2025年 九年级数学中考二轮复习 二次函数与特殊平行四边形综合压轴题 考前冲刺专题训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》考前冲刺专题训练（附答案）1．如图，已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B的坐标为−1,2，抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的正半轴的交点，作直线AB，点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ

(1)填空：b=________，c=________；(2)当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值；(3)当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．如果四个点0,0、0,2、1,1、−1,1中恰有三个点在二次函数y=ax2（a为常数，且(1)a=__________；(2)如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且AD⊥y轴，则菱形的边长为__________；(3)如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n−m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．3．如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为6,0，点C坐标为0,6，点D是抛物线的顶点，过点D作x备用图(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；(3)若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，已知抛物线y=x2+2x−3的图像与坐标轴分别交于A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；(2)若点P为直线FM下方抛物线上动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角形时，求点P的坐标；(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．5．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−x2−2x+c(c为常数)与一次函数y=−x+b(b为常数)的图像交于A,B两点,其中A(1)求B点坐标．(2)点P为直线AB上方抛物线上一点,连接PA,PB,当S△PAB=125(3)将抛物线y=−x2+2x+c(c为常数)沿射线AB平移52个单位长度,平移后的抛物线y1与原抛物线y=−x2−2x+c相交于点E,点F为抛物线y1的顶点,点M为y6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A4,0、B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，点M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．7．综合与探究如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A1,0,C0,−3,Bn,0，连接AC，点M是(1)求抛物线的解析式及n的值；(2)点D在抛物线的对称轴上，若△ACD的周长最小，则点D的坐标为______；(3)求线段FM的长及∠AFM的度数；(4)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．综合与探究如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A

(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为二次函数位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求△ABD面积的最大值；(4)在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−2,0，B4,0两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于点D，点Q为直线AD上一动点，连接CP，CQ，BP，BQ，求四边形BPCQ面积的最大值及此时点(3)将抛物线向右平移1个单位，M为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由10．如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0经过x轴上A−1(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线与直线y=−x−1交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标；(3)F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由．11．如图，抛物线y=ax+22−9aa>0与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为(1)直接写出点C的坐标______（用含a的式子表示）；(2)求点B的坐标；(3)以BC为边，在BC边的右下方作正方形BCDE，设点D的坐标为(m,n)．①当∠ABC=30°时，求点D的坐标；②当∠ABC=45°时，直接写出点③直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．12．如图，已知直线y=x+1与抛物线y=−x2+mx+n交于A、D两点且A点在x轴上，抛物线与x轴另一个交点为B，与y(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，求线段FG的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点Q的坐标．13．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y=x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值．②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0和B−5,0(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m−5<m<0与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交x轴交于点E．当DF取得最大值时，求m的值和DF(3)若抛物线y=−x2+bx+c的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A−4,0，B2,0(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线AC上方抛物线上任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，求PD+DH的最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出来．16．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为3,0，点C的坐标为0,3(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD、PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．17．如图1，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A−1,0，B(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx−3a≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4a≠0与x轴交于点A−2,0、点B

(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC下方抛物线上一动点，作PE∥y轴交BC于点E，PF∥x轴交BC于点F，当PE+PF的值最大时，求点P的坐标和(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4a≠0沿射线CB方向平移22个单位，得到新的抛物线y1，新抛物线y1与原抛物线交于点M，点N为抛物线y1对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点P，M，19．如图1，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于点A−1,0和点B，与y(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC上方该抛物线上任意一点，过点P作PF∥y轴交BC于点F，作PE⊥BC于点E，当PF的值最大时，求点P的坐标，并求出此时PF+PE的最大值；(3)如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移22个单位后得到新抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线的交点为M．在新抛物线y′的对称轴上有一点N，在平面内有一点K，是否存在以点P,K,M,N为顶点的四边形是以PN为边的菱形？若存在，请直接写出点K的坐标并写出求解K20．如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A−4,0，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过点

