全国中考数学压轴题60例答案解析

基础义务教育资料

全国中考数学压轴题60例

参考答案与试题解析

一、解答题(共60小题)

1.(•重庆)已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5,AD=22,AE±BD,垂足是E.点

3

F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.

(2)若将AABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向

所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值.

(3)如图②,将AABF绕点B顺时针旋转一个角a(0°<a<180°),记旋转中的MBF为

△A'BF',在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是

否存在这样的P、Q两点，使ADPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在,

请说明理由.

考点：几何变换综合题.

专题：压轴题.

分析：(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；

(2)依题意画出图形，如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值;

(3)在旋转过程中，等腰〃DPQ有4种情形，如答图3所示,对于各种情形分别进行计算.

解答：解：(1)在RMABD中，AB=5,AD=@,

由勾股定理得=25

~3

,.,SAABD=1BD«AE=1AB«AD,

22

5X与

.p_AB*AD

A4.

BD仔

3

在RfABE中，AB=5,AE=4,由勾股定理得：BE=3.

(2)设平移中的三角形为AA'BF,如答图2所示:

由对称点性质可知，N1=N2.

由平移性质可知，ABllA'B',z4=zl,BF=B'F'=3.

①当点F'落在AB上时,-.ABIIAB,

.-.z3=z4,.,.z3=z2,

...BB'=B'F'=3,即m=3;

②当点F'落在AD上时,-.ABIIAB,

.'.z6=z2,•/zl=z2,z5=zl,

.-.z5=z6,又易知A'B'_LAD,

."B'F'D为等腰三角形，

二B'D=B'F'=3,

.-.BB'=BD-B'D=.2§-3=1^,即m=¥.

333

(3)存在.理由如下：

在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ,易知N2=2NQ,

答图3-1

,.zl=z3+zQ,zl=z2,

.•.z3=zQ,

.-.A,Q=A'B=5,

..F'Q=F'A'+A'Q=4+5=9.

在RfBF'Q中，由勾股定理得：BQ=FFT■/=海童=WI5.

.-.DQ=BQ-BD=3V10--；

3

②如答图3-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ,易知N2=NP,

,.zl=z2,/.zl=zP,

•■,BA'IIPD,则此时点A'落在BC边上.

,.z3=z2,.,.z3=zl,.'.BQ=A,Q,

..F'Q=F'A'-A'Q=4-BQ.

在RfBQF中,由勾股定理得:BF'2+F'Q2=BQ2,

即：32+(4-BQ)2=BQ2,

解得：BQ=&,

8

.-.DQ=BD-BQ=-25-.25=125.

3824

③如答图3-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ,易知N3=N4.

,.1z2+z3+z4=180°,z3=z4,

.•24=90。-lz2.

2

­.zl=z2,.-.z4=90°-Izl.

2

.-.zA,QB=z4=90°-Izl,

2

.•.zA(BQ=180°-zA'QB-zl=90°-Izl,

2

.'.zA,QB=zA,BQ,

..A'Q=A'B=5,

.FQ=A'Q-A'F'=5-4=1.

在中由勾股定理得：

RfBFQ，BQ=^p,Q2+F，B2=^32+12=V10,

.'.DQ=BD-BQ侬-伍；

3

④如答图3-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD,易知N2=N3.

,.-zl=z2,z3=z4,z2=z3,

.,.zl=z4,

，BQ=BA'=5,

.'.DQ=BD-BQ=25-5=1P.

33

综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使ADPQ为等腰三角形；

DQ的长度分别为诉-查您、25-VTOHEIP.

32433

点评：本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点.第（3）问

难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程

中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算.

2.(•重庆)如图1，在口ABCD中，AH_LDC,垂足为H,AB=4行,AD=7,AH=&i.现

有两个动点E,F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿

射线AC方向匀速运动，在点E,F的运动过程中，以EF为边作等边AEFG，使^EFG与^ABC

在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E,F两点同时停止运动，设运动时间为t秒.

