安徽省阜阳市2023-2024学年高二数学下学期期末试题

注意事项：

1.

答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在5

2.

回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的。

黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答题卡上。写在本试卷上无效。

3.

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.

设集合,集合,则

A. B. C. D.

2.

若复数满足,则为

A.2 B. C.5 D.

3.

2024年4月21日,13000多人参赛的2024阜阳马拉松在市规划展示馆旁鸣枪起跑.经过激烈角逐,前八名的成绩(单位:小时)分别为,则这组数据的分位数是

A.2.48 B.2.49 C.2.50 D.2.52

4.

若角满足,则

A.1 B.-1 C.0 D.

5.

抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面的反射后,集中于它的焦点.已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为,则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为

A. B. C. D.

6.

的展开式中的系数为

A.120 B.80 C.60 D.40

7.

图①是底面边长为2的正四棱柱,直线经过其上,下底面中心,将其上底面绕直线顺时针旋转,得图②,若为正三角形,则图②所示几何体外接球的表面积为

A. B.图② C. D.

8.

已知函数.若是的一个极大值点,且,则的零点个数为

A.4 B.3 C.2 D.1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.

已知函数的部分图象如图所示,则下列对性质描述正确有

A. B.图象的对称轴方程为

C. D.的单调递增区间为

10.

已知奇函数和它的导函数的定义域均为,且,则下列结论正确的有

A. B.为偶函数 C. D.

11.

在直四棱柱中,底面是菱形,为

的中点,点满足,下列结论正确的是

A.若,则四面体的体积是定值

B.若的外心为,则为定值2

C.若,则点的轨迹长为

D.若,则存在点,使得的最小值为

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.

已知平面向量均为单位向量,且,则.

13.

已知圆与双曲线的渐近线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为.

14.

在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则___,当时,面积的最大值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

(13分)已知数列的首项,且.

(1)证明:数列是等比数列.

(2)求满足的最大整数.

16.

(15分)已知椭圆的短轴长为2,上顶点为M,O为坐标原点,A,B为椭圆上不同的两点,且当A,O,B三点共线时,直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若的面积为1,求的值.

17.

(15分)如图,在三棱柱中,底面,点到平面的距离为2.

(1)证明:.

(2)若直线与之间的距离为4,求直线与平面所成角的正弦值.

18.

(17分)在平面直角坐标系中,坐标原点处有一个质点,每次向右或者向上移动一个单位,向上移动的概率为,向右移动的概率为次移动后质点的坐标为.

(1)求质点移动到点处的概率:

(2)5次移动后质点的横坐标为,求的期望;

(3)求质点在经过20次移动以后,最有可能的位置坐标.

19.(17分)罗尔(Rolle)中值定理是微分学中的一条重要定理,根据它可以推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理,它们被称为微分学的三大中值定理.罗尔中值定理的描述如下:如果函数满足三个条件①在闭区间上的图象是连续不断的,②在开区间内是可导函数,,那么在内至少存在一点,使得等式成立.

(1)设方程有一个正根,

证明:方程必有一个小于的正根.

(2)设函数是定义在上的连续且可导函数,且.

证明:对于,方程在内至少有两个不同的解.

(3)设函数.

证明:函数在区间内至少存在一个零点.阜阳市高二年级教学质量统测数学参考答案

一、选择题

1.D2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B选择题

9.

BCD10.BCD11.ACD填空题12.[2,十∞)14.任意正实数(若答案为1或其它具体数字不给分)，;四、解答题

15.

(1)证明:由,两边取倒数,得,(3分)

则,因为,所以数列是等比数列.(6分)

(2)解:由(1)得,(8分)

则,(11分)

显然为单调递增数列,则满足条件的最大整数为99.(13分)

16.

解:(1)由题意知椭圆的短轴长为2,即为椭圆的上顶点,所以.

当A,O,B三点共线时,设,则.,所以,则.(5分)

故椭圆的方程为.(6分)

(2)设过A,B两点的直线为,

当直线的斜率不存在时,A,B两点关于轴对称,所以.

因为在椭圆上,所以,又,

所以,即,结合可得,

此时,所以.(8分)

当直线的斜率存在时,设其方程为,

联立消去得,

其中①,

所以,(9分)

所以.(10分)

因为点到直线的距离,(11分)

所以,

所以,整理得,符合①式,

此时,(13分)

所以的值为5.(15分)

17.

(1)证明:底面平面,

,又平面,

平面,又平面,

平面平面.(3分)

过作交于,又平面平面平面,

平面.

点到平面的距离为.(4分)

在Rt中,,

设,则.

均为直角三角形,且,

,解得,(6分)

.(7分)

(2)解:,(8分)

,过作交于,则为的中点.

由直线与之间的距离为4,得,

在Rt中,.(10分)

以为坐标原点,直线为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,,显然为平面的一个法向量,由(14分)

则直线与平面所成角的正弦值为.(15分)

18.

解:(1).(5分)

(2)显然.(10分)

（3）设质点在经过20次移动以后,最有可能的位置坐标为,

则(12分)

即

解得,(15分)

故所求位置坐标为或.(17分)

19.

证明:(1)令函数.

显然在上连续,在内可导,

由条件知,(2分)

由罗尔中值定理知,至少存在一点,使得,(3分)

即方程必有一个小于的正根.(4分)

(2)令,则.

由,得,所以.(6分)

因为,所以,(7分)

由罗尔中值定理知,至少存在一个,使得