第8章 整式乘法与因式分解（教师版）3

2023-2024学年沪科新版数学七年级下册章节培优复习知识讲练第8章整式乘法与因式分解（思维导图+知识梳理+十九大重点考向举一反三讲练）1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.知识点01：幂的运算【高频考点精讲】1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法【高频考点精讲】1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.知识点03：乘法公式【高频考点精讲】1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解【高频考点精讲】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.【易错点剖析】落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.重点考向01：科学记数法—表示较小的数重点考向02：同底数幂的乘法重点考向03：幂的乘方与积的乘方重点考向04：同底数幂的除法重点考向05：完全平方公式重点考向06：完全平方公式的几何背景重点考向07：完全平方式重点考向08：平方差公式重点考向09：平方差公式的几何背景重点考向10：整式的混合运算—化简求值重点考向11：因式分解-提公因式法重点考向12：因式分解-运用公式法重点考向13：提公因式法与公式法的综合运用重点考向14：因式分解-分组分解法重点考向15：因式分解-十字相乘法等重点考向16：实数范围内分解因式重点考向17：因式分解的应用重点考向18：零指数幂重点考向19：负整数指数幂重点考向01：科学记数法—表示较小的数【典例精讲】（2023秋•咸安区期末）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（）A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【规范解答】解：0.0000893＝8.93×10﹣5，故选：A．【考点评析】此题考查科学记数法，会确定n的值是解题的关键．【变式训练1-1】（2023秋•陇县期末）石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为3.4×10﹣7．【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．故答案为：3.4×10﹣7．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【变式训练1-2】．（2023春•和平区校级月考）科学家发现一种病毒的直径为0.000104毫米，用科学记数法表示为1.04×10﹣4毫米．【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规范解答】解：0.000104＝1.04×10﹣4，故答案为：1.04×10﹣4．【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．重点考向02：同底数幂的乘法【典例精讲】（2024•金水区校级开学）下列四个算式：①a6•a6＝2a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】根据同底数幂的乘法：同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．【规范解答】解：①a6•a6＝2a6，底数不变指数相加，故①错误；②m3+m2＝m5，不是同底数幂的乘法指数不能相加，故②错误；③x2•x•x8＝x11，底数不变指数相加，故③正确；④y2+y2＝y4，同类项相加，y2+y2＝2y2，故④错误；所以计算正确的有：1个．故选：B．【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．【变式训练2-1】（2023秋•道县期末）已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝16．【思路点拨】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．【规范解答】解：∵3m＝8，3n＝2，∴3m+n＝3m•3n＝8×2＝16．故答案为：16．【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法，熟记同底数幂相乘，底数不变指数相加并灵活运用是解题的关键．【变式训练2-2】（2023春•茂名期末）阅读下列材料：若a，b两数满足ax＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2．请根据以上规定，回答下列问题：（1）根据上述规定要求，请完成填空：（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，（﹣，﹣）＝3．（2）计算（3，2）+（3，4）＝（3，8），并写出计算过程；（3）直接写出结果：①（5，10）﹣（5，2）＝1；②（10，4）×（2，10）＝2．【思路点拨】（1）根据题目定义，运用乘方运算求解；（2）运用同底数幂的乘法运算求解；（3）运用同底数幂的除法，幂的乘方运算求解．【规范解答】解：（1）∵33＝27，（﹣2）4＝16，，∴（3，27）＝3，（﹣2，16）＝4，．故答案为：3，4，．（2）设（3，2）＝m，（3，4）＝n，则3m＝2，3n＝4，∴3m×3n＝3m+n＝2×4＝8，∴m+n＝（3，8），∴（3，2）+（3，4）＝（3，8）．故答案为：3，8．（3）①设（5，10）＝p，（5，2）＝q，则5p＝10，5q＝2，∴，∴p﹣q＝1，∴（5，10）﹣（5，2）＝1；故答案为：1．②设（10，4）＝h，（2，10）＝k，则10h＝4，2k＝10，∴（2k）h＝4，∴2kh＝4，∴kh＝2，∴（10，4）×（2，10）＝2．故答案为：2．【考点评析】本题考查同底数幂的乘法，除法，幂的乘方运算法则，掌握相关法则是解题的关键．重点考向03：幂的乘方与积的乘方【典例精讲】（2024•雁塔区校级开学）已知a＝167，b＝89，c＝413，则a，b，c的大小关系是a＞b＞c．【思路点拨】先利用幂的乘方法则，把已知条件中的三个幂全部化成底数为2的幂，然后比较指数的大小可得答案．【规范解答】解：167＝（24）7＝228，89＝（23）9＝227，413＝（22）13＝226，∵28＞27＞26，∴228＞227＞226，即167＞89＞413，∵a＝167，b＝89，c＝413，∴a＞b＞c，∴a，b，c的大小关系是：a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．【考点评析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握逆用幂的乘方法则．【变式训练3-1】（2023春•江都区期中）求值：（1）已知2x+5y+3＝0，求4x•32y的值；（2）已知3x+1﹣3x＝54，求x的值．【思路点拨】（1）先求出2x+5y＝﹣3，再根据4x•32y＝22x+5y进行求解即可；（2）由3x+1﹣3x＝54可得3•3x﹣3x＝54，进而得到3x＝27＝33，则x＝3．