(1)求线段AC的长；

(2)在整个运动过程中，设等边AEFG与△ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t

之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

(3)当等边AEFG的顶点E到达点C时，如图2,将AEFG绕着点C旋转一个角度a(0°

<a<360°),在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F',G的对应点为G',设

直线FG，与射线DC、射线AC分别相交于M,N两点.试问：是否存在点M,N,使得△

CMN是以NMCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度;若不存在，请说明

理由.

考点：几何变换综合题.

专题：压轴题；动点型.

分析：(1)利用平行四边形性质、勾股定理，求出DH、CH的长度，可以判定AACD为等腰三角形，则

AC=AD=7;

(2)首先证明点G始终在直线AB上，然后分析运动过程，求出不同时间段内S的表达式：

①当0<t<I^,如答图2-1所示，等边AEFG在△内部；

3

②当工<t<4时，如答图2-2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上；

3

③当4<G7时，如答图2-3所示，点6、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上.

(3)因为NMCN为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形：

①若点N为等腰三角形的顶点，如答图3-1所示；

②若点M为等腰三角形的顶点，如答图3-2所示.

解答：解：(1)voABCD,.-.CD=AB=4V7.

在RtMDH中，由勾股定理得：DH」/_而=/9_21=2行

.-.CH=DH.

.-.AC=AD=7.

(2)在运动过程中,AE=t,AF=3t，，等边AEFG的边长EF=EG=GF=2t.

如答图1,过点G作GP±AC于点P,贝!|EP=lEG=t,GP=®G=J^t.

..AP=AE+EP=2t.

.-.tanzGAC=^P=^il=2/3.

AP2t2

,/tanzBAC=tanzACH=Ay=2/^=jL2,

CH2A/72

/.tanzGAC=tanzBAC,

.•.点G始终在射线AB上.

设NBAC=NACH=B,贝!]sin8=&1=叵，cos0=^=-^ZZ.

AC7AC7

①当0<t<JW,如答图2-1所示，等边AEFG在△内部.

3

22

S=S6EFG=V3EF2=Vs(2t)=Vst；

44

②当工＜t“时，如答图2-2所示，点G在线段AB上，点F在AC的延长线上.

3

答图2-2\

过点B作BQ±AF于点Q,贝BQ=AB・sine=4V?x叵=4%,AQ=AB・cos6=4曲x纽=8.

.­.CQ=AQ-AC=8-7=1.

设BC与GF交于点K,过点K作KP±AF于点P,

设KP=x,贝UPF=—坦—=&,

tan60°3

.-，CP=CF-PF=3t-7-亚x.

3

•.PKllBQ,

3L7-*X4y

嚼啮即X-----------，解得：x=2&(3t-7).

W3-15

-Si?-l(3t-7).^(3t-7)=-喳+噜.喈;

③当4Vt47时，如答图2-3所示，点G、F分别在AB、AC的延长线上，点E在线段AC上.

过点B作BQ±AF于点Q,则BQ=AB・sine=4V?x叵=4%,AQ=AB.COS6=4VT><-^5=8.

.-.CQ=AQ-AC=8-7=1.

设BC与GF交于点K,过点K作KPJ_AF于点P,

设KP=x,则EP=—些—=&,

tan6003

.•.CP=EP-CE=&-(7-t)=逗-7+t.

33

••1PKllBQ,

x李一解得：*=延(7-。

,KP_CP即.

BQ^CQ行13

."-7一挈一争+萼.

综上所述，S与t之间的函数关系式为:

Vst2

o

13732,8473

tT---

s=5---------553

2Mt2-28«t卜98北

(4<t<7)

(3)设NACH=8,贝!]tanS=H=^^=^,cosB=@=^5.

CH2772AC7

当点E与点C重合时，t=7，，等边AEFG的边长=2t=14.

假设存在点M,N,使得ACMN是以NMCN为底角的等腰三角形，

①若点N为等腰三角形的顶点，如答图3-1所示，则NNMC=NMCN=S.

过点C作CP_LF'M于点P,则CP=*CF'=7我.

.-.PM=_J2L_=^X2=14.

tan。73

~2

设CN=MN=x,则PN=PM-MN=14-x.

在RfCNP中,由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：(773)2+(14-x)2=x2,

解得：x=i9.