(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求△CPN的面积；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）解：∵抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点∴y=−1∴b=−1，c=3故答案为：−1，32（2）解：令y=0，由−12x2−x+∴A1,0设直线AB的解析式为y=kx+t，将A1,0，B−1,2代入，得k+t=0−k+t=2∴直线AB的解析式为y=−x+1，根据题意，Pm,−12m2∴d=PQ=−12m∵−1∴当m=0时，d最大，最大值为12（3）解：由题意，Pm,−12当点P在对称轴的左侧时，点P在直线AB的下方，则m<−1，抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标为2，最低点纵坐标为−1由题意，2−−12m2∴P−3,0当点P在对称轴的右侧且在直线AB上方时，抛物线被矩形PQMN截得的部分为点P，不符合题意；当点P在对称轴的右侧且在直线AB的下方时，m>1，抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标为−m+1，最低点纵坐标为−1由题意，−m+1−−12m2则−1∴P5综上，满足条件的点P坐标为−3,0或5,−1−2．（1）解：在y=ax2中，当x=0时，∴0,2不在二次函数图象上，将1,1代入y=ax2，解得故答案为：1；（2）解：由①知，二次函数解析式为y=x∴二次函数对称轴为y轴，设菱形的边长为p，则AD=BC=p，∵AD⊥y轴，∴Dp,由菱形的性质得BC∥AD，AB=CD，∴BC⊥y轴，∴B、C关于y轴对称，∴Cp∵CD∴p−p解得p=0（舍去），p=−233∴菱形的边长为23（3）解：如图2，连接AC、BD交点为E，过B作MN⊥y轴于M，过C作CN⊥MN于N，

由正方形的性质可知，E为AC、BD的中点，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°=∠CBN+∠BCN，∴∠ABM=∠BCN，∵∠ABM=∠BCN，∠AMB=∠BNC=90°，AB=BC，∴△AMB≌△BNCAAS∴AM=BN，BM=CN，由题意知，Bm,m2，Dn,n2，设A0,q，则Cm+n,m∴AM=q−m2，BN=n，BM=m，∴q−m2=n∴n2∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，∴m+n≠0，∴n−m=1，∴n−m是定值，值为1；3．（1）解：将点B6,0，点C0,6代入函数解析式，可得0=−18+6b+c6=c解得b=2c=6故函数解析式为y=−1∵−b当x=2时，y=−2+4+6=8，∴D（2）解：如图，过点F作FG⊥AB交于点G，设Fa,−∴FG=−∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°，∴△FGB∽△BED，∴FG∵BE=4，DE=8，BG=6−a，∴−当点F在x轴上方时，可得−1解得a1此时点F−1,当点F在x轴下方时，可得12解得a3此时点F−3,−综上所述，点F的坐标为−1,72或（3）解：考虑两种情况：①如图，过点P作x轴，y轴的垂线段，分别交于点M,Q，∵四边形PBFG是正方形，∴PG=PB，∠GPB=90°∴∠QPG=∠QPM−∠GPM，∠MPB=∠GPB−∠GPM，∴∠QPG=∠MPB，∵∠PQG=∠PMB=90°，∴△QPG≌△MPBAAS∴PQ=PM，设Pm,−∴可得m=−1解得m1∴P点横坐标为1+13②如图，过点P作x轴，y轴的垂线段，分别交于点M,N，同理可得△GNP≌△BMPAAS∴PN=PM，∴−m=−1解得m3综上所述，点P的横坐标为3−21或1+4．（1）解：y=x2+2x−3∴F(−1,0)，当x2x=1或x=−3，∴A(1,0),B(−3,0)，当x=0时，y=x∴C(0,−3)，点M是AC的中点，∴M(1（2）由（1）可得直线FM的表达式为：y=−x−1，∵PQ∥∴∠MQP=45°，故点Q不可能是直角顶点，若∠MPQ=90°，如图，则PM∥把y=−32代入x2解得：x1=−2+∴P若∠PMQ=90°，如图过点M作MH⊥x，∵F(−1,0)，M(12∴H(1∴FH=MH=3∴△MFH是等腰直角三角形，∴∠HFM=∠GFM=45°，∵∠PMQ=90°，∴△MFG是等腰直角三角形，∴F与点G关于直线y=−3∴设直线PM的表达式为y=mx+n，把M(1m=1,n=−2，∴直线PM的表达式为y=x−2，∴y=x−2解得：x1=−1+把x2=−1−y=−5−∴P综上所述，点P的坐标为P1(−2−（3）∵F(−1,0)，M(1∴FM=(−1+设N(x1,0)当MN⊥FM时，直线FM的表达式为：y=−x−1，则设直线MN的表达式为：y=x+b，把M(12,−32则直线MN的表达式为：y=x−2，把N(x1,0)代入y=x−2则N(2,0)，∴MN=(2−∴MN=FM=3当F、M、N、E为顶点的四边形是正方形时，则x+122∴E当FN⊥FM时，直线FM的表达式为：y=−x−1，则设直线FN的表达式为：y=x+b把F(−1,0)代入y=x+b得b1则直线MN的表达式为：y=x+1，把N(x1,0)代入y=x+1则N(−1,0)与F(−1,0)重合，舍去不符合题意；当FN⊥MN时，则N(1则可设E(−1,y)，同理可得则0+y2=0−∴E综上所述，满足条件的点E的坐标为E1(15．（1）解:∵抛物线y=−x2−2x+c∴−9+6+c=0,解得:c=3,∴y=−x∵一次函数y=−x+b的图像经过A−3,0∴3+b=0,解得:b=−3,∴y=−x−3,∴y=−x2−2x+3y=−x−3,解得∴B2,−5（2）解:如图1,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q,∴∠OAD=45°,设Pt,−t2∴PQ=−t∴S△PAB==1=5∴4t2+4t+1=0∴P−（3）解:存在.如图2,直线AB与y轴交于点D,∴∠OAD=45°,令x=0,则y=∴D0,−3∴OD=3,∵A−3,0∴OA=3,∴OA=OD,∵∠AOD=90°,∴∠OAD=45°,∴抛物线y=−x2−2x+3沿射线AB平移52个单位长度,即先向右平移∵y=−x∴平移后抛物线的解析式为y1∵点F为抛物线y1∴F4,−1∴y=−x2−2x+3∴E2,−5当EF为对角线,且四边形FMEN是菱形时,EF,MN互相平分,MF=ME,设对角线EF,MN相交于点H,∵E2,−5∴H3,−3设点M0,m∴p∴p=6,m+q=−6,∴q=−6−m,N6,−6−m∵ME∴m2+10m+29=∴−6−m=−6+3∴N6,−6．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A4,0、B∴16a+4b+c=04a−2b+c=0解得：a=−1∴y=−1（2）解：∵A4,0，设直线AC的解析式为y=kx+4，将A4,0代入得0=4k+4解得：k=−1∴直线AC的解析式为y=−x+4∵y=−∴抛物线的对称轴为直线x=−设Pm,−12m2+m+4∴PE=−12m∴PE+PF=−∵−∴当m=3时，PE+PF取得最大值，最大值为72，此时P（3）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于∴该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于点10,0，4∴H∵点M为平移前抛物线对称轴上一点∴设M∵P∴PH2M①当MH为对角线时，PH=PM∴29解得：t=5±∴M∵H4,0,P设Nx,y，则解得：x=2y=13∴N的坐标为2，132②当MP为对角线时，则PH=MH∴294①当PH为对角线时，则PM=MH∴t解得：t=∴M∵H4,0,P设Nx,y，则解得：x=6∴N的坐标为6，综上所述，N2,132或7．（1）解：将A1,0,C0,−3，代入y=解得，b=2c=−3∴抛物线的解析式为y=x∴对称轴为直线x=−2∴B−3,0∴n=−3；（2）解：如图1，连接BC，交对称轴于D，连接AD，

