重庆市万州区2023～2024学年高一数学下学期入学考试试卷含答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出补集，进而求出交集.【详解】由题意可得或，则.故选：A2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.【详解】命题“，”的否定是“，”．故选：B3.（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可求出答案．【详解】．故选：B．4.函数在上存在零点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，即可求得.【详解】当时，，不存在零点；当时，是一次函数，必然单调，故只需即可，，解得：.故选：D.【点睛】考查零点存在性定理的应用，属基础题.5.“”是“函数在区间上单调递增”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知，且，设，则函数开口向上且对称轴为，所以在上单调递增，为增函数，所以．要使在上单调递增，则，即，所以，要使对恒成立，分离参数可得，，因为，当且仅当时取等号，但，所以所以．综上，．所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．6.已知函数，将函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出右平移个单位后的解析式，对比列出式子即可判断.【详解】依题意，，，当时，.故选：B.【点睛】本题考查三角函数题图象的平移，属于基础题.7.设函数，则f(x)（）A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减C.是偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.8.已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作函数的大致图像（实线），平移直线，数形结合得出实数k的取值范围.【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点．故选：D二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意求出角三角函数值，然后利用诱导公式、三角恒等变换分析即可.【详解】设，则，所以有，，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确．故选：BD.10.已知正数，满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】对于A：，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B：，，，，当且仅当时等号成立，，即，故的最大值为，故B正确；对于C：，，，即，，，当时，的最小值为，故C错误；对于D：，，，即

，，，当时，的最大值为，故D正确．故选：ABD．11.已知函数的最小正周期为，则（）A.的图像关于直线对称 B.在上单调递增C.在内有4个零点 D.在上的值域为【答案】AD【解析】【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题.【详解】，因为的最小正周期为，所以，得到.对于A，令，得函数对称轴方程，当时，，A选项正确；对于B，令，得函数单调递增区间为，所以在上单调递增，又，故B选项错误；对于C，令，得，得，若，则x可取，，，即此时函数有3个零点，C选项错误；对于D，由，得，，所以，D选项正确．故选：AD12.定义在上的函数，对任意的，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.关于直线对称B.在上单调递增C.D.若，则的解集为【答案】ACD【解析】【分析】先根据定义判断函数单调性再结合对称性得出单调性判断A,B,C选项，结合函数值及不等式解法判断D选项.【详解】解：因为对任意的，都有，所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数关于直线对称，所以函数关于直线对称，A正确；根据函数在上单调递增，且关于直线对称，可得函数在上单调递减，B错误；因为函数在上单调递减，所以，且，所以，C正确；由可得，，则结合函数的单调性和对称性可得，时，，时，，时，，所以由，可得或，解得或，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，若，则实数______．【答案】【解析】【分析】根据题意求出为奇函数且单调递增，从而可求得，从而可求得.【详解】因为，定义域为，所以，即为奇函数，因为在上单调递增，若，则，所以，即．故答案为：.14.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解．【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以，当且仅当时取得等号；故答案为：4【点睛】求得指数函数过定点是解决该题的关键．基本不等式最值注意“1”的妙用.15.已知函数（，）的图象与轴的交点为，且在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据结合求得，然后求出在坐标原点两侧最接近0的两个零点，根据题意列不等式求解即可.【详解】由题意知，则.因为，所以，所以.令，得，令，得，所以在坐标原点两侧最接近0的两个零点分别为和，由题意且，解得，即的取值范围是.故答案为：16.已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为______．【答案】【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式，再验证数值即可得解.【详解】由图可知，即，所以；将点代入，有，所以，，即，，由于同一个图象对应的解析式通过转化为相同，不妨取，则，所以，因为，；所以由可得或；因为，所以结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】方法点睛：已知的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.求值：已知.（1）化简；（2）若是第二象限角，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式即可．（2）然后正弦函数值，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【小问1详解】【小问2详解】，,，是第二象限角，．所以

.18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角基本关系式可求；（2）先由同角基本关系式求出，再由，可解.【小问1详解】因为，所以，又，则，【小问2详解】由，，所以，则，所以，因为，所以.19.已知函数，，满足，.（1）求的解析式；（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得，根据题意结合正弦函数最值分析求解；（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.【小问1详解】，由题意可知：在处取到最大值，则，解得，又因为，故只有时成立，得，所以；【小问2详解】将的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，得到的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度，得的图象.令，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故，所以，当时，，当时，，故在上的值域为.20.如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数在的图象，且图象的最高点为）；赛道的中间部分为长度是的水平跑道；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.（1）求，和的值；（2）若要在圆弧赛道所对应扇形区域内建一个矩形草坪，如图所示，记，求矩形草坪面积的最大值及此时的值.【答案】（1），,；（2）当时，.【解析】【分析】（1）根据三角形函数的图像性质求值；（2）由题意，表示出，，，从而得到矩形草坪面积的表达式，由三角恒等变形求最值.【小问1详解】由题意可得，则，故，将点代入，得，所以，又，所以，从而可得曲线段的解析式为，令，可得，所以，所以，则，.【小问2详解】由(1)，可知，又易知当矩形草坪的面积最大时，点在弧上，故，由,则，，，所以矩形草坪的面积为.又，所以,故当，即时，，矩形草坪面积取得最大值．21.已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，．（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围．【答案】（1）最大值和最小值分别为6和（2）【解析】【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间上的最大值和最小值；（2）利用（1）中的结论，不等式等价于，在区间上无解，即在区间上恒成立，利用二次函数性质求解.【小问1详解】由题可知函数的定义域为，令，得，解得，令，得，所以，所以为奇函数．．任取，且，则，因为当时，，所以，即．因为为奇函数，所以，则，即，所以在上单调递增．所以在上的最大值为，最小值为．因为，令，得．因为为奇函数，所以．所以在上的最大值为6，最小值为．【小问2详解】由（1）知为奇函数，所以．由得，即，又在上单调递增，所以，即．因为不存在，使得，所以，．因为抛物线开口向上，所以，解得，所以a的取值范围是．22.已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；（2）若满足性质，且定义域为．已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．【答案】22.不满足，理由见解析23.，没有正整数解，理由见解析；在上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据性质列式计算验证即可；（2）通过可求得函数的