4

过点N作NQLCM于点Q,

.•.CM=2CQ=2CN«cos0=2x坐xm7g

47

②若点M为等腰三角形的顶点，如答图3-2所示，则NMNC=NMCN=B.

G'

过点C作CP±G'N于点P,则CP=6CF'=7百.

_2

...PN=伊=^^=14.

tan©V3

~2

设CM=MN=x,贝!|PM=PN-MN=14-x.

在RfCMP中,由勾股定理得:CP2+PM2=CM2，即：（773）2+（14-x）2=x2,

,,.CM=x=—.

4

综上所述，存在点M,N,使得ACMN是以NMCN为底角的等腰三角形，CM的长度为臂.

点评：本题是几何变换综合题，涉及平移与旋转两种几何变换.第（2）问中，针对不同时间段内的几何图

形，需要分类讨论；第（3）问中，根据顶点的不同，分两种情形进行分类讨论.本题涉及考点众多，

图形复杂，计算量偏大，难度较大；解题时需要全面分析，认真计算.

3.（•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，点0为对角线BD的中点，点P从

点A出发，沿折线AD-DO-0C以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点

A不重合时过点P作PQ±AB于点Q以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN

与AABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）.

(1)求点N落在BD上时t的值；

(2)直接写出点。在正方形PQMN内部时t的取值范围；

(3)当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；

(4)直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值.

考点：相似形综合题；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性

质；锐角三角函数的定义.

专题：压轴题；分类讨论.

分析：(1)可证ADPN-ADQB,从而有更M,即可求出t的值.

DQQB

(2)只需考虑两个临界位置(①MN经过点0,②点P与点。重合)下t的值，就可得到点0在正

方形PQMN内部时t的取值范围.

(3)根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6,然后运用

三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式.

(4)由于点P在折线AD-DO-OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在0C上三种

情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值.

解答：解：(1)当点N落在BD上时，如图1.

..四边形PQMN是正方形，

.-.PNllQM,PN=PQ=t.

...△DPNSADQB.

.DP_PN

"DQ^QB-

•.-PN=PQ=PA=t,DP=3-1,QB=AB=4,

.3-tt

•----------------------.

3一4

7

.•.当t=,，点N落在BD上.

7

(2)①如图2,

则有QM=QP=t,MB=4-1.

..四边形PQMN是正方形，

.'.MNllDQ.

・・,点。是DB的中点,

.-.QM=BM.

.-.t=4-1.

.-.t=2.

②如图3,

•.四边形ABCD是矩形，

.-.zA=90°.

•/AB=4,AD=3,

.'.DB=5.

・•,点。是DB的中点,

.-.D0=-^.

2

「.lxt=AD+D0=3+2

2

.­.t=ll.

2

，当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2<t<H.

2

(3)①当0<t4当寸，如图4.

7

S=s正方形PQMN=PQ2=PA2=t2.

②当竺<仁3时，如图5,

7

■.tanzADB=^=—,

DPAD

•.---P--G--_—_—4.

3-t3

.-.PG=4-殳.

3

.-.GN=PN-PG=t-(4-冉)=11-4.

33

,.tanzNFG=tanzADB=-^,

3

.GN_4

.­.NF=3GN=.?(H-4)=It-3.

4434

二,S二S正方形PQMN-SAGNF

=t2-Ax(Zi-4)X(It-3)

234

=-骂2+7t-6.

24

③当3Vts口时，如图6,

2

..四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形.

.­.zPQM=zDAB=90°.

.-.PQllAD.

.♦.△BQPSABAD.

.BP=BQ=PQ

,BDBAAD-

•••BP=8-1,BD=5,BA=4,AD=3,

•.--8-----t---B-Q-PQ.

5~4~3

...BQ=4&。,PQ=3(8-t).

55

...QM=PQ=3(W-t).

5

.•.BM=BQ-QM=8-t

5

.tanzABD=-,

.•.FM:'BM=3回。.

420

，S=S梯形PQMF=2(PQ+FM)・QM

2

_lr3(8-t)/(8-t)].3(8-t)

——L---------------十------------------------J---------------

25205

=32.雪+邈.

4055

综上所述：当0<t4乌寸，S=t2.

