江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年度春学期期中联考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导数运算正确的是()A2x）′=2xB．Ce2x）′=2e2xDcosx）′=sinx2.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有()A．13种B．42种C．67种D．7种3.已知f（x）＝x2（x-k）的一个极值点为2，则实数k=()4.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ,则P(ξ≥1）等于()A．0.9163B．0.0081C．0.0756D．0.99195.若（2x-1）2025＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025，则ΣEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),i)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)5ai=()6.如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为()A．12B．18C．247.若直线y＝ex+a与曲线y＝lnx+b相切，则a2+b2的最小值为()8.已知函数f（x）的定义域为（-∞,+∞),f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，且f（-2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2-6）＞1的解集为()A2，3）B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.（多选）下列说法正确的是()A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8C．已知数据x1，x2，…,x10的极差为6，方差为2，则数据2x1+1，2x2+1，…,2x10+1的极差和方差分别为12，8D．若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2P（X＜-2P（X＞40.14，则P（1＜X＜40.3610.（多选）下列说法正确的是()A．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量ξ服从二项分布.B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数（M＜N则随机变量ξ服从二项分布.C．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布.D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布.11.（多选）已知函数f（x）为定义（-∞,0）∪（0，+∞)上的奇函数，若当x＜0时，xf'（x）-f（x）<0，且f（1）＝0，则()A．2f（eef（2）B．当m＜2时，f（mmf（1））＜D．不等式f（x）＞0解集为（-1，0）∪（1，+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.5555被8整除的余数为______.13.现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量X＝|m-n|,则P（X＝1）的值为_________.知函数f（x）＝-sinx+ax2+ax．若f（x）为[0，]上的“凸函数”，则实数a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数f（xx3+ax2+bx（a∈R，b∈R其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，5]上的最值．在的展开式中，求：（1）求常数项、及此项的二项式系数；（2）求奇数项的二项式系数的和；（3）求系数绝对值最大的项．17.（15分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1每座帐篷的体积为54πm3，且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1单位：m）的半球体，下层是半径为rm，高为hm的圆柱体（如图2经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元提示：球体积公式：（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．18.（17分）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为乙获胜的概率约为．（1）若比赛为三局两胜制，（i）设比赛结束时比赛场次为X，求X的分布列与数学期望；（ii）求乙最终获胜的概率；（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．19.（17分）已知函数f（xex-ax-1．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＝1时，设g（xf（x）-x2，证明：g（x）在（0，+∞)上存在唯一的极小值点x0,且g参考数据：e3≈20.09．)2024-2025学年度春学期期中联考试卷高二数学（评分细则）一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBBDABDC二．多选题（共3小题）题号9答案ACDABDACD三．填空题（共3小题）题号答案7 四．解答题（共5小题）15．已知函数f（xx3+ax2+bx（a∈R，b∈R其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，5]上的最值．【解答】解1）由f（xx3+ax2+bx（a∈R，b∈R）可得：f′（x3x2+2ax+b，所以f（x）在点（1，4）处切线的斜率为k＝f′（13+2a+b，因为f（x）在点（1，4）处切线方程为y＝4，所以切线的斜率为0，且f（1）＝4，所以f'(1)=0，即3+2a所以f（x）＝x3-6x2+9x；6分（2）由（1）知f（x）＝x3-6x2+9x，则f′（x3x2-12x+9＝3（x-1x-38分令f′（x）＝0得x＝1或3，所以在(0，1)上f′（x0，f（x）单调递增，在（1，3）上f′（x0，f（x）单调递减，在（3，5）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在x＝1处，f（x）取得极大值f（14，在x＝3处f（x）取得极小值f（30，11分又因为f(0)=0=f(3)，f（553-6×52+9×5＝20＞f（1所以f（x）在[0，5]上的最大值为20，最小值为0．13分16．在(2x—)6的展开式中，求：（1）求常数项，及此项的二项式系数；（2）求奇数项的二项式系数的和；（3）求系数绝对值最大的项．EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),6)（3）展开式的各项的系数的绝对值为Sr+1＝CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(r),6).26—r，r＝0，1EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2(r),6)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),6)17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1每座帐篷的体积为54πm3，且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1单位：m）的半球体，下层是半径为rm，高为hm的测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y千元提示：球体积公式：Vπr3）（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．【解答】解1）由题意可得所以分所以y2πr2×2+2πr2×3+2πrh×3）×10＝100πr2+60πr•（—r即y＝60π×（r2+因为r≥1，h＞0，所以则所以定义域为{r|1≤r＜333}，……….……..8分（2）设f（r）＝r2+，1≤r＜333，）＝）＝当r∈[1，3）时，f′（r0，f（r）单调递减；当r∈（3，333）时，f′（r0，f（r）单调递增，答：当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620π千元．……….……..…18．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约（1）若比赛为三局两胜制，（i）设比赛结束时比赛场次为X，求X的分布列与数学期望；（ii）求乙最终获胜的概率；（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．【解答】解1i）由题意可知，X所有可能的取值为2，3，……1分EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),2)所以X的分布列为：X23P5949EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),2)（2）设事件A＝“甲最终获胜”，事件B＝“共进行了5场比赛”，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),4)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),4)）＝（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间与极值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a＝1时，设g（xf（x）-x2，证明：g（x）在（0，+∞)上存在唯一的极小值点x0,且g参考数据：e3≈20.09．)【解答】解1）当a＝1时，f（xex-x-1，所以f′（xex-1…当x＜0时，f′（x0；当x＞0时，f′（x0，所以当x＝0时，函数f（x）有极小值f（0）＝0，无极大值．…………….5分（2）函数f（x）＝ex-ax的定义域为R，f′（x）＝ex-a．对a进行讨论，分两种情况：当a≤0时，f′（x）＝ex-a＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增；当a＞0时，由f′（x0，解得：x＞lna；由f′（x0，解得：x＜lna．∴f（x）在（-∞,lna）上单调递减lna，+∞)上单调递增．）＝）＝）＝）＝当x∈（0，ln2）时，m（x）＜0，m（x）单调递减；当x∈（ln2，+∞)