【规范解答】解：（1）∵2x+5y+3＝0，∴2x+5y＝﹣3，∴4x•32y＝（22）x•（25）y＝22x•25y＝22x+5y＝2﹣3＝；（2）∵3x+1﹣3x＝54，∴3•3x﹣3x＝54，∴2•3x＝54，∴3x＝27，∴x＝3．【考点评析】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式训练3-2】（2023秋•二道区校级月考）比较下列各题中幂的大小：（1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系；（2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系；（3）已知，，比较P，Q的大小关系．【思路点拨】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得255＝3211、344＝8111、533＝12511，622＝3611，比较即可；（2）根据幂的乘方的逆用进行转换得a＝3124、b＝3123、c＝3122，比较即可；（3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果．【规范解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611，∵3211＜3611＜8111＜12511，∴255＜622＜344＜533；（2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵3122＜3123＜3124，∴961＜2741＜8131，∴c＜b＜a；（3）∵，∴P＝Q．【考点评析】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一．重点考向04：同底数幂的除法【典例精讲】（2023春•栾城区期中）若3m＝5，3n＝4，则32m﹣n等于（）A． B．6 C．21 D．20【思路点拨】先根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，把23m﹣2n转化为用已知条件表示，然后代入数据计算即可．【规范解答】解：∵3m＝5，3n＝4，∴32m﹣n＝（3m）2÷3n＝25÷4＝．故选：A．【考点评析】此题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．【变式训练4-1】（2023•宁波模拟）下列计算正确的是（）A．x2+x2＝2x4 B．x8÷x2＝x4 C．（x3）2＝x5 D．x3•x2＝x5【思路点拨】结合选项分别进行同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【规范解答】解：A、x2和x2是同类项，能合并x2+x2＝2x2，故本选项错误；B、x8÷x2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；C、（x3）2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；D、x3•x2＝x5，计算正确，故本选项正确．故选：D．【考点评析】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．【变式训练4-2】（2023春•沈河区校级月考）直接写出计算结果：（ax﹣1）2•ax+1÷a2x﹣1＝ax．【思路点拨】运用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则进行计算即可．【规范解答】解：（ax﹣1）2•ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2•ax+1÷a2x﹣1＝a2x﹣2+x+1﹣（2x﹣1）＝ax．故答案为：ax．【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．•重点考向05：完全平方公式【典例精讲】（2023秋•应城市期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝11．【思路点拨】根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，分别代入解答即可．【规范解答】解：因为x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9+2＝11，故答案为：11【考点评析】此题考查完全平方公式问题，关键是根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy代入解答．【变式训练5-1】（2023秋•浦东新区期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝10．【思路点拨】利用非负数的性质求出x+y与xy的值，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值．【规范解答】解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案为：10．【考点评析】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握公式是解本题的关键．【变式训练5-2】（2023秋•安顺期末）阅读下列材料若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．【规范解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案为：x﹣1；x﹣3；②（x﹣1）（x﹣3）＝48，阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，∴a+b＝±14，又∵a+b＞0，∴a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．重点考向06：完全平方公式的几何背景【典例精讲】（2023秋•东城区期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【思路点拨】利用正方形和长方形的性质，将ID与DJ的关系表示出来，再利用阴影部分面积和为60即可求出ID与DJ，从而得到长方形FJDI的长和宽，即可求解．【规范解答】解：设ID＝y，DJ＝z，∵两个阴影部分都是正方形，∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，∴AI+ID＝CJ+DJ，∵AI＝5，CJ＝3，∴5+y＝3+z，∴y＝z﹣2，：∵阴影部分面积和为60，∴y2+z2＝60，方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：（z﹣2）2+z2＝60，解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），∴y＝z﹣2＝﹣1，∴ID＝﹣1，DJ＝1+，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，所以（z﹣y）2＝4，∴y2+z2﹣2yz＝4，∴60﹣2yz＝4，yz＝28，∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28．故选：A．【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形．