由轴对称的性质可知，AD=BD，∴△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+BD+CD，∴当B、D、C三点共线时，△ACD的周长最小，设直线BC的解析式为y=kx+b将B−3,0，C0,−3代入得解得k=−1b∴直线BC的解析式为y=−x−3，当x=−1是，y=1−3=−2，∴D−1,−2故答案为：−1,−2；（3）解：连接BC，如图，由题意知，OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC由勾股定理得，BC=O由题意知，点F是AB的中点，∵点M是AC的中点，∴FM是△ABC的中位线，∴FM=1∴∠AFM=∠ABC=45°，∴FM的长为322，∠AFM的度数为（4）解：由题意知，F−1，0∵点N是x轴上一动点，以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形，∴分当FM为边长，FM为对角线两种情况求解：①当FM为边长时，则FN为对角线，如图2，四边形FMN1

∵∠AFM=45°，四边形FMN∴M、E1关于∴E1②当FM为对角线时，FN为边长，如图2，四边形FN∵∠AFM=45°，四边形FN∴FE2⊥F∴E2综上，点E的坐标为12，38．（1）解：将A−1,0，B4,5代入y=x解这个方程组得m=−2n=−3∴抛物线的解析式为：y=（2）解：如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A−1,0，B4,5代入得−k+b=04k+b=5解得k=1b=1∴直线AB的解析式为：y=x+1，由（1）知抛物线y=x2∵点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC≥AB，∴当点C在AB上时，AC+BC最小，把x=1代入y=x+1，得y=2，∴点C的坐标为1,2，故答案为：1,2；

