新高考2卷-2025届高考数学4月模拟预测卷

第页四川天地人教育资料出品新高考2卷——2025届高考数学4月模拟预测卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．若复数z满足，则()A. B. C.i D.11．答案：A解析：因为，所以，所以.故选A.2．[2025届·全国·模拟考试]已知集合，集合，则()A. B. C. D.2．答案：A解析：由，得，所以，又，所以.故选A.3．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，则()A.2 B.3 C.4 D.53．答案：B解析：因为点在抛物线上，所以，解得，则.4．函数的大致图象为()A. B.C. D.4．答案：B解析：易得函数的定义域为，且，故为偶函数，所以的图象关于y轴对称，故排除C.又，所以排除A，D.故选B.5．[2024秋·高三·江苏南京·开学考试校考]若非零向量a，b满足，则在b方向上的投影向量为()A. B.b C. D.5．答案：C解析：由，可得，所以，整理得，则在b方向上的投影向量为.6．已知角满足，则()A. B.或 C. D.6．答案：C解析：由，得，由题知，所以，解得或（舍去），所以，故选C.7．已知正项数列的前n项和为，，且，则()A.4049 B.4047 C.2025 D.20247．答案：A解析：由，且得，，即.因为数列为正项数列，所以.又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，即，则，当时，，所以.故选A.8．已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是()A. B. C. D.8．答案：A解析：如图，是点A在底面的射影，则为的外接圆圆心，球心O在直线上.易得的外接圆半径.在中，易得.设球O的半径为R，在中，由，即，解得，所以.在中，，，则，所以，所以在中，可得.当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时截面半径为，截面面积为.二、多项选择题9．[2025届·全国·模拟考试]函数（，）的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是()A.的最小正周期B.C.在上单调递增D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数9．答案：ABC解析：因为轴，所以图象的一条对称轴为直线，所以，所以，故A正确.易得，则，所以.因为的图象过点，所以，所以，，所以，，因为，所以，故B正确.易得，由，得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误.故选ABC.10．已知函数的定义域为R，若为奇函数，为偶函数，则()A. B.C. D.10．答案：AC解析：选项A：由为奇函数可得，得，故A正确.选项B：由为偶函数可得，即，即，令，得，故B错误.选项C：由为奇函数可得，即，即，由可得，故，可得，故，故C正确.选项D：由可得，故，即，故D错误.11．[2025届·全国·模拟考试]在信道内传输A，B，C信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两种字母的信号的概率均为.输入五个相同的信号AAAAA，BBBBB，CCCCC的概率均为.记事件，，分别表示“输入AAAAA”“输入BBBBB”“输入CCCCC”，事件表示“输出AAAAA”，事件D表示“输出AACBB”，事件E表示“输出BBBBB”，则()A.若输入信号AAAAA，则输出的信号只有三个A的概率为B.C.D.11．答案：CD解析：对于A，当输入A时，收到A的概率为，收到B，C的概率分别为，故收到的信号字母变的概率为.又信号的传输相互独立，从而当输入AAAAA时，输出的信号只有三个A的概率为，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，，所以，故D正确.故选CD.三、填空题12．的展开式中第三项和第四项的二项式系数相等且最大，则的展开式中的系数为___________.12．答案：45解析：由题意得的展开式中共有6项，则，故，其展开式的通项.令，解得，故的展开式中的系数为.13．已知函数若函数有5个零点，则实数m的取值范围为___________.13．答案：解析：若，则当时，可得，解得；当时，可得，则，解得.综上，x的值为或1.令，可得或，即或.由题意可知的图象与直线，共有5个交点.作出的图象，如图所示.由图可得或解得，所以实数m的取值范围为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为__________.14．答案：解析：延长OQ交于点A，设，.因为，所以，又，所以.因为O为的中点，所以点A为的中点，.因为点Q在的平分线上，所以，所以，从而，因为，所以，又由椭圆的定义可得，所以结合以上两式可得.在中，，得，化简得，故C的离心率.四、解答题15．[2025届·全国·模拟考试]已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求B；（2）若，求b的最小值.15．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以由正弦定理得，所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）得，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，所以b的最小值为.16．某校为推进科技进校园活动组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，并将得到的竞赛成绩分为7组：，，，，，，，作出了如图所示的频率分布直方图.已知竞赛成绩在的学生有20人.（1）求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；（2）从竞赛成绩在与的学生中任取3人进行问卷调查，记这3名学生竞赛成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望.16．答案：（1），；中位数为81.7（2）分布列见解析，数学期望为解析：（1）因为竞赛成绩在的学生有20人，所以，所以，得.设本次竞赛学生成绩的中位数为x，因为，，所以，所以，所以，即本次竞赛学生成绩的中位数为81.7.（2）由题意知，竞赛成绩在的学生人数为（人），竞赛成绩在的学生人数为（人）.易知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.17．如图，在三棱柱中，，D是AB的中点，E是上一点，平面.（1）证明：平面；（2）若，，E是的中点，二面角的大小为，求AB.17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连接CD，因为，D是AB的中点，所以.因为平面，平面ABE，所以，.因为平面，，所以平面CDE，因为平面CDE，所以.因为，，所以，因为平面，，所以平面.（2）在平面中，过点D作，交于点M，易知平面ABE，又，故以D为坐标原点，以DB，DE，DM所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，可得，所以，，，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.又平面ABE的一个法向量为，所以，得，所以，所以.18．已知双曲线（，）过点，且焦距为4.（1）求C的方程.（2）设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值.（3）若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.18．答案：（1）（2）（3）存在点解析：（1）由题意可得，得，，故C的方程为.（2）由（1）可得，故，直线AP的斜率，则直线AP的方程为.设过点B且平行于直线AP的直线l的方程为，则当直线l与双曲线C的左支相切时，直线l与直线AP之间的距离最小，此时的面积最小.由，得，令，解得，当时，直线l与双曲线C的左支相切，符合题意；当时，直线l与双曲线C的右支相切，不符合题意.故直线l与直线AP之间的距离的最小值为，所以面积的最小值为.（3）由题意可知，过点的直线EF的斜率存在，设其方程为，，，由，得，其判别式，所以，.假设直线上存在不同于点D的点Q，使得DQ平分，，因为，所以，因为，，，所以，，由题知，，，所以，整理得，则，所以，解得，因此直线上存在点，使得DQ平分.19．已知函数，.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）设数列满足，，证明：.19．答案：（1）证明见解析（2）函数在和上单调递增，在上单调递减（3）证明见解析解析：（1）由得，故的定义域为，，所以曲线关于点中心对