高中数学第一章计数原理1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

数学选修2-3·人教A版新课标导学1/47第一章计数原理2/47高二一班某寝室有8名同学，他们约定毕业后每年春节要互寄一张贺年卡片，他们一共要消费多少张卡片？年9月，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵式，外军方队有17个方队，这些方队出场次序一共有多少种排法？某城市电话号码有8位数字，一共能组成多少个电话号码？汽车牌照由26个英文字母和10个阿拉伯数字选出五个组成，一共能组成多少辆汽车牌照号码？……你知道是怎样计数吗？本章将系统学习计数原理，学习本章要注意体会有序与无序在计数中区分，体会建模在数学研究中作用．3/474/471．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理5/471自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案6/47自主预习学案7/47年3月3日政协十二届第5次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从泉城济南前往北京参加会议．他有两类快捷路径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘．问：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷路径可选？8/471．分类加法计数原理完成一件事有两类不一样方案，在第1类方案中有m种不一样方法，在第2类方案中有n种不一样方法，那么完成这件事共有N＝________种不一样方法．2．分类加法计数原理推广完成一件事有n类不一样方案，在第1类方案中有m1种不一样方法，在第2类方案中有m2种不一样方法，…，在第n类方案中有mn种不一样方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不一样方法．m＋n

m1＋m2＋…＋mn

9/473．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不一样方法，做第2步有n种不一样方法，那么完成这件事共有N＝________种不一样方法．4．分步乘法计数原理推广完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不一样方法，做第2步有m2种不一样方法，…，做第n步有mn种不一样方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不一样方法．m×n

m1×m2×…×mn

10/471．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不一样选法共有 (

)A．3种 B．4种C．7种 D．12种[解析]

选择课程方法有2类：从A类课程中选一门有3种不一样方法，从B类课程中选1门有4种不一样方法，∴共有不一样选法3＋4＝7种．C

11/472．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不一样点个数是 (

)A．1 B．3C．6 D．9[解析]

这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．依据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不一样点．D

12/473．(集宁一中年高二)现有4件不一样款式上衣与3件不一样颜色长裤，假如一条长裤和一件上衣配成一套，则不一样选法是 (

)A．7 B．64C．12 D．81[解析]

∵选定一件上衣时，有不一样颜色裤子3条，∴有3种不一样穿衣方案，∴共有3×4＝12种不一样搭配方法，故选C．C

13/4764

4．将三封信投入4个邮箱，不一样投法有______种．[解析]

第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不一样投法43＝64种．14/47互动探究学案15/47命题方向1

⇨分类加法计数原理典例116/47[思绪分析]

(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事，所以应采取分类加法计数原理；(2)完成这件事有三类方案，所以也应采取分类加法计数原理．[解析]

(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席，共有三类不一样方案．第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不一样选法；第2类，从高三(2)班中选1名学生，有60种不一样选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不一样选法．依据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不一样选法．17/47(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不一样方案．第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不一样选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不一样选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不一样选法．依据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不一样选法．18/47『规律总结』

1.分类加法计数原理推广分类加法计数原理：完成一件事有n类不一样方案，在第1类方案中有m1种不一样方法，在第2类方案中有m2中不一样方法，……，在第n类方案中有mn种不一样方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不一样方法．2．能用分类加法计数原理处理问题含有以下特点(1)完成一件事有若干种方案，这些方案能够分成n类；(2)用每一类中每一个方法都能够完成这件事；(3)把各类方法数相加，就能够得到完成这件事全部方法数．19/473．利用分类加法计数原了解题普通步骤(1)分类，即将完成这件事情方法分成若干类；(2)计数，求出每一类中方法数；(3)结论，将各类方法数相加得出结果．20/47〔跟踪练习1〕满足a、b∈{－1,0,1,2}，且关于x方程ax2＋2x＋b＝0有实数解有序数对(a，b)个数为 (

)A．14

B．13

C．12

D．10B

21/47[解析]

①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴(a，b)取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1．a＝－1时，b取值有4个，a＝1时，b取值有3个，a＝2时，b取值有2个．∴(a，b)取法有9个．综合①②知，(a，b)取法有4＋9＝13个．22/47命题方向2

⇨分步乘法计数原理已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不一样圆个数是多少？[思绪分析]

要想确定一个圆，需确定圆心横坐标a，纵坐标b，圆半径r，只有当三个量都确定时，这个圆才确定，故应该用分步乘法计数原理求解．[解析]

圆方程由三个量a、b、r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不一样圆个数为3×4×2＝24(个)．典例223/47『规律总结』

1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步乘法计数原了解题普通思绪．(1)分步：将完成这件事过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中方法数；(3)结论：将每一步中方法数相乘得最终止果．,24/47〔跟踪练习2〕(1)有5本书全部借给3名学生，有不一样借法_______种．(2)有3名学生分配到某工厂5个车间去参加社会实践，则有不一样分配方案_______种．[解析]

(1)中要完成事情是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不一样方法，依据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不一样借法．(2)中要完成事情是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不一样方法，依据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不一样分配方案．243

