全国高中数学课比赛教案及部分说课资料（高一）

课题：函数的单调性

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

授课教师：北京景山学校许云尧

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象

和定义判断、证明函数单调性的方法.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观

察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的

推理论证能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思

维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.

【教学难点】根据定义证明函数的单调性.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【教学手段】计算机、投影仪.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年

到2006年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气

温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：（1）当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻;

（2）在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化

规律，对我们的生活是很有帮助的.

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.

归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值

是变大还是变小.

(设计意图X由生活情境引入新课，激发兴趣.

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数

的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的

定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1.借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数7二工+47二一^+乙)二,4二工的图象，并且观察

X

自变量变化时，函数值的变化规律？

预案：(1)函数｝=x+2,在整个定义域内y随x的增大而增大；函数

y=-x+2,在整个定义域内y随x的增大而减小.

(2)函数在［0,+8)上y随X的增大而增大，在(-00,0)上y随X的增大

而减小.

(3)函数＞=1，在(0,+oo)上y随X的增大而减小，在(-00,0)上歹随x的增大

X

而减小.

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定

义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗？

预案：如果函数/(X)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们

说函数/(X)在该区间上为增函数；如果函数/(X)在某个区间上随自变量X的增

大，V越来越小，我们说函数/(X)在该区间上为减函数.

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述

性的认识.

(设计意图X从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识.

2.抽象思维，形成概念

2

问题1：如图是函数y=x+±(x>0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区

学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时

不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

K设计意图X使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题2：如何从解析式的角度说明/(x)=/在［0,+8)上为增函数？

预案：(1)在给定区间内取两个数，例如2和3,因为Z?。2，所以/(x)=x2

在［0,+8)上为增函数.

(2)仿(1),取多组数值验证均满足，所以/(x)=/在［0,+8)为增函数.

2

(3)任取x,,x2e［0,+8),且X］<%,因为~x2=(%|+x2)(x1-。，即

32</2,所以/(力=%2在［0,+8)上为增函数.

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学

生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任

意取两个自变量为,4.

(设计意图》把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念

的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.

问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.

(1)板书定义

(2)巩固概念

判断题：

①已知/(x)=-，因为八一1)</(2),所以函数/'(x)是增函数.

X

②若函数/(X)满足/'(2)</(3),则函数/'(X)在区附2,3]上为增函数.

③若函数“X)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数/(x)在区间(1,3)上

为增函数.

④因为函数/1(X)='在区间(-8,0)和(0,+8)上都是减函数，所以/'(%)=!在

XX

(-8,0)U(0,+8)上是减函数.

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上

单调性.

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某

些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).

③函数在定义域内的两个区间46上都是增(或减)函数，一般不能认为函

数在ZU6上是增(或减)函数.

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？

(设计意图X让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通

过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

例1证明函数/(X)=X+2在(痣,+oo)上是增函数.

X

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.

证明：任取X],》2€(后,+8),且X]<》2，设元

79

/(X,)-/(X2)=区+—)-区+一)求差

77

=(x,-x2)+(--—)变形

X]x2

=(…2)+22~)

2

二(%一12)(1--------)

=(-2)必必，

x}x2

,・,V2<X)<x2,断号

.*•Xj-x2<0,XjX2>2,

•••/区)一/(工2)<0，即/区)</(42)，

...函数/'(X)=X+2在(啦,+8)上是增函数.定论

X

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

练习：证明函数/(x)=正在［0,+8)上是增函数.

问题：除了用定义外，如果证得对任意的再,》2e(a,b),且天。》2有

/⑺-/区)>0,能断定函数“X)在区间g,b)上是增函数吗？

x2-Xj

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明

函数/*)=正在［0,+8)上是增函数.

K设计意图》初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.了解等价形

式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师

生合作共同完成小结.

1.小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

(3)数学思想方法：数形结合.

2.作业

书面作业：课本第60页习题2.3第4,5,6题.

课后探究：研究函数y=x+L（x>0）的单调性.

X

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学

习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法

依据.

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号

语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一

的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数

论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和

教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点.

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，

从三个不同的方面确定了教学目标.重视单调性概念的形成过程和对概念本质的

认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出

语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方

法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使

用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生

对问题的理解和认识.

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性

到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识

不断深入.

（2）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明

函数单调性的方法和步骤.

