黑龙江省大庆市2025届高三下学期第三次教学质量检测数学试卷

黑龙江省大庆市2025届高三下学期第三次教学质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2025届·黑龙江大庆·三模]集合，，则()A. B. C. D.1．答案：B解析：集合，，则故选：B.2．[2025届·黑龙江大庆·三模]在等差数列中，若，则()A.270 B.225 C.180 D.1352．答案：C解析：因为数列是等差数列，所以，，则.故选：C.3．[2025届·黑龙江大庆·三模]在复平面内，点对应的复数为z，则()A. B. C. D.3．答案：D解析：点对应的复数，则，所以.故选：D4．[2025届·黑龙江大庆·三模]若随机变量，且，则的最小值为()A.18 B. C.24 D.274．答案：C解析：由题意可得，则，所以，易知当时，的最小值为24.故选：C.5．[2025届·黑龙江大庆·三模]若，则()A. B. C. D.5．答案：A解析：.故选：A.6．[2025届·黑龙江大庆·三模]如图所示，在中，，，点D是的中点，点E在上，且.若，则()A.6 B.8 C. D.6．答案：B解析：由，得，由点D是的中点，，得，，则，解得.故选：B.7．[2025届·黑龙江大庆·三模]已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.97．答案：B解析：由函数的值域为，得，由是定义在R上的奇函数，得，由是定义在R上的偶函数，得，则，则，而函数与的值域相同，所以函数的最大值为3.故选：B8．[2025届·黑龙江大庆·三模]某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这n个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则()A. B.C. D.无法确定与的大小关系8．答案：A解析：设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲选中的盲盒有奖”，则，在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品，甲更换盲盒后，若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有m个奖品，则更换盲盒后，因此，由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有m个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则，于是，所以.故选：A.二、多项选择题9．[2025届·黑龙江大庆·三模]下列关于函数的说法正确的是()A.要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位B.函数的图象关于对称C.函数在区间上单调递减D.若，且，则9．答案：BD解析：对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，x变为，得到，与选项描述不符，所以A错误.对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，2是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确.对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误.对于D选项，正弦函数周期，中，.，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确.故选：BD.10．[2025届·黑龙江大庆·三模]在长方体中，已知，，M，N分别为，的中点，则()A.平面B.若P为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值C.棱锥的外接球的体积为D.若点P为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为210．答案：BC解析：对于选项A，若平面，根据线面垂直的性质，可得.因为，根据平行线的传递性，所以.又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以.但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面，故A错误.对于选项B，易知平面，根据线面平行的性质，可知上的点到平面的距离相等.三棱锥的体积（h为点P到平面的距离），由于上点到平面距离相等，所以不变.又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确.对于选项C，分别以，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同.设外接球半径为R，已知，，的值，根据长方体体对角线公式（l为体对角线，a，b，c分别为长方体的长、宽、高），可得，则.根据球的体积公式，可得，故C正确.对于选项D，取的中点E，取的中点F，连接，，，易知平面平面.因为点P为长方形内一点，所以点P的运动轨迹为线段.在中，过点作，此时取得最小值.由题意可知，，，.根据余弦定理.再根据，可得.所以，故D错误.故选：BC.11．[2025届·黑龙江大庆·三模]过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是()A. B.C. D.11．答案：ACD解析：由题意，设直线，联立方程可得，则，解得（负值舍去），所以，，故B错误；所以，故A正确；因为，又因为，则，即，所以，则，故C正确；因为，所以，且，设函数，则，所以函数在上单调递增，则，即，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12．[2025届·黑龙江大庆·三模]的展开式中的系数为________.12．答案：40解析：根据二项式定理，对于，其展开式的通项公式为.进行化简，所以.令.解得.将代入到中，所以，即的系数为40.故答案为：40.13．[2025届·黑龙江大庆·三模]已知定义域为R的函数满足，且，则________.13．答案：2解析：由，令代替x，可得，则，可得，由，令，则，所以.故答案为：2.14．[2025届·黑龙江大庆·三模]我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为________.14．答案：解析：双曲线的渐近线方程为，令直线交渐近线分别为C，D及A，B，由，得，，由，，，线段，绕y轴旋转一周得到旋转体的一个截面，它是一个圆环，圆环的内径，外径，此圆环面积为，因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，又旋转体的高为，由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积.故答案为：四、解答题15．[2025届·黑龙江大庆·三模]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B；(2)若，，求的面积.15．答案：(1)(2)解析：（1）已知，根据正弦定理化简可得，则，即.再根据余弦定理，可得.因为，所以.（2）已知，根据二倍角公式，则.由正弦定理，已知，，则，即，所以.将代入中，得到.因为，所以，可得，解得.又因为，所以.因为三角形内角和为，所以.已知，，可得的面积为.16．[2025届·黑龙江大庆·三模]已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的值.16．答案：(1)答案见解析(2)1解析：（1）首先，确定函数的定义域为.然后，对求导，可得.接下来，分情况讨论的正负：当时，对于，，，所以.这表明在上单调递减.当时，令，即，则，解得.当时，，，所以，单调递减.当时，，，所以，单调递增.综上所得，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值..因为，所以，即.对不等式进行化简：，即.令，，对求导，可得.令，即，因为，所以，则，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得最大值.因为，且，所以，此时.17．[2025届·黑龙江大庆·三模]如图，在直角梯形中，，，，.已知E，F在平面的同侧，，平面平面，.(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.17．答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）已知，是等腰三角形.因为O是的中点，所以.同理，可得.因为，，且，平面.所以平面.而平面，所以.（2）由面面垂直的性质定理，因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面.过A作，则平面，又，以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.在中，已知，因为O为中点，所以，又，根据勾股定理.由此可得各点坐标：，，，，，.所以，，.因为，且，，所以.又因为，，所以.设为平面的法向量，则，.由可得，代入中，得到，即，，进一步化简，则.取，则，，所以.设直线与平面所成角为，则.因为.又，.则，即直线与平面所成角的正弦值为.18．[2025届·黑龙江大庆·三模]已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过作，交椭圆于点D，且.(1)求椭圆M的方程；(2)已知A，N是椭圆M上关于y轴对称的两点，点B在椭圆M上，直线，分别交y轴于P，Q两点.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若点P的坐标为，点E为平面上一动点（E不在直线上），记直线，，的斜率分别为，，，且满足.判断动点E是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由.18．答案：(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）在，定直线方程为.解析：（1）由椭圆M的离心率，得，则，椭圆M的半焦距，由过作，交椭圆于点D，，得，解得，则，所以椭圆M的方程为.（2）（ⅰ）设，，，，则，由P，A，B三点共线，得，则，同理由B，Q，N三点共线，得，而，，于是，所以.（ⅱ）设，直线，则，，，由，得，即，整理得，因此，整理得，而点E不在直线上，即，则，即，解得，由（ⅰ）知，又，于是，即，所以动点E在定直线上，该定直线方程为.19．[2025届·黑龙江大庆·三模]若数列满足，则称数列为k项数列，由所有k项数列组成集合.(1)若是15项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；(2)已知，，记，其中且.（ⅰ）求取到最大值时k的值；（ⅱ）若，是两个不同的数列，求随机变量X的分布列，并证明：.19．答案：(1)(2)（i）3；（ii）证明见解析解析：（1）因为是15项数列，当且仅当时，，所以当和时，.设数列的所有项的和为S，则，所以数列的所有项的和为0.（2）（i）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列，所以数列，为k项数列，所以X的可能取值为：.根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个，当时，则数列，中有2项取值不同，有项取值相同，从k项中选择2项，和在2项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相