福建省厦门松柏中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析）

2024-2025松柏中学高一数学下学期月考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若向量，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】本题考查向量的坐标运算．解答：选项A、．选项B、选项C、，正确．选项D、因为所以两向量不平行．2.已知向量满足，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.【详解】由，得，两边平方得，而，所以.故选：A3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则A.3 B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理得，再根据余弦定理列方程解得结果.【详解】因为，所以由正弦定理得,因此，选C.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4.已知在矩形中，，线段交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合向量的运算性质，从出发进行计算，进行合理的“插点”，使其能被表示即可.【详解】依题意得，结合图形有：.故选：D5.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将=1两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果.【详解】由已知，因为，所以.所以在方向上的投影向量为.故选：B．6.在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可求，可求的面积.【详解】因为在中，，又为边上一点，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故选:D.7.在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可.【详解】由正弦定理，得，所以，故，所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形．选：D．8.如图所示，半圆直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算得，取数量积运算得到，且，方向相反，设，将所求式子化为，用二次函数求最值即可.【详解】由平行四边形法则得，故，，且，方向相反，设，则．因为，所以当时，取得最小值，最小值为．故选：B．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理可得，由得，结合选项即可求解.【详解】在△ABC中，，，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以b可以为7，8，故选：AB.10.如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.【详解】由题知，点是线段的三等分点，所以，，，对于A：且方向相同，所以，A选项正确；对于B：，所以，B选项错误；对于C：，所以，C选项错误；对于D：且方向相同，所以，D选项正确；故选：AD.11.在中，，周长为10，面积为，则（）A.为钝角三角形 B.C. D.边上的高为【答案】BCD【解析】【分析】根据题设，结合三角形面积公式及余弦定理求出的值，判断各项即可.【详解】设的内角的对边分别为，则，①，即，②再根据余弦定理，得，③由①②③解得，故C正确；，故B正确；设边上的高为，则，得，故D正确；由，得或，可知4为最长边，最长边所对的角最大，设为，，所以，则为锐角，所以为锐角三角形，故A错误．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，，则______．【答案】##0.8【解析】【分析】利用向量的坐标代入题设方程求得的值，再根据向量夹角的坐标公式计算即得.【详解】因，，则，解得，则，故．故答案为：.13.如图，作用于同一点三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的运算法则和向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，所以.故答案为：.14.已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可.【详解】由，根据正弦定理得，，即，所以．又因为，，所以，所以．在中，，①在中，，②因为，所以，①②可得，又因为，所以，即，所以，令，则，即，解得，又因为，所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与夹角.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）由向量的共线定理求解；（2）由向量垂直的坐标公式及数量积应用求解．【小问1详解】∵；∴设，且，；∴；∴；∴，或；【小问2详解】∵与垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴与的夹角.16.已知在中，角所对的边分别为，且.（1）若，求的值；（2）若的面积为3，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，利用正弦定理求a；（2）分别利用面积和余弦定理列方程组，即可求出的值.【详解】解：（1）因为，B为内角，所以，由正弦定理得，即，解得；（2）由的面积得：，得由余弦定理得，得，即，所以即，所以.17.某市发生水灾.国家抗震救灾指挥部紧急从处调飞机去某地运救灾物资到受灾的处.现有以下两个方案供选择:方案一：飞到位于处正东方向上的市调运救灾物资，再飞到处；方案二：飞到位于处正南方向上的市调运救灾物资，再飞到处.已知数据如图所示：,,.问：选择哪种方案，能使得飞行距离最短？（参考数据：）【答案】见解析【解析】【分析】抽象到平面图形中，方案一为求AC+BC的长度，方案二为求AD+BD的长度,然后比较大小，长度小的即为飞行的距离短．【详解】方案一：在中,依题意得,由，且为等腰三角形所以．（利用等腰三角形的性质，几何法求解的长亦可）．方案二：在中,．即，所以．因为．故选择方案一,能使飞行距离最短.【点睛】利用正弦定理、余弦定理解三角形的实际应用的一般思路：实际问题抽象概括后，若已知量和未知量集中在一个三角形中，则直接用正弦定理或余弦定理求解；若涉及两个及以上的三角形，需要先解够条件的三角形，或设未知量，根据条件列出方程（组），解方程求未知量．18.如图，圆的半径为3，其中为圆上两点．（1）若，当为何值时，与垂直？（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可；（2）由重心性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，从而可得最小值．【小问1详解】因为，，所以由余弦定理得，即，所以．若与垂直，则，所以，所以，解得，即时，与垂直；【小问2详解】因为为的重心，所以，又因为，，所以，由于三点共线，所以存在实数使得，所以化简为，所以，所以．显然，，则，当且仅当时，即时，取最值．则的最小值为2．19.在中，角所对边分别为．（1）已知，，．①求；②若的平分线交于点，求线段的长；（2）若是锐角三角形，为（1）中所求，为的垂心，且，求的取值范围；【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用同角三角函数基本关系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案；②根据余弦定理得，再利用三角形面积公式即可得到答案；（2）设，将表示为角的