现代控制理论线性定常连续系统状态方程的解省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

自动控制原理Ⅱ

第二章线性定常连续系统状态方程解第1页线性定常连续系统状态方程解准备知识A1准备知识A2一.线性定常连续系统齐次方程解(零输入响应)二.状态转移矩阵三.线性定常系统非齐次方程解第2页准备知识A1

1.利用状态和状态方程来定义系统线性性质.用符号表示状态和输入激励出输出和状态,并称其为输入-状态-输出对.第3页定义:一个系统,当且仅当对于任何两个允许对

和任何实数和所组成输入---状态---输出对.第4页

也是允许,则称该系统是线性,不然该系统是非线性.简而言之,满足迭加原理系统为线性系统.第5页2.对定义讨论

(1)若设并有则假如是线性系统话,按定义,则.第6页从而,假如系统是线性系统话,则必有当时系统响应亦为零—这也是线性系统一个必要条件.第7页(2)式(1)中,若称式(1)关系为可加性。若则称式(1)关系为齐次性。第8页(3)式(1)中,若设,及假定则或第9页所以系统响应对是由两个状态-输入对所激励称由激励响应为零输入响应,只是由产生。称由激励响应为零状态响应,只是由产生。第10页这么对于线性系统来讲,能够独立地考虑其零输入响应和零状态响应,而系统全部响应,则是它们和.依据线性系统性质:若第11页则传函法描述是零状态响应第12页

3.对于线性定常连续系统动态方程来讲零输入响应为:--------齐次方程零状态响应为:--------非齐次方程.第13页线性系统响应能够分解为.第14页定义:[零输入响应]:

线性系统零输入响应定义为只有初始状态作用即,而无输入作用即时系统响应.第15页注意:

数学上,零输入响应就是无输入自治状态方程(齐次方程)状态解.物理上,零输入响应代表系统状态自由运动，特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输入影响.第16页定义:[零状态响应]:

线性系统零状态响应定义为只有输入作用,即而无初始状态作用,即时,系统响应.第17页注意:数学上,零状态响应即为零初始状态下强迫方程状态解.物理上,零状态响应代表系统状态由输入u所激励强迫运动第18页准备知识A2不加证实地给出以下定理和定义.

(1)定理1.全体解集合,形成在实数域上n维向量空间.(2)定义1.矩阵函数中,当且仅当n个列分别是n个线性无关解时,称为基本矩阵,即,且非奇.第19页

(3)定理2.每一个基本矩阵,对(-∞,∞)中全部t而言,是非奇.(4)定义2.设是任一基本矩阵,对全部(-∞,∞)中称是状态转移矩阵.第20页一.线性定常连续系统齐次方程解(零输入响应)1.讨论

显然是矩阵微分方程,在解该方程之前先观察纯量微分方程解,其中第21页在解时,先假定解代入方程得到第22页假如所求解是方程真实解，那么上述方程对任意t都成立，所以使t幂次项各系数相等就可得到:第23页显然,从而方程解可写为其中指数函数第24页仿上述纯量微分方程解法,对于矩阵微分方程其中,则称是按矩阵A定义矩阵指数函数,并可证实,若A是n

n

方阵时，则有：并对于有限时间是绝对收敛.第25页结论：[零输入响应]线性定常连续系统零输入响应,即系统齐次方程解,并含有以下形式:第26页推论:(1).零输入响应运动特征.

对于线性定常连续系统,其零输入响应是由其齐次方程解属性决定，状态空间中x(t)随时间演化轨道(几何表征)，属于由偏离系统平衡状态初始状态引发自由运动.第27页一个经典例子是:人造卫星在末级火箭脱落后运行轨道,以脱落时刻运行状态为初始状态自由运动即零输入响应.第28页

(2).零输入响应形态.

对线性定常连续系统,零输入响应即自由运动轨迹形态,当且仅当由系统矩阵指数函数唯一地决定.不一样系统矩阵A,造成不一样形态零输入响应,即自由运动轨道.表明即A系统矩阵,包含了零输入响应即自由运动形态全部信息.第29页(3).零输入响应趋向平衡状态x=0属性.对于线性定常连续系统,零输入响应,即自由运动轨迹最终趋向系统平衡状态x=0条件是:当且仅当矩阵指数函数最终趋向零,即称上述属性为系统渐近稳定.该式也是线性定常连续系统渐近稳定充分条件.第30页(4).零输入响应计算.依据解,则零输入响应计算关键是计算矩阵指数函数。第31页

(5).零输入响应表示式更普通形式.

对线性定常连续系统,通常习惯地取初始时间。因为线性时不变系统分析只与相对时间相关,这种处理也不失普通性.但若因某种需要,将初始时间取为，此时,零输入响应更有普通形式：第32页

(6).零输入响应几何表征.对线性定常连续系统,齐次方程解表示式表明:在时刻状态点,几何上对应于状态空间中由初始状态点,经线性变换导出一个变换点.基于此,可推知,零输入响应随时间t演化过程,几何上即为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点组成一条轨迹.第33页

2.解性质(矩阵指数函数性质)矩阵指数函数在线性系统分析中含有主要意义,为此可基于定义,给出性质.第34页性质：

第35页第36页3．齐次方程拉普拉斯解法.一样先考虑纯量微分方程将方程两端作拉氏变换则第37页将这种方法推广到矩阵微分方程解对两边取拉氏变换，则有

或即第38页从而因为所以第39页从而普通形式显著地指出了一个算法.第40页二．状态转移矩阵1.概念推论1.对线性定常系统是一个基本矩阵。第41页证实：设,若是一个基本矩阵,则有,将代入，并利用微分性质得到,且非奇异。故是线性定常连续系统一个基本矩阵。第42页

推论2.对线性定常连续系统状态转移矩阵可由基本矩阵表出第43页

推论3.状态转移矩阵唯一性对线性定常连续系统状态转移矩阵是唯一，且在按定义确定时，与所选择无关。第44页推论4.状态转移矩阵形式。对情形下，对情形下，推论5.零输入响应形式。第45页依据零输入响应几何表征，显然是将初始状态从转移到t时刻x(t)。而则是x(0)到x(t)转移.故称是状态转移矩阵.第46页2.状态转移矩阵性质.第47页第48页3.状态转移矩阵算法

(1)按定义计算(2)假如A是对角阵,则第49页

(3)若A特征值互异,即互异,则可经过变换,使,从而,而其中从而(4)第50页三．线性定常系统非齐次方程解

1.零状态响应考虑连续线性定常系统，令系统初始状态对应状态方程第51页结论[零状态响应]：连续线性定常系统零状态响应,即上述方程解含有以下表示式：当时第52页讨论：（1）数学特征即易证：称矩阵指数函数和输入作用函数影响在时序上是对偶，这种对偶在数学上称为卷积分。第53页（2）几何特征若令则零状态响应显然是t时刻输入作用等价状态，从而零状态响应是（等价状态）以为变换阵导出变换点，在几何上代表状态空间中各个时刻t输入作用等价状态变换点组成一条轨道。第54页（3）零状态响应运动属性

是随时间t演化轨迹，在属性上属于输入驱动下强迫运动。输入是造成零状态响应唯一激励。第55页（4）零状态响应对任意状态点可达属性对零状态响应，假如对任意指定状态空间状态点都存在一个输入和有限时间，使成立，那么称含有能达性，显然能达性