【变式训练6-1】（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为20．【思路点拨】分析图形可得，四边形ABCD的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入a+b＝10，ab＝20，计算可得答案．【规范解答】解：根据题意可得，四边形ABCD的面积＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝（a2+b2+2ab﹣3ab）＝[（a+b）2﹣3ab]；代入a+b＝10，ab＝20，可得：四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．故答案为：20．【考点评析】此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．【变式训练6-2】（2023秋•青铜峡市期末）动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求x﹣y的值．【思路点拨】（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（2）可得等量关系为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解．【规范解答】解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2问题解决：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy∵x+y＝8，xy＝7．∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．∴x﹣y＝±6故答案为：（1）（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．重点考向07：完全平方式【典例精讲】（2023秋•江北区期末）若4x2+20x+a2是一个完全平方式，则a的值是±5．【思路点拨】先根据乘积二倍项确定出这两个数是2x和5，再根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，求出a的值即可．【规范解答】解：∵20x＝2×5×2x，∴这两个数是2x、5，∴a2＝25，即a＝±5．故答案为：±5．【考点评析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．【变式训练7-1】（2023秋•衡山县期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为（a+b）的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：（a﹣b2）；②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：a2﹣2ab+b2；（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）若a+b＝6，ab＝8，求图2中阴影部分的面积．【思路点拨】（1）①根据阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，求出阴影部分正方形的边长，进而求出面积；②根据较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求出答案；（2）由①②的计算结果可得答案；（3）根据图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积，算出阴影部分的面积，再把已知条件整体代入即可．【规范解答】解：（1）①由图形可知：阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽＝a﹣b，∴面积为（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2；②∵较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，∴阴影部分正方形面积＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2；故答案为：a2﹣2ab+b2；（2）根据图1中的阴影部分的面积关系可以写出一个代数恒等式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（3）∵图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积，∴图2中阴影部分的面积＝＝＝＝＝18﹣4＝14．【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握应用乘法公式．【变式训练7-2】（2023秋•鲤城区校级期中）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1（a+b）2；方法2a2+b2+2ab．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝21，求ab的值；②已知：（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，求（2023﹣a）（a﹣2020）的值．【思路点拨】（1）方法1，根据边长为（a+b），求正方形面积，方法2，根据大正方形等于2个小正方形的面积加上2个长方形的面积；（2）由（1）可知，2种方法所求的面积相等，即可求解；（3）①由（2）的结论，代入数值进行计算即可求解；②设2023﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝3，通过换元，利用（2）的结论进行计算即可求解．【规范解答】解：（1）方法1：大正方形的面积S＝（a+b）2；方法2：大正方形的面积S＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可知（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝21，∴ab＝2．②设2023﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝3，∵（2023﹣a）2+（a﹣2020）2＝10，∴x2+y2＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴，即．故答案为：（1）（a+b）2，a2+b2+2ab．【考点评析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形计算，掌握完全平方公式是解题的关键．重点考向08：平方差公式【典例精讲】（2023春•娄星区校级期中）计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（264+1），结果是（）A．264﹣1 B．264 C．232﹣1 D．2128﹣1【思路点拨】添一个（2﹣1），从而和（2+1）凑成平方差，然后再进行计算即可．