125

25/47命题方向3

⇨两个基本原理综合应用现有5幅不一样国画，2幅不一样油画，7幅不一样水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几个不一样选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几个不一样选法？(3)从这些画中选出两幅不一样种类画布置房间，有几个不一样选法？典例326/47[思绪分析]

(1)选一幅国画布置房间，这件事情能够完成，选一幅油画布置房间，这件事情也能够完成，所以完成“选一幅画布置房间”这件事情共分三类．(2)选一幅国画布置房间，布置房间任务没有完成，选一幅油画布置房间，布置房间任务也没有完成，只有国画、油画、水彩画各选一幅都完成后，布置房间任务才算完成，故完成这件事情需分三步．(3)“选两种不一样种类画”，能够选国画、油画；也能够选国画、水彩画，假如选了国画、油画，则这件事情已经完成，故用分类加法计数原理，在每一类里选一个画，再选一个画，两种画都选出，这件事情才完成，故用分步乘法计数原理，所以本题应先分类，再分步处理．27/47[解析]

(1)分为三类：从国画中选，有5种不一样选法；从油画中选，有2种不一样选法；从水彩画中选，有7种不一样选法．依据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不一样选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不一样选法，依据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不一样选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不一样选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不一样选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不一样选法，所以有10＋35＋14＝59种不一样选法．28/47『规律总结』

应用两个计数原了解题时策略(1)确定计数原理：要分清包括问题从大方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．(2)处理好类与步关系：对于较为复杂题目，在某一类中需要分步计算所用方法，而在某一步中又可能分类计算所用方法，二者要有机结合．(3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏．,29/47〔跟踪练习3〕现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)每班选一名组长，有多少种不一样选法？(2)推选两人做中心讲话，这两人需来自不一样班级，有多少种不一样选法？30/47[解析]

(1)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不一样选法N＝7×8×9×10＝5040(种)．(2)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不一样选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不一样选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不一样选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不一样选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不一样选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不一样选法．所以，共有不一样选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．31/47(1)枚举法：将各种情况经过树形图、表格等方法一一列举出来．它适合用于计数种数较少情况，分类计数时将问题分类实际上就是将分类种数一一列举出来．枚举法是一个处理问题基本方法，当计数种数不是很多时，都能够用此方法处理．(2)间接法：若计数时分类较多，或无法直接计算时，可用间接法，先求出没有限制条件种数，再减去不满足条件种数．处理计数问题惯用方法32/47(3)字典排序法：字典排序法就是把全部字母分为前后，先排前面字母，前面字母排完后再依次排后面字母，最终字母排完，则排列结束．利用字典排序法并结合分步乘法计数原理能够处理与排列次序相关计数问题，利用字典排序法还能够把这些排列不重不漏地一一列举出来．(4)模型法：模型法就是经过结构图形，利用形象、直观图形帮助我们分析、处理问题方法．模型法是处理计数问题主要方法．33/47

4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己贺年卡，共有多少种不一样取法？[思绪分析]

能够把4个人编号，用一、二、三、四表示，各自卡片用1,2,3,4表示，用表格形式一一列举出来．[解析]

解法一：显然这个问题难用两个计数原理列式计算，但能够把各种方法一一列举出来，最终再数出方法种数．把4个人编号为一、二、三、四，他们写4张贺年卡依次为1,2,3,4号，则取一张不是自己写贺年卡各种方法全部列举出来为：典例434/4735/47解法二：将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位四位数有多少个”．所以，可分三步，第一步确定个位数，有3种不一样方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中任一位上，也有3种不一样方法；第三步，余下两个数字只有一个方法，由分类计数原理可得不一样分配方法为3×3＝9种．『规律总结』

破解这类看似简单，实则繁难题关键是选取“枚举法”，即可轻松破解．用枚举法需要注意做到不重不漏．36/47〔跟踪练习4〕某彩票购置规则要求：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01到10中选出3个连续号，从11到20中选2个连续号，从21到30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求号买全，最少要________元．[解析]

需分步：第1步，从01到10中选3个连续号，有8种选法，第2步，从11到20中选2个连续号，有9种选法，第3步，从21到30中选1个号，有10种选法，第4步，从31到36中选1个号，有6种选法，∴共有N＝8×9×10×6＝4320个号，共需要8×9×10×6×2＝8640元．8640

37/47下列图中一共有多少个矩形(顶点不完全相同就视作不一样矩形)．混同分步、分类致误典例538/47[错解]

按横行进行分类：第一类，由A行和B行组成矩形有15个．第二类，由B行和C行组成矩形有15个．第三类，由C行和D行组成矩形有15个．由分类加法原理知，不一样矩形共有15＋15＋15＝45个．[辨析]

完成一个矩形，既要考虑横线由哪两条组成，也要考虑竖线由哪两条组成，只有当两条横线与两条竖线都确定时，这个矩形才算完成，故这是分步乘法计数原理．39/47[正解]我们只要在A、B、C、D四条横线中选取2条，在1、2、3、4、5、6这6条竖线中选取两条，就能确定一个矩形，如图中矩形B2D2D5B5是由横线B2B5、D2D5和竖线B2D2、B5D5围成．40/47选取横线有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种不一样方法，选取竖线有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种不一样方法