（3）解：如图，由（2）知直线AB的解析式为y=x+1，

设Dd,d2则DE=(d+1)−d当d=32时，DE有最大值为∴△ABD面积的最大值为12（4）解：如图，∵直线AB的解析式为：y=x+1，∴直线与y轴的交点为D0,1，OD=1∵A(−1,0)，OA=1，∴OA=OD,∠DAO=∠ADO=45°，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作CM1⊥y轴于点M1，则△DM1C依题意，知D与F重合，点N1的坐标为1,1

②以M1为中心分别作点F，点C的对称点M2,N2，连接CM2

③延长N2M2到N3使N3M2=M2C

④取M2C的中点N4，FC的中点F2，则M1

综上所述，点N的坐标为：N9．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A∴y=−x+2（2）解：∵y=−x∴当x=0时，y=8，∴C0,8设直线BC的解析式为：y=kx+8，把B4,0代入，得：0=4k+8，解得：k=−2∴直线BC的解析式为y=−2x+8．如图，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点H，设点P的坐标为（m,−m2+2m+8)，则H∴PH=−m∴S△BCP∵AD∥BC∴△BCQ和△BCA的BC边上的高相等，∴S△BCQ∴S=S===−2m−2∵−2<0，∴当m=2时，四边形BPCE的面积最大为32，此时P2,8（3）解：∵y=−x∴抛物线向右平移一个单位，得到新的抛物线的解析式为：y=−x−2∴新的抛物线的对称轴为直线x=2，设M2,t∵B4,0∴BC=45，C当BC为菱形的边时：分两种情况：①四边形BCNM为菱形，∵点B先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点C，∴点M先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点N，∴N−2,t+8∵BC=BM，∴t2解得：t=±219∴N−2,±2②四边形BCMN为菱形，∵点C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点B，∴点M先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点N，∴N6,t−8∵BC=CM，∴t−82解得：t=8±219∴N6,±2当BC为对角线时：此时MN为另一对角线，则BC垂直平分MN，∵BC的中点为2,4，又M的横坐标为2，∴不存在点N，能构成菱形．综上：N−2,±219+810．解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，且过点A−1∴B3将A−1，0，B3，解得，a=−1b=2∴抛物线的函数表达式为y=−x（2）解：如图1，连接BE，记直线AE与y轴的交点为D，