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进

行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

课题：指数函数及其性质（第一课时）

教材：普通高中课程标准实验教科书数学1

授课教师：浙江省宁波北仑中学尚俊

一、教材分析

(-)教材的地位和作用

人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书》$2.1.2“指数函数”是在

学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数毒的运算性质的基础上展

开研究的。作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的

第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式,为后续的学习奠定基础.

指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛

的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点

研究.

(二)课时划分

指数函数的教学在《大纲》中共分两个课时完成。“指数函数”的教学

共分两个课时完成。按照大纲的教学意图第一课时为指数函数的定义，图像

及性质；第二课时为指数函数的应用。“指数函数”第一课时是在学习了指数

与指数事的运算基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定

义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得

到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。

二、学情分析

通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主

要体现在三个层面：

知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。

能力层面：学生在初中己经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集

合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力

以及合作交流等方面发展不够均衡.

三、教学目标：

1、知识技能目标：使学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象

和性质，初步学会运用指数函数解决问题

2、过程方法目标：引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分

析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思

维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的

教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会学习

数学规律的方法，体验成功的乐趣.

3、情感态度，价值观目标：通过本节课的学习，使学生获得研究函数

的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动，勇

于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱

科学，用科学的精神.

四教学重占.难占

'1、靠点：施数函数的定义、图象、性质.

2、难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。

五、教法选择：

1、本节课采用的教学方法有：启发发现法、课堂讨论法

2、采用这些方法的理论根据：新课程标准要求我们在教学中应充分体现“教

师为主导，学生为主体”这一教学原则。为了调动学生学习的积极性，使学生变

被动学习为主动愉快的学习。采用数学实验法让学生对指数函数的图象有直观认

识。采用小组讨论法使学生概括出指数函数的性质，采用点拨启发让学生会用指

数函数的性质。

六、教学过程

教学程序及设计设计意图

复习提问：1.计算下列各式的值：(1)4-3(2)问题1是复

(1/2)°(3)16-3/4.2.某种电脑病毒传播时，习上堂课的

由1个自我复制成2个，2个复制成4内容，问题

新个，……，一个这样的病毒复制X次后，得到2从事例引

课的病毒个数y与x有怎样的函数关系？由题入新课内

引2,我们得出病毒个数y与x的函数关系式容。

入是y=2：在这个函数里，自变量x出现在指数

的位置上，而底数2是一个大于0且不等于

1的常量。我们把这样的函数叫做指数函数。

(2分钟)

1.指数函数的定义：新课引入

一般地，形如y=ax(a>0且a#l)的函数叫做后，板书课

指数函数。题，提出指

对定义中规定a>0,且aWl进行分析：数函数的概

假设a=0,那么当x>0时，ax=0,当x念。

WO时，a*无意义；

假设a<0,那么a*对某些x值可能没有简单的讨论

新意义，如a=-l时，(-1)*对于x=l/4,x=l/2,…一下的取值

授无意义；增强学生思

课假设a=l,那么y=lx=l对任意x都是维的严谨性

常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0

且aWl。在这个规定下，指数函数的定义域

是R。例1让学生

例1：下列函数是否是指数函数：正确理解指

(1)y=0.2X(2)丫=(-2广数函数的定

(3)y=ex义。

(4)y=(l/3)x(5)y=lx

(5分钟)

：

图像

数的

数函

2.指

x

l)的

且aW

(a>0

y=a

函数

指数

未画

我们

现在

义的

典型意

个具有

，画四

般性

失一

，不

图像

x

x

x

=10

(3)y

l/2)

(2)y=(

=2

(1)y

函数

指数

。

图像

/10)x的

(4)y=(l

何画

借助几

同时手

烦，

较麻

图比

点作

表描

到列

考虑

出重

板，突

点，

和难

借助点

键，故

的关

本节

，又是

精确

图不

功作

教

而增大

学从

从而使

作图，

电脑

一一

手段

教学

化的

现代

量和

学的容

象。

数的图

指数函

识到

观地认

生较直

直观

图象的

：

例2

帮助学

性，

数的

指数函

列四个

画出下

标系内

一坐

在同

消化

生理解

。

内容

新课

。

图像

x

x

(2)y3

y=2

(1)

x

x

/3)

(4)y=(l

/2)

(3)y=(l

主体