高三数学复习第一篇专题突破专题一集合常用逻辑用语平面向量复数不等式算法推理与证明计数原理第4讲算法推

第4讲算法、推理与证实、计数原理1/36考情分析2/36总纲目录考点一

程序框图（渗透数学文化）考点二合情推理考点三排列与组合考点四二项式定理（高频考点）3/36考点一

程序框图(渗透数学文化)两种循环结构特点直到型循环结构:在执行了一次循环体后,对条件进行判断,假如条件不

满足,就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环.当型循环结构:在每次执行循环体前,对条件进行判断,当条件满足时,执

行循环体,不然终止循环.4/36经典例题(1)(课标全国Ⅰ,8,5分)下面程序框图是为了求出满足3n-2n>10

00最小偶数n,那么在

和

两个空白框中,能够分别填入(

)

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1

D.A≤1000和n=n+25/36(2)(课标全国Ⅱ)下边程序框图算法思绪源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a,b分别

为14,18,则输出a=

()

A.0

B.2

C.4

D.146/36解析(1)本题求解是满足3n-2n>1000最小偶数n,可判断出循环结

构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,

所以判断语句应为A≤1000,另外,所求为满足不等式偶数解,所以

中语句应为n=n+2,故选D.(2)开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4;第二次循环:a=10,b=4;第三次循环:a=6,b=4;第四次循环:a=2,b=4;第五次循环:a=2,b=2.此时,a=b,退出循环,输出a=2.答案(1)D(2)B7/36方法归纳1.解答程序框图(流程图)问题方法(1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图三种基本结构,尤其是

循环结构,在累加求和、累乘求积、屡次输入等有规律科学计算中,

都有循环结构.(2)准确把握控制循环变量,变量初值和循环条件,搞清在哪一步结

束循环;搞清循环体和输入条件、输出结果.(3)对于循环次数比较少可逐步写出,对于循环次数较多可先依次

列出前几次循环结果,找出规律.2.程序框图与古代数学名著《九章算术》结合命题是高考热点,本例

(2)程序框图算法思绪源于《九章算术》中计算两个正整数最大

条约数“更相减损术”.8/36跟踪集训1.(课标全国Ⅲ,7,5分)执行下面程序框图,为使输出S值小于91,

则输入正整数N最小值为

()A.5

B.4

C.3

D.2答案

D要求是最小值,观察选项,发觉选项中最小为2,不妨将2

代入检验.当输入N为2时,第一次循环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t

=3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.9/362.(太原模拟试题)执行如图程序框图,已知输出s∈[0,4].若输入

t∈[0,m],则实数m最大值为

()

A.1

B.2

C.3

D.410/36答案

D由程序框图得s=

图象如图所表示.由图象得,若输入t∈[0,m],输出s∈[0,4],则m最大值为4,故选D.

11/363.(云南第一次统一检测)公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆

内接正多边形面积去迫近圆面积求圆周率π.他从圆内接正六边形

算起,令边数一倍一倍地增加,即12,24,48,…,192,…,逐一算出正六边形,

正十二边形,正二十四边形,…,正一百九十二边形…面积,这些数值逐

步地迫近圆面积,刘徽一直计算到正一百九十二边形,得到了圆周率π

准确到小数点后两位近似值3.14.刘徽称这个方法为“割圆术”,而且

把“割圆术”特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不

可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法可贵之处于于用已

知、可求来迫近未知、要求,用有限来迫近无限.这种思想极

其主要,对后世产生了巨大影响.如图是利用刘徽“割圆术”思想设

计一个程序框图.若运行该程序,则输出n值为

()12/36(参考数据:

≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)