联立y=−x−1y=−解得，x1=−1y∴E4∴AE=4−当x=0时，y=−02+2×0+3=3∴OC=3=OB，∴∠CBO=45°，当x=0时，y=−0−1=−1，即D0∴OA=1=OD，∴∠OAD=45°，∴∠CBP=∠BAE，即AE∥BC，设Pm，0∵以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，分△BPC∽△ABE，△BCP∽△ABE，两种情况求解；①当△BPC∽△ABE，∴PBAB=BC解得，m=35，即②当△BCP∽△ABE，∴PBAE=BC解得，m=−92，即综上所述，点P的坐标为35，0（3）解：不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，理由如下：由题意知，若A，E，D，F四点组成的四边形是矩形，存在两种情况，①假设AE为矩形的一边，则D，F必在直线AE的同侧，过A，E作直线AE的垂线交直线BC于F1、F由（2）可知，直线AE∥BC，∴当点F必在F1、F2处，而点D必须在D1、D2处，由图可知，此时②假设AE为矩形的对角线，则D，F必在直线AE的两侧，取A，E的中点Q，以Q为圆心，以AQ为半径画⊙Q，交直线BC于F1、F2，作射线F1Q交抛物线于∴当点F必在F1、F2处，而点D必须在D1、D2处，由图可知，此时综上所述，不存在这样的点F，使A，E，D，F四点组成的四边形是矩形．11．解：（1）∵抛物线y=ax+22−9a∴C−2,−9a故答案为：−2,−9a；（2）在y=ax+22−9a中，令y=0∵a>0，∴x+22−9=0，解得x=−5而点A在点B的左侧，∴B1,0（3）①过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：∵C−2,−9a，B∴BF=OB+OF=3，∵∠ABC=30°，∴CF=BF⋅tan∵四边形BCDE是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∴∠FCB=90°−∠GCD=∠CDG，∵∠BFC=∠G=90°，∴△BFC≌△CGDAAS∴BF=CG=3，CF=DG=3∴GF=3+3，∴D（②过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：∵C−2,−9a，B∴BF=OB+OF=3，∵∠ABC=45°，∴CF=BF⋅tan∵四边形BCDE是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∴∠FCB=90°−∠GCD=∠CDG，∵∠BFC=∠G=90°，∴△BFC≌△CGDAAS∴BF=CG=3，CF=DG=3，∴GF=6，DG−OF=1，∴D1③过C作y轴平行线交x轴于F，过D作DG⊥CF于G，如图：∵C−2,−9a，B∴BF=OB+OF=3，CF=−9a∵四边形BCDE是正方形，∴BC=DC，∠BCD=90°，∴∠FCB=90°−∠GCD=∠CDG，∵∠BFC=∠G=90°，∴△BFC≌△CGDAAS∴CG=BF=3，DG=CF=9a，∵D的坐标为m,n，∴m=−9a−3，n=−2+9a，∴m+n=−5∴n=−5−m，∵在BC边的右下方作正方形BCDE，∴m>−2，答：n=−5−m（12．（1）解：在y=x+1中，当y=0时，0=x+1，解得x=−1，则A−1,0把C0,3，A−1,0代入y=−∴m=2n=3∴抛物线的解析式为y=−x（2）记AD于y轴的交点为E，当x=0时，y=x+1=1，则E0,1∴OA=OE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴∠EAO=∠AEO=45°，过F作FN∥y轴交AD于∴∠FNG=45°，∴△FGN为等腰直角三角形，∴FG=2设Fx,−x2∴FN=−x当x=12时，FN有最大值∴FG的最大值为：94（3）如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R，y=−x2+2x+3=−设直线AM的解析式为y=mx+n，把A−1,0、M1,4分别代入得解得m=2n=2∴直线AM的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则R0,2设P0,y，而四边形APQM∴∠RAP=90°，∴2−y2解得：y=−12，即由平移的性质可得：Q2,如图，当P在AM的左边，同理可得：y−22解得：y=92，即由平移的性质可得：Q−2,综上：Q2,7213．（1）解：依题意，抛物线的顶点坐标为5,6，设抛物线的解析式为y=ax−5测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，则抛物线经过当x=10时，y=0，即a10−52+6=0∴抛物线解析式为y=−6（2）解：依题意，当宽度为6m、高度为3.2∴6÷2=3，将x=5−3=2代入解析式得：y=−63.2+0.2+0.5=3.9>3.84，∴该货船不能通过；（3）解：①∵y=−6抛物线的对称轴为直线x=5，∵y=x交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，∴E5,5∴∠EOA=45°，∵BD⊥OF，则△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=2∴BD+CD=2设点Bm,−625∴BC=−625m−52+6−m=−625则BD+CD的最大值为4924②由①可得∠EGH=45°，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，△EGH是等腰直角三角形，∴HG=HE，且∠EHG=90°，∵E5,5∴H的纵坐标为5，将y=5代入y=−解得：x=−56∴G的横坐标为x=−566又∵G为直线OF上一动点，∴G−5614．