高中数学第一章解三角形章末复习提升

第一章解三角形章末复习提升1/39一、本章知识网络二、题型探究三、思想方法总结栏目索引2/39一、本章知识网络返回3/39二、题型探究题型一利用正弦、余弦定了解三角形1.解三角形四种类型已知条件应用定理普通解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所正确角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解4/39三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解2.三角形解个数判断已知两边和其中一边对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解情况，这时应结合“三角形中大边对大角”进行判断，此时普通用正弦定理，但也可用余弦定理.5/39若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a,b,A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不一样正数解，则三角形有两解.6/39(1)求边长a；解析答案7/39sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC8/39(2)设AB中点为D，求中线CD长.解由余弦定理得所以c＝2，又因为D为AB中点，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB解析答案9/39∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件，应用正弦定理得解析答案10/39题型二判断三角形形状1.利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状两种方法方法一：经过边之间关系判断形状；方法二：经过角之间关系判断形状.利用正弦、余弦定理能够将已知条件中边、角互化，把条件化为边关系或化为角关系.11/392.判断三角形形状时惯用结论(1)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC.12/39

解析答案

13/39跟踪训练2在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，请判断三角形形状.解析答案14/39解∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴(a2＋b2)(sinAcosB－cosAsinB)＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB)，∴2b2sinAcosB－2a2cosAsinB＝0，解析答案15/39又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.16/39题型三正弦、余弦定理实际应用正弦、余弦定理实际应用应注意问题(1)认真分析题意，搞清已知元素和未知元素，依据题意画出示意图；(2)明确题目中一些名词、术语意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；(3)将实际问题中数量关系归结为数学问题，利用学过几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；(4)在选择关系时，一是力争简便，二是要尽可能使用题目中原有数据，尽可能降低计算中误差积累；(5)按照题目中已经有准确度计算，并依据题目要求准确度确定答案并注明单位,最终作答.17/39例3如图，a是海面上一条南北方向海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P一个声波信号，8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号，在当初气象条件下，声波在水中传播速度是1.5km/s.(1)设A到P距离为xkm，用x表示B，C到P距离，并求x值；解析答案18/39解由题意得PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km).∴PB＝x－12，PC＝18＋x.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，19/39(2)求静止目标P到海防警戒线a距离(准确到0.01km).解析答案解作PD⊥a于D，在Rt△PDA中

，PD＝PAcos∠APD所以静止目标P到海防警戒线a距离为17.71km.20/39跟踪训练3

如图所表示，A，B两个小岛相距21nmile，B岛在A岛正南方，现在甲船从A岛出发，以9nmile/h速度向B岛行驶，而乙船同时以6nmile/h速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，则行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船最近距离.解析答案21/39

解析答案22/39

23/39题型四与三角形相关综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形一些边角关系，因为正弦定理和余弦定理都是关于三角形边角关系等式，经过定理利用能够实现边角互化，在边角互化时，经惯用到三角函数中两角和与差公式及倍角公式等.24/39(1)求角C；解析答案25/39

26/39(2)求a，b值.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，解析答案∴a＋b＝13. ②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8.27/39解由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，解析答案跟踪训练4

在△ABC中，设角A，B，C对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB.(1)求角C大小；28/39∴a＝2sinA，b＝2sinB，解析答案返回29/39三、思想方法总结1.函数与方程思想应用与函数思想相联络就是方程思想.所谓方程思想，就是在处理问题时，用事先设定未知数沟通问题所包括各量间制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量值，使问题取得处理，所设未知数沟通了变量之间联络.方程能够看做未知量与已知量相互制约条件，它架设了由已知探索未知桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.30/39例1在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a，c长.解析答案31/39由余弦定理及a＋c＝8，得解析答案32/39解析答案33/392.分类讨论思想一些问题在一定条件下解有各种情况，在解题过程中，应分析条件及在每个条件下所产生结果.分类讨论思想在历年高考中是必考，在讨论时应做到不重不漏，并注意各种情况包含交叉内容.34/39

解析答案35/39解由题可知a<b，A＝30°<90°，∴三角形有两解.∴B＝60°或B＝120°.当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝5.综上，B＝60°，C＝90°，c＝10或B＝120°，C＝30°，c＝5.36/391.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角正弦值也较大，正弦值较大角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sinA＞sinB.2.依据所给条件确定三角