A.48

B.36

C.30

D.24答案

D第一次循环:S=

<3.10,n=12;第二次循环:S=3<3.10,n=24;第三次循环:S=12sin15°≈12×0.2588=3.1056>3.10,退出循环,输出n=

24.故选D.13/36考点二

合情推理两种合情推理思维过程(1)归纳推理思维过程:试验、观察→概括、推广→猜测普通结论(2)类比推理思维过程:试验、观察→联想、类推→猜测新结论14/36经典例题(新疆第二次适应性检测)当x≠1且x≠0时,数列{nxn-1}前n项和Sn=

1+2x+3x2+…+nxn-1(n∈N*)能够用数列求和“错位相减法”求得,也可

以由x+x2+x3+…+xn(n∈N*)按等比数列求和公式,先求得x+x2+x3+…+xn

=

,两边都是关于x函数,两边同时求导,得(x+x2+x3+…+xn)'=

',从而得到Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=

,按照一样方法,请从二项展开式(1+x)n=1+

x+

x2+…+

xn出发,能够求得Sn=1×2×

+2×3×

+3×4×

+…+n(n+1)×

(n≥4)值为

.(请填写最简结果)15/36解析依题意,对(1+x)n=1+

x+

x2+

x3+…+

xn两边同时求导,得n(1+x)n-1=

+2

x+3

x2+…+n

xn-1,①取x=1,得

+2

+3

+…+n

=n·2n-1,②②×2得,2

+2×2

+2×3

+…+2n

=n·2n,③再对①式两边同时求导,得n(n-1)(1+x)n-2=1×2

+2×3

x+…+n(n-1)

xn-2,取x=1,得1×2

+2×3

+…+n(n-1)

=n(n-1)·2n-2,④③+④得1×2

+2×3

+3×4

+…+n(n+1)

=n·2n+n(n-1)·2n-2=n(n+3)·2n-2.答案

n(n+3)·2n-2

16/36方法归纳合情推理解题思绪(1)在进行归纳推理时,要先把已知部分个体适当变形,找出它们之间联络,从而归纳出普通结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质推理过程,然后经过

类比,推导出类比对象性质.(3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.17/36跟踪集训观察以下等式;1-

=

,1-

+

-

=

+

,1-

+

-

+

-

=

+

+

,……据此规律,第n个等式可为

.18/36解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子

为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-

+

-

+…+

-

;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,…,2n,分子为1,即为

+

+…+

,所以第n个等式可为1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.答案1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

19/36考点三

排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不一样元素中取m(m≤n)个元素,元素无重复不一样点①排列与次序相关;②两个排列相同,当且仅当这两个排列元素及其排列次序完全相同①组合与次序无关;②两个组合相同,当且仅当这两个组合元素完全相同20/36经典例题(1)(课标全国Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人最少

完成1项,每项工作由1人完成,则不一样安排方式共有

()A.12种

B.18种

C.24种

D.36种(2)(天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多

有一个数字是偶数四位数,这么四位数一共有

个.(用数字

作答)21/36答案(1)D(2)1080解析

(1)第一步:将4项工作分成3组,共有

种分法.第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有

种分配方法,故共有

·

=36种安排方式,故选D.(2)有一个数字是偶数四位数有

=960个;没有偶数四位数有

=120个.故这么四位数一共有960+120=1080个.22/36方法归纳求解排列、组合问题思绪:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;

分类相加,分步相乘.解排列、组合应用题,通常有以下路径:(1)以元素为主体,即先满足特殊元素要求,再考虑其它元素.(2)以位置为主体,即先满足特殊位置要求,再考虑其它位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求排列

或组合数.23/36跟踪集训1.(郑州第二次质量预测)将数“124467”重新排列后得到不一样

偶数个数为

()A.72

B.120

C.192

D.240答案

D将数“124467”重新排列后为偶数,则末位数字应为偶数.