（1）解：将点A1,0和B−5,0代入y=−x解得b=−4c=5则抛物线的函数解析式为y=−x（2）解：由题意可知，点D的坐标为Dm,−对于二次函数y=−x当x=0时，y=5，即C0,5设直线BC的解析式为y=k将点B−5,0和C0,5代入得：−5k则直线BC的解析式为y=x+5，∴Fm,m+5∴DF=−m由二次函数的性质可知，当m=−52时，DF取得最大值，最大值为（3）解：y=−x则此二次函数的顶点坐标为P−2,9，对称轴为直线x=−2可设点Q的坐标为Q−2,n∴PQ2=n−92①如图1，当CQ为菱形的对角线，PQ=PC时，∴PQ2=PC解得n=9±25∴Q−2,9+25或由菱形的性质可知，PQ∥CR,CR=PQ=25∵C0,5∴当点Q的坐标为Q−2,9+25时，当点Q的坐标为Q−2,9−25时，②如图2，当PQ为菱形的对角线，QC=PC时，∴QC2=PC解得n=1或n=9（此时点Q与点P重合，舍去），∴Q−2,1设此时点R的坐标为Rn∵菱形的对角线互相平分，∴n1+02∴此时点R的坐标为R−4,5③如图3，当CP为菱形的对角线，PQ=QC时，∴PQ2=QC解得n=13∴Q−2,132由菱形的性质可知，PQ∥CR,CR=PQ=5∵C0,5∴R0,5+52综上，点R的坐标为0,5+25或0,5−25或−4,5或15．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A∴16a−4b+4=04a+2b+4=0解得：a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）∵C0,4，A∴设直线AC的解析式为y=kx+b，∴解得b=4k=1∴直线AC的解析式为y=x+4；∴设点Pm,−12∴PD=−1∴DH=−m∴PD+DH=−1∴PD+DH的最大值为92∴当PD+DH的最大值时，m=−3，∴P−3,（3）∵抛物线y=−1∴y=−1∵将抛物线y=−1∴新抛物线为：y=−1令−1解得：x=0，∴当x=0时，y=4，∴E0,4∵B2,0∴EB=4设M1,m，N当EM为对角线时，BE=BM，EM与BN互相平分，∴2解得：m=±19∴M1,19或∴EM的中点坐标为12,4+∵EM与BN互相平分，∴1+02=s+2即N−1,4+19或当EN与BM为对角线时，BE=EM，EN与BM互相平分，25=1∵EN与BM互相平分，∴∴s+02=1+2即N3,19或当BE与MN为对角线时，MB=EM，BE与MN互相平分，12+m−4∵BE与MN互相平分，∴∴2+02=1+s即N1,2，此时M综上点N坐标为−1,4+19或−1,4−19或3,1916．（1）解：把B点坐标、点C的坐标为代入抛物线y=−x−9+3b+c=0c=3解得b=2c=3∴抛物线的解析式为y=−x（2）解：存在．∵抛物线的解析式为y=−x∴抛物线的对称轴对称为直线x=1，∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点C的坐标为0,3，∴点D的坐标为2,3，设点P1,m设抛物线对称轴交x轴于点T，过点D作DM⊥PT于点M，∵∠DPB=90°，∠DMP=90°，∴∠MDP+∠MPD=90°，∠MPD+∠BPT=90°，∴∠MDP=∠BPT，∴tan∠MDP=∴3−m2−1解得m=1或m=2；∴点P的坐标为1,1或1,2，∴PD=2或5，PB=22或∴tan∠BDN=BNDN（3）解：①当点Q在x轴上方时，设点Q坐标为t,−t∵点A、B关于直线x=1对称，点B的坐标为3,0，∴点A的坐标为−1,0，∴AQ所在的直线方程为：y=3−t如图所示，连接CA、QB，过点Q作x轴的垂线QN交x轴于N点，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，即S四边形∵S四边形=1=3S△ABQ∴32整理得，5t解得t=−1（不合，舍去）或t=12∴点Q坐标为125②当Q在x轴下方时，∵△ACQ的面积与△ABQ的面积相等，∴点B、C到AQ的距离相等，即AQ∥BC设直线BC的函数解析式为y=kx+n，把点B、C的坐标代入得，3k+n=0n=3解得k=−1n=3∴直线BC的表达式为y=−x+3，∴AQ的表达式为y=−x+1联立函数式得，y=−x解得x=−1y=0或x=4∴故点Q坐标为4,−5，综上，点Q坐标为125,5117．（1）解：把A−1,0和B3,0代入a−b−3=09a+3b−3=0解得：a=1b=−2∴抛物线的解析式为y=x（2）解：抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）与y轴交于点C，令x=0∴C点的坐标为0,−3，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C点的坐标代入得：3k+b=0b=−3解得：k=1b=−3∴直线BC的解析式为y=x−3，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设Pa,a2∴Ma,a−3，N∴PM=−a2+3a∴PM+QN=−2a当a=1时，PM+QNmax∴Q2,−3（3）解：由题意可得：y′∴y′的对称轴为x=2∴抛物线y=ax2+bx−3a≠0与∴C0,−3∵B3,0∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴∵D在y′的对称轴为x=2∴FD=2，∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D2,−5∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到E5,−2当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：

设y′的对称轴为x=2与x轴交于F∵D在y′的对称轴为x=2∴FO=2，∴BF=3−2=1，∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，∴BF=FD=3−2=1，即点D2,1∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E−1,−2综上分析可知，点E的坐标为：5,−2或−1,−2．18．（1）解：将点A−2,0、点B4,0代入得：4a−2b−4=016a+4b−4=0解得：a=1∴抛物线的解析式为：y=1（2）令x=0，则y=−4，∴点C0,−4设直线BC的表达式为：y=mx+n，将点B4,0，点C4m+n=00+n=−4解得：m=1n=−4∴直线直线BC的表达式为：y=x−4，∠OCB=∠PEF=45°，∴PE=PF，设点Ex,x−4，则P则PE+PF=2PE，即2x−4−∵−1<0，∴PE+PF由最大值为4，此时点P2,−4（3）将抛物线y=12x2−x−4沿射线CB方向平移2则新抛物线的表达式为：y1=1联立y