高中数学第5课时绝对值不等式的解法

第5课时绝对值不等式解法你能把|2a2|，|a＋1|，|x－1|等式子中绝对值去掉吗?不等式|x|<3解集是什么呢?1/34

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3/34预学2:依据绝对值几何意义解不等式|x|<a和|x|>a普通地，假如a>0，那么从绝对值几何意义看，|x|<a表示数轴上到原点距离小于a点集合;|x|>a表示数轴上到原点距离大于a点集合，故|x|<a⇔－a<x<a;|x|>a⇔x<－a或x>a.所以，不等式|x|<a解集是(－a，a);不等式|x|>a解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞).4/34议一议:解不等式x2－2|x|－3>0.【解析】(法一)当x≥0时，原不等式可化为x2－2x－3>0，∴不等式解为x>3.当x<0时，原不等式可化为x2＋2x－3>0，∴不等式解为x<－3.综上可得，原不等式解集为{x|x>3或x<－3}.(法二)不等式x2－2|x|－3>0，即不等式|x|2－2|x|－3>0，∴(|x|－3)(|x|＋1)>0，∴|x|－3>0，∴原不等式解集为{x|x>3或x<－3}.5/34预学3:依据绝对值几何意义解不等式|x－x1|<a和|x－x1|>a假如a是一个正实数，那么对于绝对值不等式|x－x1|<a，|x－x1|>a，我们有|x－x1|<a⇔－a<x－x1<a⇔x1－a<x<x1＋a;|x－x1|>a⇔x－x1<－a或x－x1>a⇔x<x1－a或x>x1＋a.6/34练一练:已知A＝{x||x＋2|≥5}，B＝{x||3－x|<2}，则A∪B等于

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【解析】A＝{x||x＋2|≥5}＝{x|x＋2≤－5或x＋2≥5}＝{x|x≤－7或x≥3}，B＝{x||3－x|<2}＝{x||x－3|<2}＝{x|1<x<5}，∴A∪B＝{x|x≤－7或x>1}.【答案】{x|x≤－7或x>1}7/34

8/34(2)|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式解法:解法1，利用绝对值不等式几何意义求解;解法2，利用分类讨论思想，去掉绝对值符号后求解;解法3，经过结构函数，利用函数图象和零点求解.9/34练一练:已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|.(1)把函数y＝f(x)去掉绝对值写成份段函数形式，并画出函数y＝f(x)图象.(2)说出函数y＝f(x)最小值及对应x值或集合.(3)解不等式f(x)≤5.10/34

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17/342.含参数绝对值不等式问题例2、已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.(1)若不等式有解;(2)若不等式解集为R;(3)若不等式解集为⌀.分别求出a取值范围.【方法指导】先利用绝对值几何意义，求出|x＋1|－|x－3|最值，再结合题目条件求解.18/34【解析】由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4，|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，则a<4;(2)若不等式解集为R，则a<－4;(3)若不等式解集为⌀，则a≥4.19/34

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21/343.绝对值不等式应用例3、已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)当m＝5时，求不等式f(x)>2解集;(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数f(x)图象恒有公共点，求实数m取值范围.【方法指导】(1)将要解不等式等价转化为三个不等式组，求出每个不等式组解集，再取并集，即得所求.(2)要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数f(x)图象恒有公共点，只需f(x)max≥ymin.22/34

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24/34变式训练3、已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1解集;(2)若f(x)图象与x轴围成三角形面积大于6，求a取值范围.25/34

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27/341.解含有绝对值不等式总体思绪是:将含有绝对值不等式转化为不含绝对值不等式，依据是同解性，对同解性应了解为“|x|”中x能够是任何有意义数学式子f(x)，所以从结论上说，|f(x)|<g(x)与－g(x)<f(x)<g(x)同解，|f(x)|>g(x)与f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)同解.掌握去掉绝对值符号方法和路径是关键.数形结正当解不等式是另一个主要解题路径，为此要熟练掌握函数|f(x)|图象和画法.28/342.(1)对含有两个绝对值不等式问题，惯用“零点分析法”去掉绝对值转化为解若干个不等式组问题，原不等式解集是这些不等式组解集并集;对含有多个绝对值函数问题，常利用分类整合思想转化为分段函数问题，若绝对值中未知数系数相同，惯用绝对值不等式性质求最值，可降低计算.29/34(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y＝|x－a|＋|x－b|函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|函数现有最大值又有最小值.30/34

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32/34(2)由(