高中数学二次函数

第二章函数二次函数第1页1.二次函数定义关键点·疑点·考点形如y=ax2+bx+c(a≠0)函数叫做二次函数.注意a≠0,若a=0它是一次函数或常数函数.第2页关键点·疑点·考点2.二次函数图象与性质定义域:R单调性与值域:第3页关键点·疑点·考点2.二次函数图象与性质定义域:R单调性与值域:奇偶性:函数为偶函数b=0图象:二次函数图象是一条抛物线,对称轴方程是,当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下.

当△>0时,图象与x轴有两个交点,两个交点距离为;

当△<0时,若a>0,则函数值恒正;若a<0,则函数值恒负.当△=0时,图象与x轴有且只有一个公共点(相切).第4页关键点·疑点·考点3.二次函数解析表示式有

①普通式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；②顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；③零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

第5页4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m，n]上最值问题．普通情况下，需要分：-b/2a＜m，m≤-b/2a≤n和-b/2a＞n三种情况讨论处理.5.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0区间根问题．普通情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值正负；③对称轴x=-b/2a与区间端点关系第6页基础题例题例1.二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，则x1+x2等于_________.例2.函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1]时是减函数，当x∈(-1,+∞)时是增函数，则f(2)=_______.例3.关于x方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0一根比1大，另一根比1小，则有()(A)-1＜a＜1(B)a＜-2或a＞1(C)-2＜a＜1(D)a＜-1或a＞2619C第7页例4.在函数f(x)=ax2+bx+c中，若a,b,c成等比数列且f(0)=-4,则f(x)有最______值(填“大”或“小”），且该值为________（高考，北京）大-3例5.若函数f(x)=x2+(a+2)x+3中，x∈[a,b]图象关于直线x=1对称，则b=________（高考，上海春）6基础题例题第8页能力·思维·方法例6.已知对于x全部实数值，二次函数值都非负，求关于x方程根范围.解题分析：由已知方程将x表示为a

函数，这么求方程根问题就转化成求函数值域问题。解：由已知得，△≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,原方程化为x=-a2+a+6第9页能力·思维·方法【解题回顾】对x∈R而言，y=ax2+bx+c(a≠0)极值就是最值．若x只在某区间内取值，最值与极值便不可混淆了.例6.已知对于x全部实数值，二次函数值都非负，求关于x方程根范围.第10页例7．已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1图象与x轴交点最少有一个在原点右侧，求实数m取值范围.解题分析：函数f(x)=mx2+(m-3)x+1图象与x轴交点最少有一个在原点右侧，就是表明关于x方程mx2+(m-3)x+1=0最少有一个正根，可借助根与系数关系来解。解：若m=0，则f(x)=-3x+1,显然满足要求.若m≠0，有两种情况：综上可得m∈(-∞,1]能力·思维·方法第11页例7．已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1图象与x轴交点最少有一个在原点右侧，求实数m取值范围.【解题回顾】①在本题解题过程中，轻易将f(x)=mx2+(m-3)x+1看成是二次函数，从而忽略对m=0讨论②实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)两实根异号充要条件为；有两正实根充要条件是；有两负实根充要条件是能力·思维·方法第12页例8.函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上最小值记为g(t).(1)试写出g(t)函数表示式；(2)作g(t)图象并写出g(t)最小值解题分析:只需讨论f(x)=x2-4x-4对称轴与闭区间[t,t+1]位置即可写出g(t).解:(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴g(t)=f(t)=t2-4t-4;当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8当t+1<2时,即t<1时,f(x)在[t.t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7能力·思维·方法第13页【解题回顾】(1)含有参数二次函数最值问题，因其顶点相对于定义域区间位置不一样，其最值情况也不一样．所以要依据二者相关位置进行分类讨论(2)本题是“定”二次函数，“动”区间，依照此法也能够讨论“动”二次函数，“定”区间二次函数问题.

“顶点定,区间动”;“顶点动,区间定”.例8.函数f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1](t∈R)上最小值记为g(t).(1)试写出g(t)函数表示式；(2)作g(t)图象并写出g(t)最小值能力·思维·