7

当空<仁3时，S=-雪2+7t-6.

724

当3<,S=&2.18t+Z2

24055

(4)设直线DN与BC交于点E,

.,直线DN平分△BCD面积，

，BE=CE=a.

2

①点P在AD上，过点E作EHIIPN交AD于点H,如图7,

则有ADPN-ADHE.

.DPPN

"DH^EH-

•.PN=PA=t,DP=3-t,DH=CE=a,EH=AB=4,

2

.3-tt

"3=4'

~2

解得；t=&.

11

②点P在DO上，连接OE,如图8,

则有0E=2,OEllDCllABllPN.

."DPN〜"DOE.

.DP_PN

"DO^OE-

•.DP=t-3,DO=i,OE=2,

2

.-.PN=i（t-3）.

5

•,PQ=a（8-t）,PN=PQ,

5

（t-3）=心（8-1）.

55

解得：t=3§.

7

③点P在OC上，设DE与OC交于点S,连接OE,交PQ于点R,如图9,

则有OE=2,OEllDC.

."DSJESO.

.-.SC^C-2.

SO-OE

.-.SC=2SO.

•.OC=i,

2

.60=更=也.

36

,.PNllABllDCllOE,

.•.△SPN-ASOE.

.SPPN

"SO^OE'

•••SP=3+&+^-1=11-t，SO=i,0E=2,

2636

.-.PN=^-l2t.

55

,/PRIIMNIIBC,

.♦.AORP-AOEC.

.OPPR

"oc^,

•.-OP=t-ll,oc=2EC=a,

222

•pR二3t_33

…"TIo'

•••QR=BE=a,

2

:.PQ=PR+QR=&-9.

55

•••PN=PQ,

.76_12t=3t_9

"~5~5~~55,

解得：t=iz.

3

综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为丝3617.

1173

图8

DC

图7

图6

图4

图3

点评：本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的

中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，

考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度.

4.(•达州)如图,在平面直角坐标系中,己知点0(0,0),A(5,0),B(4,4).

(1)求过0、B、A三点的抛物线的解析式.

(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以0、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求

点M的坐标.

(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当WQB为等腰三角形时，求m

的值.

考点：二次函数综合题.

专题：压轴题；分类讨论.

分析：(1)由于抛物线与X轴的两个交点已知，因此抛物线的解析式可设成交点式，然后把点B的坐标代

入，即可求出抛物线的解析式.

(2)以0、A、B、M为顶点的四边形中，AOAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，

则四边形面积即最大；求出另一个三角形面积的表达式，利用二次函数的性质确定其最值；本问需分

类讨论：

①当0<x<4时，点M在抛物线0B段上时，如答图1所示；

②当4Vx<5时，点M在抛物线AB段上时，图略.

(3)APQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解：

①若点B为顶点，即BP=BQ,如答图2-1所示；

②若点P为顶点，即PQ=PB,如答图2-2所示;

③若点P为顶点，即PQ=QB,如答图2-3所示.

解答：解：(1)•.该抛物线经过点A(5,0),0(0,0),

.•该抛物线的解析式可设为y=a(x-0)(x-5)=ax(x-5).

•.点B(4,4)在该抛物线上，

，ax4x(4-5)=4.

.,.a=-1.

.♦该抛物线的解析式为y=-x(x-5)=-x2+5x.

(2)以0、A、B、M为顶点的四边形中，AOAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大,

则四边形面积即最大.

①当0<x<4时，点M在抛物线0B段上时，如答图1所示.

-B(4,4)，二易知直线0B的解析式为：y=x.

设M(x,-x2+5x),

过点M作MElly轴，交0B于点E,则E(x,x),

.'.ME=(-x2+5x)-x=-x2+4x.

SSOBM=SAMEO+SAMEB=iME(xE-0)+AME(xB-xE)=1ME«XB=^MEX4=2ME,

2222

二SSOBM=-2x2+8x=-2(x-2)2+8

.•.当x=2时，SQBM最大值为8,即四边形的面积最大.

②当4<x<5时，点M在抛物线AB段上时，图略.

可求得直线AB解析式为：y=-4x+20.

