第10讲 不等式及其性质（七大题型）（原卷版）

第10讲不等式及其性质（七大题型）1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2.理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．知识点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．题型1：判断不等式【典例1】．在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①；②；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【典例2】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型2：不等式的含义【典例3】．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克【典例4】．2021年9月20日，由中国航天科技集团五院抓总研制的天舟三号货运飞船在文昌航天发射场成功发射．随后，按计划安排，将与空间站核心舱和天舟二号组合体实现自主快速交会对接．据悉天舟三号货运飞船本次运送物资不到6吨．若用x表示货运飞船的载货质量，则对x的取值理解最准确的是（

）（单位：吨）A． B． C． D．题型3：列不等式【典例5】．x与y的差为负数，用不等式表示为（

）A． B． C． D．【典例6】．下面列出的不等式中，正确的是（

）A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成题型4：列不等式表示数学语言【典例7】．用不等式表示“7与m的3倍的和是非正数”就是．【典例8】．根据数量关系列不等式：与的倍的和是负数．【典例9】．用不等式表示“a的2倍与1的和是正数”：．【典例10】．用不等式表示：(1)的2倍与4的差是正数；(2)的与的和是负数；(3)与的差是非负数；(4)的与15的和的是负数；(5)的绝对值与1的和不小于1；(6)的与的和不大于的2倍与1的差．题型5：不等式的基本性质【典例11】．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．(1)，两边同加上y．(2)，两边同乘．(3)，两边同除以．(4)，两边同加上，再同除以7．【典例12】．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由．(1)a+3________b+3．(2)a-4________b-4．(3)a_______b．(4)-2a________-2b．(5)3a-1________3b-1．(6)1-a________1-b．【典例13】．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【典例14】．根据不等式的基本性质填空：（1）已知，则；（2）若，则．（填“”“”或“”）【典例15】．已知，试比较大小：（填“”或“”）．【典例16】．如果，则（填“＞”、“＜”或“＝”）题型6：不等式的性质拓展【典例17】．已知x＞y．(1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由；(2)若，求m的取值范围．【典例18】．请解决以下两个问题：(1)利用不等式的性质1比较与的大小；(2)利用不等式的性质2比较与的大小．【典例19】．根据等式的性质和不等式的性质，我们可以得到比较两个数量大小的方法：若，则；若，则；若，则，这种比较大小的方法称为“作差比较法”，试比较与的大小．【典例20】．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1)①如果，那么a______b；②如果，那么a______b；③如果，那么a______b．(2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：①比较与的大小；②若，比较a，b的大小．题型7：不等式的解集【典例21】．下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个【典例22】．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（

）A． B． C． D．【典例23】．下列说法错误的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【典例24】．在四个数中，满足不等式的有（

）A．－2 B．－3 C． D．1【典例25】．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（）A．若点在点左侧，则解集为B．若点在点右侧，则解集为C．若解集为，则点必在点左侧D．若解集为，则点必在点右侧【典例26】．如果关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C． D．一、单选题1．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．下列说法中，正确的是（

）A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则C．c不大于-1，则 D．d是负数，则3．由，得到，应满足的条件是（

）A． B． C． D．4．、是实数，且，，则下列判断中正确的是（

）A．， B．， C．， D．，5．如图，甲、乙、丙玩跷跷板(支点在中点处)，则甲、乙、丙三人体重最重的是()A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定6．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（）A． B． C． D．7．若、是有理数，则下列说法中正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．若则8．下列各式中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则9．下列说法正确的是（）．A．x=1是不等式2x＜1的解 B．x=3是不等式-x＜1的解集C．x＞-1是不等式-2x＜1的解集 D．x＞-1是不等式-x＜1的解集10．下列说法中，错误的是(

)A．不等式的解集是B．不等于的正数解有有限个C．不是不等式的解D．若，则11．关于x的不等式－x+a≥1的解集如图所示，则a的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．212．下列四个不等式：；；；,一定能推出的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是．（填序号）14．“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为．15．设“▲”“■”表示两种不同的物体,现用天平称量,情况如图所示.设一个“▲”的质量为Akg,一个“■”的质量为Bkg,则可得A与B的关系是AB．16．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系：（1）是正数：；（2）是负数：；（3）不小于4：；（4）是非负数：；（5）的2倍比9大：；（6）的一半与8的和是负数：；（7）的3倍与5的和大于的：；（8）相反数是非正数：；17．设，用“”或“”填空：（1）；（2）．18．在，，，0，1，3中，是不等式的解的有，是不等式的解的有．19．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为．20．若，，，，，则、、之间的大小关系是．三、解答题21．用不等式表示（1）a的与一1的差是非正数．

（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．（3）a的减去4的差不小于-6．（4）x的2倍与y的和不大于5．（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．22．在公路上，同学们常能看到如图所示的几种不同交通标志图形，它们有着不同的意义，如果设汽车载重为x，速度为y，宽度为l，高度为h，请你用不等式表示图中各种标志的意义．23．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”．（1）______．（2）________0．（3）__________．（4）________．（5）________．（6）_______．（7）________．（8）_______．24．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）；（2）；（3）；（4）．25．若，试比较下列各式的大小并说明理由．（1）与；（2）与．26．在－4，－2，－1，0，，1.5，2中，哪些数能使不等式x－1>－2成立？27．把如图所示的关于的不等式的解集表示出来：（1）

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