【规范解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）•••（264+1）＝（28﹣1）（28+1）•••（264+1）＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1，故选：D．【考点评析】本题考查了平方差公式的应用，添项是解决此类问题的关键．【变式训练8-1】（2024•雁塔区校级开学）计算：（1）；（2）2042﹣198×202．【思路点拨】（1）根据实数整数幂的性质和逆用积的乘方法则先算乘方，再算乘法，最后算加减即可；（2）先把204写成200+4，198写成200﹣2，202写成200+2的形式，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．【规范解答】解：（1）原式＝＝＝＝＝＝；（2）原式＝（200+4）2﹣（200﹣2）（200+2）＝2002+2×4×200+16﹣2002+4＝2002﹣2002+1600+16+4＝1620．【考点评析】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握实数整数幂的性质、积的乘方法则和完全平方公式与平方差公式．【变式训练8-2】（2023秋•德惠市校级期末）问题1阅读例题的解答过程，并解答（1）（2）例：用简便方法计算195×205．解：195×205＝（200﹣5）（200+5）①＝2002﹣52②＝39975（1）例题求解过程中，第②步变形依据是平方差公式；（2）用简便方法计算：9×11×101．【思路点拨】（1）平方差公式；（2）转化成（100+1）×（100﹣1），根据平方差公式展开，即可求出答案．【规范解答】解：（1）第②步变形依据是平方差公式；故答案为：平方差公式；（2）9×11×101＝（10﹣1）（10+1）×101＝99×101＝（100﹣1）（100+1）＝10000﹣1＝9999．【考点评析】本题考查了平方差公式的应用，关键是把原式转化成1002﹣1．重点考向09：平方差公式的几何背景【典例精讲】（2023秋•清原县期末）已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab【思路点拨】图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．【规范解答】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，∴阴影部分的面积是a2﹣b2，由图2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b，∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是（a+b）（a−b），∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A．【考点评析】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．【变式训练9-1】（2023秋•凤山县期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2﹣b2；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为a+b；宽为a﹣b；面积为（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一个公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020．【思路点拨】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论；（2）由（1）建立等量关系即可；（3）根据平方差公式进行计算即可．【规范解答】解：（1）根据题意可得：图1阴影部分的面积＝，图2长方形的长为：a+b，图2长方形的宽为：a﹣b，∴面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【考点评析】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．【变式训练9-2】（2022秋•仁化县期末）实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的公式是B（请选择正确的一个）．A．a2+ab＝a（a+b）B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）请应用上面的公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1；③计算：（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+42﹣32+22﹣1（n≥1）．【思路点拨】（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．【规范解答】解：（1）图一中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图二中阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），而这两者面积相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，又2a+b＝6，∴2a﹣b＝4．②82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝8+7+6+5+4+3+2+1＝4×9＝36．③（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+42﹣32+22﹣1（n≥1）＝（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1）+（2n﹣2+2n﹣3）（2n﹣2+2n+3）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+4+3+2+1＝＝2n2+n．故答案为：B，4．【考点评析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．重点考向10：整式的混合运算—化简求值【典例精讲】（2022秋•沙坪坝区校级期末）关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均为常数）关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（）①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e＝6；③a+b+c＝9；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】先根据整式的加减求出A+B的值，再根据A+B为关于x的三次三项式即可判断①；先根据多项式的乘法法则求出A•B的值，再根据乘积中不含x⁴项即可判断②；分别求出当x＝1和x＝2时，求出A的值，由此即可判断③．