(1)若末位数字为2,因为含有2个4,所以有

=60种情况;(2)若末位数字为6,同理有

=60种情况;(3)若末位数字为4,因为有两个相同数字4,所以共有5×4×3×2×1=120种情况.综上,共有60+60+120

=240种情况.24/362.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名组员同时抢4个红包,每人最多

抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额

相同视为相同红包),则甲、乙两人都抢到红包情况有

()A.35种

B.24种

C.18种

D.9种答案

C若甲、乙抢是一个2元和一个3元红包,剩下2个红包,被

剩下3名组员中2名抢走,有

=12种情况;若甲、乙抢是两个2元或两个3元红包,剩下两个红包,被剩下3名组员中2名抢走,有

=6种情况.依据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包情况共有12+6=18(种).25/36考点四

二项式定理(高频考点)命题点1.利用通项求展开式特定项.2.利用通项求展开式中项系数.3.由已知条件求参数值.1.通项与二项式系数Tk+1=

an-kbk(k=0,1,2,…,n),其中

叫做二项式系数.【注意】

Tk+1是展开式中第k+1项,而不是第k项.2.各二项式系数之和(1)

+

+

+…+

=2n.(2)

+

+…=

+

+…=2n-1.26/36经典例题(1)(课标全国Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展开式中x2系数为

()A.15

B.20

C.30

D.35(2)(浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则

a4=

,a5=

.答案(1)C(2)16;4解析(1)对于

(1+x)6,若要得到x2项,能够在

中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2项,则系数为

;当在

中选取

时,(1+x)6中要选取含x4项,即系数为

,所以,展开式中x2项系数为

+

=30,故选C.(2)设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,则a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.27/36方法归纳1.在应用通项Tk+1=

an-kbk时,要注意以下几点:(1)它表示二项展开式任意项,只要n与k确定,该项就随之确定;(2)Tk+1是展开式中第k+1项,而不是第k项;(3)公式中a,b指数和为n且a,b不能随便颠倒位置;(4)对二项式(a-b)n展开式通项要尤其注意符号问题.2.在二项式定理应用中,“赋值法”是处理系数问题惯用方法.28/36跟踪集训1.(郑州第一次质量预测)设a=

sinxdx,则

展开式中常数项是

()A.-160

B.160

C.-20

D.20答案

A依题意得,a=-cosx

=-(cosπ-cos0)=2,

=

展开式通项Tr+1=

·(2

)6-r·

=

·26-r·(-1)r·x3-r.令3-r=0,得r=3.所以

展开式中常数项为

×23×(-1)3=-160,故选A.29/362.(合肥第一次教学质量检测)已知(ax+b)6展开式中含x4项系数

与含x5项系数分别为135与-18,则(ax+b)6展开式中全部项系数之和

为

()A.-1

B.1

C.32

D.64答案

D由二项展开式通项公式可知含x4项系数为

a4b2,含x5项系数为

a5b,则由题意可得

解得a+b=±2,故(ax+b)6展开式中全部项系数之和为(a+b)6=64,故选D.30/363.(郑州第二次质量预测)已知幂函数y=xa图象过点(3,9),则

展开式中x系数为

.答案112解析因为3a=9,所以a=2,所以

展开式通项Tk+1=

(-

)k=

(-1)k28-k

,令

k-8=1,得k=6,所以

展开式中x系数为

(-1)628-6=112.31/361.(郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有

5条对角线,依次类推,凸十三边形对角线条数为()A.42

B.65

C.143

D.169随堂检测答案

B依据题设条件能够经过列表归纳分析得到:所以凸n边形有2+3+4+…+(n-2)=

条对角线,所以凸十三边形对角线条数为

=65,故选B.凸多边形四五六七八对角线条数22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+632/362.(郑州第二次质量预测)要计算1+

+

+…+

结果,下面程序框图中判断框内能够填

()

A.n<2017

B.n≤2017C.n>2017

D.n≥2017答案

B题中所给程序框图中循环结构为当型循环,累加变量初

始值为0,计数变量初始值为1,要计算S=0+1+

+

+…+

值,共需要计算2017次,故选B.33/363.(沈阳教学质量检测(一))中国古代数学著作《孙子算经》中有这

样一道算术题:“今有物