设M(x,-x2+5x),

过点M作MElly轴，交AB于点E,则E(x,-4x+20),

.'.ME=(-x2+5x)-(-4x+20)=-x2+9x-20.

SAABM=S，MEB+SSMEA==1ME«=1MEX1=AME,

iME(xE-xB)+AME(xA-xE)(xA-xB)

22222

.SABM=-AX2+A-10=-•1(X-g)2+_l

22228

二当x=身寸，SSBM最大值为L即四边形的面积最大.

28

比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大.

当x=2时，y=-x2+5x=6,

.-.M(2,6).

(3)由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上.

设P(m,-m2+5m)，则Q(m,m)

当△PQB为等腰三角形时，

①若点B为顶点，即BP=BQ,如答图2-1所示.

过点B作BE,PQ于点E,则点E为线段PQ中点，

---BEllxtt,B(4,4),

2

."m4-6in_/|

2，

解得：m=2或m=4(与点B重合，舍去)

.,.m=2;

②若点P为顶点，即PQ=PB,如答图2-2所示.

易知NBOA=45°,，NPQB=45°,贝必PQB为等腰直角三角形.

.,.PBllx轴,

二-m2+5m=4,

解得：m=l或m=4(与点B重合，舍去)

.,.m=l;

③若点Q为顶点，即PQ=QB,如答图2-3所示.

■.P(m,-m2+5m),Q(m,m),

.'.PQ=-m2+4m.

又

：QB=&(xB-xQ)=V2(4-m),

二-m2+4m=^/2(4-m),

解得：111=料或m=4(与点B重合，舍去)，

二m=&.

综上所述，当APQB为等腰三角形时，m的值为1,2或加.

点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点较多，有一定的难度.重点考查了分类讨论的数学思想，第(2)

(3)问均需要进行分类讨论，避免漏解.注意第(2)问中求面积表达式的方法，以及第(3)问中

利用方程思想求m值的方法.

5.(•云南)已知如图平面直角坐标系中，点0是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别

为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上，且点D的坐标为(0,-5),

点P是直线AC上的一动点.

(1)当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式(关系式)；

(2)当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上

是否存在使ADOM与AABC相似的点M?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明

理由；

(3)当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为

动圆P.若设动圆P的半径长为空，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、

2

F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在，请求出最小面积S的值;

若不存在，请说明理由.

考点：圆的综合题，•待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判

定与性质.

专题：综合题；压轴题；存在型；分类讨论.

分析：(1)只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.

(2)由于ADOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM

的长，即可求出点M的坐标.

(3)易证SWED=S，PFD.从而有S四边形DEPF=2S”ED=也DE.由NDEP=90°得DE2=DP2-PE2=DP2-

2

25.根据"点到直线之间，垂线段最短"可得：当DP^AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的

4

四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似，即可求出DP±AC时DP的值，就可求出四边形DEPF

面积的最小值.

解答：解：(1)过点P作PHIIOA,交OC于点H,如图1所示.

".PHllOA,

.“CHP-ACOA.

.HP=CH=CP

"OACOCA,

■.点P是AC中点，

.-.CP=1CA.

2

.-.HP=JJOA,CH=1CO.

22

•.A(3,0)、C(0,4),

.-.OA=3,OC=4.

..HP—,CH=2.

2

.-.OH=2.

•.PHllOA,zCOA=90°,

.•.zCHP=zCOA=90°.

.•点P的坐标为(心，2).

2

设直线DP的解析式为y=kx+b,

vD(0,-5),P(心，2)在直线DP上,

二直线DP的解析式为y=M-5.

(2)①若ADOM-AABC,图2(1)所示，

,.,△DOMSAABC,

.DO-0M

"ABBC'

・••点B坐标为(3,4)，点D的坐标为(0.-5),

.-.BC=3,AB=4,OD=5.

•.•—5―.-O--N-.

43

.•QM=8.

4

•.•点M在x轴的正半轴上，

.•点M的坐标为(站，0)

4

②若ADOM-ACBA，如图2(2)麻，

,.,△DOMSACBA,

•.»■D0-.-O--N-.