【规范解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f，∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10，∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，∴f+10＝0，解得：f＝﹣10，说法①正确；A•B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f）＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，∴5e﹣6＝0，解得e＝1.2，说法②错误；A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，当x＝1时，d＝5﹣6+10＝9，当x＝2时，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26，则a+b+c＝17，说法③错误．故选：B．【考点评析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．【变式训练10-1】（2023秋•海口期末）计算：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（3）先化简，再求值：[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2，其中，y＝﹣3．【思路点拨】（1）根据多项式乘多项式和积的乘方计算可以解答本题；（2）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；（3）先据单项式乘多项式和完全平方公式化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．【规范解答】解：（1）（3x﹣1）（2x+3）﹣（﹣3x）2＝6x2﹣2x+9x﹣3﹣9x2＝﹣3x2+7x﹣3；（2）（a﹣2b）（﹣2b﹣a）﹣（a﹣2b）2＝﹣（a2﹣4b2）﹣（a2﹣4ab+4b2）＝﹣a2+4b2﹣a2+4ab﹣4b2＝4ab﹣2a2；（3）[2（x﹣y）]2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷（2xy）2＝4（x﹣y）2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（16x2y4﹣12x3y3）÷4x2y2＝4x2﹣8xy+4y2﹣（4y2﹣3xy）＝4x2﹣8xy+4y2﹣4y2+3xy＝4x2﹣5xy，当，y＝﹣3时，原式＝4×（﹣）2﹣5×（﹣）×（﹣3）＝1﹣＝﹣．【考点评析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，掌握整式的混合运算和化简求值的方法是关键．【变式训练10-2】（2024•沙坪坝区校级开学）先化简，再求值：，其中．【思路点拨】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后求出x、y的值代入即可．【规范解答】解：原式＝2x2﹣（x2+2xy﹣2y2）+2xy＝2x2﹣x2﹣2xy+2y2+2xy＝x2+2y2，∵，∴x＝，y＝﹣1，原式＝．【考点评析】本题考查了整式的混合运算和求值、绝对值、算术平方根的非负性等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．重点考向11：因式分解-提公因式法【典例精讲】（2023春•新化县期末）计算：20232﹣2023×2022＝2023．【思路点拨】运用提公因式法进行简便运算．【规范解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案为：2023．【考点评析】本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．【变式训练11-1】（2023春•天元区校级期末）因式分解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1）．【思路点拨】利用提公因式法分解因式即可．【规范解答】解：6a2﹣2a＝2a（3a﹣1），故答案为：2a（3a﹣1）．【考点评析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．【变式训练11-2】（2023春•昌黎县期末）下面是某同学对多项式（m2﹣4m）（m2﹣4m+8）+16进行因式分解的过程．解：设m2﹣4m＝n，原式＝n（n+8）+16（第一步），＝n2+8n+16（第二步），＝（n+4）2（第三步），＝（m2﹣4m+4）2（第四步），（1）该同学第二步到第三步运用完全平方公式进行因式分解．（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x+4）（x2﹣2x﹣2）+9进行因式分解．【思路点拨】（1）从第三步的结果得出结论；（2）观察最后结果中的x2﹣4x+4是否还能因式分解，得出结论；（3）设x2﹣2x＝y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解．【规范解答】解：（1）由n2+8n+16＝（n+4）2得出运用了两数和的完全平方公式，故答案为：完全平方公式．（2）该同学没有完成因式分解，（m2﹣4m+4）2＝[（m﹣2）2]2＝（m﹣2）4，（3）设x2﹣2x＝y，则原式＝（y+4）（y﹣2）+9＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．【考点评析】本题考查了因式分解，主要是考查学生对于完全平方公式和换元法进行因式分解的掌握情况，要求学生在换元分解，回代之后还要再观察是否能够继续进行因式分解，很多学生会忘记继续分解，是一个易错点．重点考向12：因式分解-运用公式法【典例精讲】（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【思路点拨】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【规范解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选：D．【考点评析】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．【变式训练12-1】（2023春•东城区校级期末）分解因式：（1）4b2+4b+1；（2）﹣x2+2xy﹣y2．【思路点拨】（1）根据完全平方公式即可进行因式分解；（2）先提取公因式﹣1，再根据完全平方公式即可进行因式分解．【规范解答】解：（1）原式＝（2b）2+2×2b×1+12＝（2b+1）2；（2）原式＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2．【考点评析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【变式训练12-2】（2023春•沙坪坝区校级期中）观察下列等式的规律，解答下列问题：第1个等式：a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；第2个等式：a3+1＝（a+1）（a2﹣a+1）；第3个等式：a4﹣1＝（a﹣1）（a3+a2+a2+a+1）；第4个等式：a5+1＝（a+1）（a4﹣a3+a2﹣a+1）；…（1）请直接写出第5个等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）；第6个等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）计算；①（3﹣1）（35+33+34+32+3+1）＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝547；（3）计算：（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4．