河南省TOP二十名校2024-2025学年高三上学期调研考试四（12月）数学试题（解析版）

第1页/共1页2025届高三年级TOP二十名校调研考试四数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若：，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变化．【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定．故.故选：B.2.已知集合，或，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求得答案.【详解】依题意，.故选：A3.已知向量，，若，则（）A.或 B.C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直得到，从而得到方程，求出答案.【详解】，故，解得.故选：D4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复合函数的单调性法则求解即可.【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上恒为正数且单调递增，因此，解得，实数的取值范围是.故选：C.5.已知，，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解.【详解】因为，即，，即，所以.故选：D.6.已知函数是定义在上的图象连续不间断的奇函数，且，若，则的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合分析可知，再结合奇函数的对称性分析求解即可.【详解】因为，可知，又因为为奇函数，且连续不断，则，则，且，可知，由奇函数对称性可知：时，，且，，所以在定义域的值域为.故选：B.7.如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断.【详解】由图知，，，，所以排除A，B；设的图象在处的点为，显然的斜率小于在处的切线斜率，则，且，可转化为，所以的值最小，排除D.故选：C.8.过抛物线：的焦点作互相垂直的两条直线，使得其中的一条与相交于，，另外一条与相交于，，设，分别是线段，的中点，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线的斜率为，联立直线的方程与抛物线方程，求坐标，同理求坐标，表示的面积，再求其最值.【详解】设直线的斜率为，则的斜率为，则直线的方程为，由消去并整理，得.设，，则，所以，同理，所以，因为，所以的面积，当且仅当时，等号成立，故的面积的最小值为4.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，其中i为虚数单位，若，，为纯虚数，为实数，则（）A. B.的虚部为 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的运算求，即可得判断AB；根据复数的相关概念运算求解，即可判断CD.【详解】因为，且，可得，对于A：，故A正确；对于B：的虚部为，故B错误；对于C：因为为纯虚数，可得，即，故C正确；对于D：因为为实数，可得，即，故D正确；故选：ACD.10.函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（）A. B.C.的图象关于轴对称 D.在上的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由图象可得的周期，由周期与的关系求，由，结合求，结合函数图象变换及正弦型函数的对称性判断C，求的范围，结合余弦函数的性质判断函数的单调性，由此求其最小值，判断D.【详解】A：由题意得的周期为，又，所以，故A正确；B：因为，所以，又所以，又，观察图象可得，所以，故B正确；C：由B知，所以，所以的图象不关于轴对称，故C错误；D：由，得，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD11.已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（）A.关于轴、轴均对称B.当点不在轴上时，C.当时，点的纵坐标的最大值大于1D.当，有公共点时，【答案】ACD【解析】【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断.【详解】设，由，得，将代入得到，将将代入得到，所以关于轴、轴均对称，A正确；当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形三个顶点，所以，B错误；当时，，当时，可得：，解得：，此时，即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确；由，得为椭圆，易得方程为，所以，代入，得，所以，因为，所以，解得：或舍去，D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为等差数列的前项和，若，，则______.【答案】16【解析】【分析】由等差数列求和公式列出方程，求得首项、公差即可求解.【详解】由，，可得：，解得：，所以，故答案为：1613.在平面直角坐标系xOy中，若点，，，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，根据线段比值得到的轨迹，再判断点在轨迹内外，从而得到其范围.【详解】设，因，所以，化简，得，即的轨迹是圆，因为点在圆的内部，所以，所以.故答案为：.14.从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可知为直角三角形，进而可知点在平面内的投影为的外心，则必在的延长线上，结合切线性质可得球的半径，进而可得表面积.【详解】由圆的切线长定理得，，因为，，，则，，即，可知，所以为直角三角形，其外心为的中点，又因为，可知点在平面内的投影为的外心，即平面，所以必在的延长线上，且A为切点，则，由射影定理得，且，即，可得，则，所以球的表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据切线性质分析可知为直角三角形，进而可知点在平面内的投影为的外心，进而确定球心的位置，即可运算求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，为AC边的中点，求BD的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）由向量基本定理得到，两边平方，结合，求出，得到.【小问1详解】，由正弦定理得，由于，故，所以，因为，所以，故，，因为B∈0,π，所以【小问2详解】为AC边的中点，故，两边平方得，又，，，所以，故.16.已知函数，其中，.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）当时，若函数在区间上存在极值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求导代入得到斜率，再写出点斜式方程即可；（2）等价转化为在上必存在变号零点，再设新函数求导研究即可.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.【小问2详解】当时，，定义域为，所以，因为在区间上存在极值，所以在上必存在变号零点，令，则在上必存在变号零点，因为，所以，解得，当时，，且在上单调递增，又，故存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故为的极小值点，符合题意，故的取值范围为.17.在平面图形AEBCD（如图1）中，已知，，，，将沿着AB折起到的位置，使得，连接DP，得到四棱锥，如图2所示.（1）求证：；（2）求平面ADP与平面CDP夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定、性质，结合勾股定理的逆定理推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，平面ADP与平面CDP的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【小问1详解】四棱锥中，取的中点，连接，由，，得，则，，又，于是四边形为平行四边形，，，由，得，则，，而，平面，于是平面，又平面，则，又，平面，因此平面，而平面，所以.【小问2详解】在平面内过点作，由（1）知平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，则，所以平面ADP与平面CDP夹角的余弦值是.18.已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，直线的方程为.（1）若与的左、右两支分别相交，求的取值范围；（2）当，2时，对应的曲线分别为，，设直线与的左、右两支依次相交于点，，直线与的左、右两支依次相交于点，，为坐标原点，证明：的面积与的面积相等.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，再利用判别式和韦达定理式即可得到不等式组，解出即可；（2）代入和结合韦达定理得到，即证明面积相等.【小问1详解】因为双曲线的一条渐近线的斜率为，所以，所以，联立消去并整理，得，因为与的左、右两支分别相交，所以，因为，所以，所以，即的取值范围为.【小问2详解】设，当时，由（1）中及韦达定理，得，当时，由（1）中及韦达定理，得，所以与中点的横坐标都为.因为，，，在同一直线上，所以与中点重合，设该中点为，所以，所以，所以，所以的面积与的面积相等.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是利用韦达定理和判别式得到不等式组，解出即可得到范围.19.在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为.（1）在数列中，若，，，，，，，，求；（2）若，满足，①证明：集合非空；②证明：当，时，.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件，结合定义求结论；（2）①先证明若对中的任意正整数，满足，则，再证明若在中存在最小，使得，则，由此证明结论；②先证明，由此证明，再证明，，结合关系证明结论.【小问1详解】因为，，，，，，，，，因为，所以所以，【小问2详解】①证明：由已知得，若对中的任意正整数，满足，则，即，所以；若在中存在，使得为中从左到右出现的第一个正数，则，所以.综上所述，集合非空.②由集合非空，设(不妨设从小到大排列)，显然.由集合的定义知，且是使得成立的