）开展“一题多变”深度探究，实现教学内容层层递进围绕具体的教学模块，开展一题多变深度探究，在层层递进中把握教材知识的核心内容，围绕“函数的概念与基本性质”展开具体化分析，奇偶性是该模块的基础知识，在对例题加以变换时，需结合学生认知程度、概念学习需求展开，选择一些基础性的例题，如下：例题6：函数为偶函数，在区间0到上呈递减趋势，判断在区间到0上的单调性，给出证明过程。解析：该题目属于探究类范畴，协助学生总结、阐明其中涉及的数学思想方法，利于学生建构更加完善的函数知识体系，但其仅涉及函数单调性、奇偶性的知识，故而难度较低，可在例题变换中，持续提高难度，开展一题多变深度探究。变式1：在区间到0上单调递减，在区间0到上单调递增，判断函数奇偶性。解析：第一次变式，采取逆向思维，培养学生辩证思维，深化对函数性质的理解与掌握，从具象化的函数图像中总结抽象数学结论。变式2：已知函数为奇函数，其在区间0到上单调递增，判断函数在区间到0上的单调性。解析：第二次变换，改变了例题条件，让学生在掌握单调性、奇偶性相关知识的同时，探究其存在的逻辑关系，让学生的思维经历特殊到一般的过程。变式3：已知函数为偶函数，其在区间－到0上单调递减，判断函数在区间0到上的单调性。解析：与变式2类型大致相同，变式的目的在于让学生在类比中，深化对该类题目规律性认识，掌握解题思路。变式4：已知函数定义域，定义域区间内为偶函数，小于并小于0，试判断、、之间存在的大小关系。解析：考查学生灵活应用函数知识解答实际问题的能力，提升对函数间逻辑关系的正确认知。变式5：在对称区间中，偶函数单调性相同，判断该命题的真假。解析：该类变换属于一般变化式，以命题