【思路点拨】（1）根据所给的等式的形式，即可写出答案；（2）利用所给的等式的规律进行求解即可；（3）利用所给的等式的规律进行求解即可．【规范解答】解：（1）根据规律得：第5个等式：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），第6个等式：a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；故答案为：a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1），a7+1＝（a+1）（a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a+1）；（2）根据规律得：①（3﹣1）×（35+33+34+32+3+1）＝36﹣1＝728；②36﹣35+34﹣33+32﹣3+1＝×（3+1）×（36﹣35+34﹣33+32﹣3+1）＝×（37+1）＝547；故答案为：①728，547；（3）（410+210）+（49﹣29）+（48+28）+（47﹣27）+…+（42+22）+4＝410+210+49﹣29+48+28+47﹣27+…+42+22+4＝（410+49+48+47+…+42+4+1）+（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（4﹣1）×（410+49+48+47+…+42+4+1）+×（2+1）×（210﹣29+28﹣27+…+22﹣2+1）＝×（411﹣1）+×（211+1）＝×411+×211．【考点评析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．重点考向13：提公因式法与公式法的综合运用【典例精讲】（2023秋•大同期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）【思路点拨】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．【规范解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意；B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意；C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意；D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是正确应用的前提．【变式训练13-1】（2023•威远县校级二模）因式分解：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【思路点拨】直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．【规范解答】解：3a2﹣27＝3（a2﹣9）＝3（a+3）（a﹣3）．故答案为：3（a+3）（a﹣3）．【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．【变式训练13-2】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【思路点拨】（1）先提取公因式2m，再利用完全平方公式继续进行分解即可得到答案；（2）将式子化为两个数的平方差，再运用平方差公式进行分解即可得到答案．【规范解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【考点评析】本题考查了综合提公因式和完全平方公式进行因式分解，运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，注意分解要彻底．重点考向14：因式分解-分组分解法【典例精讲】（2022秋•青浦区校级期中）分解因式：7x2﹣3y+xy﹣21x．【思路点拨】将多项式分解为7x2﹣3y+xy﹣21x＝（7x2﹣21x）+（xy﹣3y），进而得出答案即可．【规范解答】解：7x2﹣3y+xy﹣21x＝7x2﹣21x+xy﹣3y＝7x（x﹣3）+y（x﹣3）＝（7x+y）（x﹣3）．【考点评析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确将多项式分组是解题关键．【变式训练14-1】．（2022春•桂平市期中）观察下列因式分解的过程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．【思路点拨】（1）①利用分组后直接提公因式分解；②利用分组后直接运用公式分解；（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．【规范解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（d﹣c）（a﹣b）②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2＝（x﹣3）2﹣y2＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）（1+x）n＝（1+x）n+1【考点评析】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．【变式训练14-2】（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【思路点拨】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．【规范解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．【考点评析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．重点考向15：因式分解-十字相乘法等【典例精讲】（2023秋•阳信县期末）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+xy＝x（x+y） C．x3+6x2+9x＝x（x+3）2 D．x2﹣7x+12＝x（x﹣7）+12【思路点拨】利用提公因式法、公式法逐个分解每个选项，根据分解结果得结论．【规范解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；B、原式＝x（x+y），不符合题意；C、原式＝x（x+3）2，不符合题意；D、原式＝（x﹣3）（x﹣4），符合题意．故选：D．【考点评析】此题考查了因式分解﹣十字相乘法等以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式训练15-1】（2023春•句容市期末）若x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），则m+n＝8．