山东省临沂市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

第页，共页2023级普通高中学科素养水平监测试卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平方关系以及二倍角的正弦公式即可求得结果.【详解】将两边平方可得，即，可得.故选：C2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用诱导公式以及两角和的余弦公式即可求解．【详解】，故选：D3.若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法以及除法运算法则计算可得结论.【详解】根据可得，所以，所以的虚部是.故选：C4.向量，则（）A.19 B.18 C.17 D.16【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果.【详解】由可得；所以.故选：A5.的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，再由余弦定理即可求得.【详解】由可得，即可得，所以，因此，又，所以.故选：A6.已知中，，点O为的内心，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论.【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形；以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：可得，因此不妨设的内切圆半径为，易知，解得；即可得；所以；设，可得，解得；所以.故选：B7.某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（）A.50米 B.100米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】设灯塔顶端高于海面的距离为米，利用锐角三角函数的定义算出米，米，然后在中利用余弦定理建立关于的等式，解之即可得到本题的答案．【详解】根据题意作出示意图，如图所示，设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，，所以米，米，在中，，，由余弦定理得，即，整理，解得不符合题意，舍去）．综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米．故选：．8.已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（）A.7 B.9 C.11 D.13【答案】C【解析】【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得的表达式，即可求得其取值.【详解】根据图象关于直线对称可得，解得;又关于点对称可得，解得；经检验当时，符合题意.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的迭项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则可得，且，可得BC正确；代入计算可知A错误，D错误.【详解】对于A，由可得，可得，可知A错误；对于B，易知，因此，即可得B正确；对于C，，因此可得，即C正确；对于D，，即可得D错误.故选：BC10.在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（）A.若，则为直角三角形B.若，则C.若，则为锐角三角形D.若，则为直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】中，由正弦定理可得，再由角的范围，可得的值，进而判断出三角形的形状，判断出的真假；中，由余弦函数性质可得，大小关系，由正弦定理可得，的大小关系，判断出的真假；中，由题意只能判断出角为锐角，但不能判断出角，是否为锐角，判断出的真假；中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得，再由角的范围，可得角为直角，进而可得三角形的形状，判断出的真假．【详解】中，因为，由正弦定理可得，即，在三角形中，，所以，因为，所以，即为直角三角形，所以正确；中，三角形中，，则，由大边对大角，可得，再由正弦定理可得，所以正确；中，若，只能得出角为锐角，不能说明角，角为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以不正确；中，因为，即，可得，由正弦定理可得，所以，又因为，所以，而，所以，即为直角三角形，所以正确．故选：．11.已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（）A.的解析式为B.的图象关于直线对称C.在区间上是减函数D.将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象【答案】AC【解析】【分析】根据函数的部分图象，求出，得值，写出函数的解析式，由正弦函数的性质逐一分析即可.【详解】根据函数的部分图象知，，且，所以；又，，解得，，故正确；时，，不是最值，故错误；时，，单调递减，故正确；将的图象向左平移个单位长度，得得图象，故错误；故选：.12.已知函数，则（）A.的周期是B.的值域是C.若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是D.若方程在区间上有3个不同实根，则的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】用周期定义判断周期，再求一个周期内函数的值域，然后借助函数的单调性判断最值，用对称性找到之间的关系，进而求出的取值范围．【详解】，所以函数的周期是，故选项正确；因为函数的周期是，所以只需要看一个周期内函数值的范围，当时，，，，，所以的值域是，故选项正确；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，则，故选项正确；因为，，，则所以轴和均为的对称轴，则，和，关于轴对称，，和，关于直线对称，结合B选项画出函数在的草图.所以，，，所以，故选项错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量满足，则______．【答案】【解析】分析】根据向量垂直和模长计算公式即可求解.【详解】，，，所以，故答案为：14.若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解.【详解】由题意得，解得，故答案为：15.如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为______米（精确到1米）．【答案】267【解析】【分析】假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解；【详解】设该扇形的半径为米，连接.由题意，得(米)，（米），在中，即解得（米).故答案为：267.16.在中，已知的角平分线，则的正弦值为______．【答案】【解析】【分析】由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值．【详解】因为，，的角平分线，由等面积可得，即，即，，因为，所以，，所以．故答案为：．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量．（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得；（2）由平面向量夹角的坐标表示，根据数量积及平行的坐标运算即可求得实数的取值范围．小问1详解】由题意可得，，若向量与共线可得，解得；【小问2详解】若向量与的夹角为钝角可得，且；即可得，解得；即实数的取值范围为.18.已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】先根据复数相等得出方程组，再换元消参，最后应用三角恒等变换结合三角函数值域求参范围即可.【详解】因为,可得,所以,可得,即,当,所以.19.已知向量满足．（1）求向量与的夹角；（2）若向量在方向上的投影向量为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得到，利用平面向量的夹角公式即可求解；（2）利用投影向量和数量积的运算即可求解．【小问1详解】，，即，，，又，与的夹角为；【小问2详解】，．20.设的内角所对的边分别为，若，．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，在中由余弦定理得，利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解；（2）由（1）求得，和，利用三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】由正弦定理得为的外接圆半径），可得：，将其代入得，即，又由题意知，所以，解得，所以，在中由余弦定理得：，所以，所以，所以，，由题意可知，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，由（1）知，所以．21.已知在锐角中，三边的对角分别为，且（1）求角的值；（2）若，求的周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角转化和余弦定理即可求解；（2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可求解.【小问1详解】设的外接圆的半径为，由正弦定理得，可得，将其代入，可得，根据余弦定理得，由此可得，在锐角中，；【小问2详解】由（1）正弦定理，，，又因为为锐角三角形，所以，又，，，即，所以，又，，即，故锐角的周长的取值范围为.22.已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为．（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值；（3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）结合正弦函数最值先求出，结合周期求出，代入特殊点求出，进而可得函数解析式；（2）结合三角函数图像变换求出，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解；（3）结合已知先求出得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，，，，又，，.【小问2详解】由题意知：，的图象向左平移个单位得，即，函数与均为其定义域上的单调增函数，且，，当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时，才能取得函数的最小值，由，得，又，即，，又，的最小值为.【小问3详解】满足，解得，，，同理，，，，，又函数在上单调递增，若有，则，即只需，即成立即可，又，，即存在