高中物理竞赛-万有引力和天体运动

万有引力定律与天体运动第1页两体问题仅有两个质点组成孤立系统，两个质点质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2矢径为.对m2，由牛顿第二定律有将（1）代入（2）：则有（3）式表明，若取m1为参考系（普通不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参考系中m2运动完全相同于质量为μ质点在中心力作用下按牛顿第二定律所形成运动，而无须考虑惯性力作用.取二者质心C为参考系（惯性系）.设C到m1矢径为.有第2页“卫星怪象”问题

卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统总能量为即于是可知对两端改变量有即第3页一、对宇宙中复杂天体受力运动简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体所受其它诸天体引力中仅有一个是主要：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体因为一些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时问题很简单（我们通常讨论就是这种情况）.二、引力问题基本动力学方程如图，行星m在太阳M有心引力作用下运动.行星横向加速度等于零.有径向动力学方程解题知识与方法研究在太阳惯性参考系中，由牛顿运动定律和引力定律第4页此式改变后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律是角动量守恒定律特殊表现.开普勒第二定律不但适合用于行星椭圆运动也将适合用于有心引力作用下任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统机械能守恒当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒第5页三、天体绕日运动轨道与能量依据万有引力定律和其它牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图极坐标下绕日运动天体轨道方程：轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）（即开普勒第一定律）；总能量为：（2）总能量为：第6页（3）总能量为：第7页

例1（天体轨道判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈相互作用而快速合并成一个新星体.其间质量损失可忽略.试证实新星体绕太阳运动轨道为椭圆.解计算新星体C机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳距离为在切向：A、B合并过程中动量也守恒，②则有研究②式中vA、vB：因A作圆运动，例题解答①第8页所以利用①③，C星体机械能为所以，新星体C轨道为椭圆.EA<0，EB=0，EA+EB=？EC与(EA+EB)谁大谁小？C轨道是什么？

将vA、vB代入②得③B作抛物线运动，机械能为零.因而有①思索

本题能不能直接判断？第9页

例2（利用引力作用下质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处曲率半径.解行星运动情况如图.由顶点1、2、3处机械能守恒和面积速度相等可得由图可知代入②式得③由①③解得据①②第10页求顶点1处曲率半径ρ1：将前面得到v1代入，求顶点3处曲率半径ρ3：将前面得到v3代入，

题后小结与思索椭圆上其它点曲率半径能不能用此方法得到？求抛物线任意点曲率半径、正弦曲线顶点曲率半径.即得即得第11页

例3（卫星怪象问题）

质量为m人造卫星在绕地球（质量为Me）飞行过程中，因为受到微弱摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是迟缓地沿一螺旋形轨道靠近地球.因f很小，轨道半径改变十分迟缓，每一周均可近似处理为半径为r圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r改变量及卫星动能EK改变量.解卫星动能、势能、总机械能为在运行中万有引力作为向心力将此代入EK、E表示式，可得到卫星旋转一周摩擦力做功为第12页所以卫星每旋转一周，r改变量为动能改变量为由功效关系，当卫星旋转一周时，有即第13页

例4（星体运动阻力）一个质量为M、半径为R星球以速度V经过质量密度为非常稀薄气体,因为它引力场，此星球将吸引迎面靠近它粒子，并俘获撞在它表面上全部气体分子.设相对于速度V，分子热运动速度可忽略.分子间相互作用不计.求作用在星体上阻力.解为方便研究问题取星球为参考系.气体分子运动及与星球碰撞如图所表示.在横截面为圆柱体内分子才能与星球相碰.研究圆截面边缘上一个分子：设被俘获前瞬间（A点处）速度为v.由角动量守恒得由机械能守恒得第14页设气体受到阻力为f（等于星球所受阻力），使气体动量改变为由动量定理知星球在Δt时间内得到第15页

例5（飞船着陆问题）一质量为m=12×103kg太空飞船在围绕月球圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出热气流相对飞船速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不一样方式抵达月球（如图所表示）：（1）向前喷射气流，使飞船抵达月球后面A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要燃料量.解喷气后，飞船轨道由圆变成了椭圆一部分（如图）.设飞船喷气前速度v0，月球质量为M，月球表面重力加速度为代入上式，便得（1）（2）则有求出喷气前、后飞船速度问题即可处理！第16页（1）设飞船在P点向前方喷气后速度减为v1.抵达A处速度为vA.联立此两式消去vA解得对喷气前后短暂过程，由动量守恒有解得（2）因沿圆半径向外喷气使飞船在向心方向获速度vr，从而飞船速度变为一样有角动量和能量守恒方程（1）（2）则由角动量守恒和能量守恒得设喷出气体质量为Δm1,第17页联立此两式消去vB解得对喷气前后短暂过程，在沿原半径方向上由动量守恒有解得显然，所以选择第一个方式登月较省燃料.

题后思索仔细研究怎样计算喷出气体相对月球速度！（1）（2）设喷出气体质量为Δm2,第18页

例6质量为M宇航站和已对接上质量为m飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心距离为8nR.问飞船与宇航站质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后恰好与宇航站相遇.解发射前后飞船、宇航站运动情况如图.记地球质量为ME，发射前共同速度为u.由得记分离后瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.由动量守恒有所求比值为①深入研究分离后飞船和宇航站运动，求v、V：第19页研究分离后飞船：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出②研究分离后宇航站：由开普勒第二定律及能量守恒定律有由此两式解出③设远地心点速度为v′，设近地心点速度为V′，距地心r.第20页研究分离后相遇以求得r：设飞船周期为t，宇航站周期为T.由开普勒第三定律有即确定t/T：因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以代入上式，得④故应宇航站不能与地球相碰（只要近地点不碰，其它点便不会相碰）.将④代入，得第21页即所以由上述①②③④式求m/M：得可见k只能取两个值：k=10，11.对应有

题后思索最终结果为何与u无关？若分离后v、V反向，结果又怎样？④③②①第22页

例7一双星系统，两颗星质量分别为M和m（设M>m），距离为d，在引力作用下绕不动质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M星体损失质量ΔM.假设爆炸是瞬时、球对称，而且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下新双星系统仍被约束而不相互远离.解需计算爆炸后总机械能.如图，爆炸前两星绕质心旋转.旋转角速度满足爆炸后瞬间，因球对称爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不变.无作用，故m位置、速度也不变.因爆炸对星体m也旋转半径满足第23页新系统