【思路点拨】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出m+n的值．【规范解答】解：∵x2﹣mx+6＝（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（n+2）x+2n，∴n+2＝m，6＝2n，解得：m＝5，n＝3，则m+n＝8．故答案为：8．【考点评析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练15-2】（2023春•岳阳期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如图）．第一步：二次项2x2＝x•2x；第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），画“十字图”验算“交叉相乘之和”；第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：（1）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）；（2）若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值．【思路点拨】根据材料来把二次项写成相乘形式，常数项也写成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次项，最后进行因式分解．【规范解答】解：（1）将多项式因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）（2）根据画好的“十字图”，求出p的所有可能值：16，8，﹣8，﹣16.【考点评析】本题考查了用十字相相乘法对一元二次方程进行因式分解．重点考向16：实数范围内分解因式【典例精讲】（2023春•工业园区期中）若x2+k在实数范围内可以因式分解，则k的值可以为﹣1．（只填一个）．【思路点拨】利用平方差公式先确定k的范围，再给出一个k的值即可．【规范解答】解：当k＜0时，x2+k可利用平方差公式因式分解．例如k＝﹣1时，x2+k＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：﹣1【考点评析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的平方差公式是解决本题的关键．【变式训练16-1】（2021春•宿豫区校级期中）阅读理解：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝﹣i；i4＝1；i5＝i；i+i2+i3+…+i2021＝i．（2）计算：①（1+i）×（3﹣4i）；②（2+i）2；（3）在复数范围内分解因式：①a2+4＝（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．．【思路点拨】（1）把i2＝﹣1代入计算即可求出i3，i4，i5的值，设S＝i+i2+i3+…+i2021，则iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，即可求出S＝；（2）①根据多项式乘多项式的法则展开，把i2＝﹣1代入计算，即可得出结果；②根据完全平方公式展开，把i2＝﹣1代入计算，即可得出结果；（3）①把a2+4写成a2﹣4i2，利用平方差公式进行分解即可；②利用平方差公式逐步分解即可．【规范解答】解：（1）i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5＝i2•i2•i＝﹣1×（﹣1）×i＝i，设S＝i+i2+i3+…+i2021，则iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i+i2+i3+…+i2021﹣i2﹣i3﹣…﹣i2021﹣i2022＝i﹣i2022，∴S＝＝＝＝i，故答案为：﹣i，1，i，i；（2）①（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝3﹣i+4＝7﹣i；②（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i+（﹣1）＝3+4i；（3）①a2+4＝a2﹣4i2＝（a+2i）（a﹣2i），故答案为：（a+2i）（a﹣2i）；②a4﹣625＝（a2﹣25）（a2+25）＝（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i），故答案为：（a+5）（a﹣5）（a+5i）（a﹣5i）．【考点评析】本题考查了复数的计算及在复数范围内分解因式，掌握复数的定义是解决问题的关键．【变式训练16-2】（2019春•西湖区校级期中）在实数范围内因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（2）x4﹣81（3）（4）x7y7﹣16x4y4+64xy【思路点拨】（1）根据提取公因式的方法分解即可；（2）根据平方差公式分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可；（4）首先提取公因式，然后利用公式法分解即可．【规范解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝（a﹣b）（2m+3n）；（2）x4﹣81＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）；（3）＝[（3m﹣n）2﹣4（m+3n）2]＝[（3m﹣n）+2（m+3n）][（3m﹣n）﹣2（m+3n）]＝（m+n）（m﹣7n）；（4）x7y7﹣16x4y4+64xy＝xy（x6y6﹣16x3y3+64）＝xy（x3y3﹣8）2＝xy（xy﹣2）2（x2y2+2xy+4）2．【考点评析】本题考查了实数范围内因式分解：利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解．重点考向17：因式分解的应用【典例精讲】（2023•涟源市一模）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【思路点拨】将等式移项整理后，将左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到a＝b，即可确定出三角形形状．【规范解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：A．【考点评析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式训练17-1】（2023秋•淮阳区期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）猜测（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各个矩形的面积之和求解即可；（2）根据（1）中等式，猜想得出；（3）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48代入（1）中得到的关系式，然后进行计算；（4）根据（2）得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系．【规范解答】解：（1）（a+b+