CBBA

•••BC=3,AB=4,OD=5,

•.•—5―.-O--N-.

34

.-.OM=22.

3

•・,点M在x轴的正半轴上，

，点M的坐标为(4，0).

3

综上所述：若ADOM与ACBA相似，则点M的坐标为(,0)pg(20,0)

43

(3)「OA=3,OC=4,zAOC=90°,

.-.AC=5.

.♦.PE=PF=AC=2

22

「DE、DF都与。P相切，

,DE=DF,zDEP=zDFP=90°.

.*.SAPED=SAPFD・

--S四边形DEPF=2S,，PED

=2xlpE«DE

2

=PE・DE

=iDE.

2

­.zDEP=90°,

...DE2=DP2-PE2.

=DP2-

4

根据"点到直线之间,垂线段最短"可得：

当DP_LAC时，DP最短，

此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小.

-.DP±AC,

.•.zDPC=90°.

.-.zAOC=zDPC.

•,1zOCA=zPCD,zAOC=zDPC,

「.AAOCSADPC.

.A0.AC

DPDC

•.AO=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,

-3-5

DP9

••-DP=f-

...DE2=DP2

4

=(27)2-25

54

-2291

100-

.­.DE=2/229T,

10

：S四边形DEPF="&)E

2

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线

段最短等知识，考查了分类讨论的思想.将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的

关键.另外，要注意"ADOM与AABC相似"与"ADOM-AABC"之间的区别.

6.(•十堰)已知抛物线Q:y=a(x+1)2-2的顶点为A,且经过点B(-2,-1).

(1)求A点的坐标和抛物线Ci的解析式；

(2)如图1,将抛物线Ci向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相

交于C,D两点，求SAOAC：SAOAD的值；

(3)如图2,若过P(-4,0),Q(0,2)的直线为I,点E在(2)中抛物线C2对称

轴右侧部分(含顶点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m，使直线I,m

与x轴围成的三角形和直线I,m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析

式；若不存在,说明理由.

考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定

与性质；锐角三角函数的增减性.

专题：压轴题；存在型.

分析：(1)由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题.

(2)根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组

求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S，9AC：S..OAD的值.

(3)设直线m与y轴交于点G,直线I,m与x轴围成的三角形和直线I,m与y轴围成的三角形

形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、

三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式.

解答：解：(1)•.抛物线J:y=a(x+1)2-2的顶点为A,

.••点A的坐标为(-1,-2).

.•抛物线J:y=a(x+l)2-2经过点B(-2,-1),

.-.a(-2+1)2-2=-1.

解得:a=l.

二抛物线Ci的解析式为：y=(x+l)2-2.

(2)•.抛物线C2是由抛物线J向下平移2个单位所得，

.・抛物线C2的解析式为：y=(x+l)2-2-2=(x+l)2-4.

设直线AB的解析式为y=kx+b.

•/A(-1,-2),B(-2,-1),

.'-k+b=-2

-2k+b=-l

解得：(k="1

b=-3

..直线AB的解析式为y=-x-3.

痴尸(x+l)2一4

-

X.y=x-3

解得：(x=-3或[x=0.

[y=01y=-3

••.C(-3,0),D(0,-3).

.-.OC=3,OD=3.

过点A作AE，x轴，垂足为E,

过点A作AF_Ly轴，垂足为F,

•••A(-1,-2),

.-.AF=1,AE=2.

/.SiOAC:SAQAD

=(1OC«AE):(1OD.AF)

22

=(1x3x2):(1x3x1)

22

=2.

•SOAC：SAQAD的值为2.

(3)设直线m与y轴交于点G,设点G的坐标为(0,t)

1.当直线m与直线I平行时，则有CGIIPQ.

.,.△OCGSAOPQ.

.0C=OP

"OGOQ'

­.P(-4,0),Q(0,2),

.-.OP=4,OQ=2,

.3_4

OG2

.•QG=W.

2

•.・当t=当寸，直线m与直线I平行，

2

二直线I,m与x轴不能构成三角形.

.,.tw卫.

2

2.当直线m与直线I相交时，设交点为H,

①t<0时，如图2①所示.

