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文档简介

格林公式及其应用

一、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD

设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;

如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通二、格林公式定理1边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在它的左边.那就是说，对于平面单连通区域，边界曲线的逆时针方向为正向；对于平面复连通区域，边界曲线的外圈，逆时针方向为正向，边界曲线的里圈，顺时针方向为正向。证明(1)yxoabDcdABCE同理可证yxodDcCE证明(2)D两式相加得GDFCEAB证明(3)由(2)知1。分段光滑的闭曲线L是区域D的取正向的边界曲线；2。函数P(x,y)及Q(x,y)在D的每一点上都具有一阶连续偏导数。格林公式不要求区域D是单连通的。注意格林公式的条件：如果闭曲线L是区域D的取反向的边界曲线，则有：

注意：如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算。三、格林公式的简单应用1.在闭曲线上的对坐标的曲线积分和二重积分可以相互转化，从而可在两者中选择较简便的方法进行计算。2.可用曲线积分计算平面区域的面积解xyoLyxoxyo

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题思考题解答由两部分组成外边界：内边界：计算曲线积分其中L为园周L的方向为逆时针方向解：作辅助园：其边界曲线取为顺时针方向，记为L1，则第三节

格林公式及其应用（2）Gyxo一、平面曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有二、平面曲线积分与路径无关的条件定理2在此条件下，如果在G内有平面的曲线积分与路径无关，有两个基本前提必须满足：那么，曲线积分与路径无关三、二元函数的全微分求积定理3要满足什么条件，在G内才是某一函数的全微分？

在此条件下，如果在G内有那么，是某一函数的全微分，由此可见，它与平面曲线积分与路径无关应满足的是条件完全一致的。du=即存在函数u(x,y)，使可以证明由公式确定的函数,就满足du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy证：同理，(只需证明)具体计算xyo可采用如右图的路径：

这里起点可任意取，但必须在单连通的开区域G内。

为计算方便起见，如G为全平面，可取=(0,0);如G为右半平面，可取=（1，0）如G为上半平面，可取=（0，1）

如果平面曲线积分与

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