黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025届一模数学试题（含部分答案）

高三数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足：，则（）A. B. C. D.3.已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D.4.已知等比数列的前项和为，若公比，，则（）A.49 B.56 C.63 D.1125.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知为函数（，）一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（）A. B. C. D.8.已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组样本数据分别为：31，6，12，19，17，16，11，则该组样本数据的（）A.极差为27 B.上四分位数为19 C.平均数为15.5 D.方差为10.设，分别为双曲线左、右焦点，为上一点，则（）A.焦距为B.当在的右支上，且时，C.当时，点到的两条渐近线距离之和为D.当时，为直角三角形11.如图，四棱台的底面是正方形，，底面.动点满足，则下列判断正确的是（）A.点可能在直线上B.点可能直线上C.若点在底面内，则三棱锥的体积为定值D.若点在棱上，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，常数项为__________.13.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________.14.著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆经过平移和旋转后，能得到以为一个焦点，且过点的椭圆，则椭圆面积的最大值为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知中，角，，所对的边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若为的中点，，，求的面积.16.设函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若为增函数，求的取值范围.17.如图所示，正三角形的边长为2，，，分别是各边的中点，现将，，分别沿，，折起，使得，，所在平面均与底面垂直.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.18.如果随机变量全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称是二维离散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为和.对于每一个题，抢到题并回答正确的得1分，没抢到题的得0分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、乙得分数分别为，，是二维离散型随机变量.把所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二维离散型随机变量的分布列.01230123其中.（1）求，；（2）求；（3）已知随机事件发生了，求随机变量的分布列.19.在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.（1）试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.（2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.

高三数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）