1.•zPHC>zPQG,zPHC>zQGH,

.'.zPHC^zPQG,NPHONQGH.

当NPHC=NGHQ时，

1.•zPHC+zGHQ=180°,

.-.zPHC=zGHQ=90o.

•.•zPOQ=90°,

.-.zHPC=90o-zPQO=zHGQ.

.•.△PHJGHQ.

1.•zQPO=zOGC,

.'.tanzQPO=tanzOGC.

•.»■■—0Q_―~OC.

OPOG

.2=J_

"4OG-

.-.OG=6.

二点G的坐标为（0,-6）

设直线m的解析式为y=mx+n,

•.・点C(-3,0),点G(0,-6)在直线m上,

(-3nH-n=0

[n=-6

in=-2

解得：

n=-6

，直线m的解析式为y=-2x-6,

联立卜(x+1)2-4,

X.y=-2x-6

"CX=-1T/X=-3

解得：或《

y=_4[y=0

.•.E(-1,-4).

此时点E就是抛物线的顶点，符合条件.

，直线m的解析式为y=-2x-6.

②当t=0时,

此时直线m与x轴重合，

二直线I,m与x轴不能构成三角形.

③0<t<时，如图2②所示,

".tanzGCO=P^=l<l,

0C32

tanzPQ0=PP=-^=2,

OQ2

.,.tanzGCO/tanzPQO.

.,.zGCO/zPQO.

•.zGCO=zPCH,

.-.zPCH^zPQO.

又.NHPC>NPQO,

.”PHC与AGHQ不相似.

，符合条件的直线m不存在.

@-<t<2时，如图2③所示.

2

,.tanzCGO=—=.?>—,

OGt2

tanzQPO=^=.?=i.

OP42

.,.tanzCGO^tanzQPO.

.,.zCGO^zQPO.

•.zCGO=zQGH,

.-.zQGH^zQPO,

又.NHQG>NQPO,

.”PHC与AGHQ不相似.

二符合条件的直线m不存在.

⑤t>2时，如图2④所示.

此时点E在对称轴的右侧.

••-zPCH>zCGO,

.-.zPCH^zCGO.

当NQPC=NCGO时，

•.zPHC=zQHG,zHPC=zHGQ,

.“PCHSAGQH.

二符合条件的直线m存在.

•.zQPO=zCGO,zPOQ=zGOC=90°,

.“POQSAGOC.

.0P.OQ

•»—■■—'".

OGOC

.4_2

•»——.

OG3

.-.OG=6.

•••点G的坐标为(0,6).

设直线m的解析式为y=px+q

•.•点C(-3,0)、点G(0,6)在直线m上,

.'-3p+q=0

•,<•

q=6

解得：尸.

Iq=6

二直线m的解析式为y=2x+6.

综上所述：存在直线m，使直线I,m与x轴围成的三角形和直线I,m与y轴围成的三角形相似,

此时直线m的解析式为y=-2x-6和y=2x+6.

点评：本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识,

考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，

强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度.

7.(•湘西州)如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点。，点B

(2,-9)和点C(-3,-3)两点均在抛物线上，点F(0,-心)在y轴上，过点(0,

34

心)作直线I与x轴平行.

4

(1)求抛物线的解析式和线段BC的解析式.

(2)设点D(x,y)是线段BC上的一个动点(点D不与B,C重合)，过点D作x轴的

垂线，与抛物线交于点G.设线段GD的长度为h,求h与x之间的函数关系式，并求出当

x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

(3)若点P(m,n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于

另一点Q,过点Q作QS±I,垂足为点S,过点P作PN±I,垂足为点N,试判断AFNS

的形状，并说明理由；

(4)若点A(-2,t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF,当点M在

何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值.

考点：二次函数综合题；二次根式的性质与化简；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系

数法求二次函数解析式；线段的性质:两点之间线段最短.

专题：代数几何综合题；压轴题.

分析：(1)由于抛物线的顶点在坐标原点0,故抛物线的解析式可设为y=ax2,把点C的坐标代入即可求

出抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=mx+n,把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的解

析式.

(2)由点D(x,y)在线段BC上可得yD="-2,由点G在抛物线y=-42上可得丫