人教版八年级下册数学教案：第十八章 平行四边形单元与课时备课

第十八章平行四边形

教学目标：

1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.

2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并

能运用它们进行证明和计算.

3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.

4.探索并证明中位线定理.

过程与方法：

1,通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别，使学生进一

步认识一般与特殊的关系.

2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相

关计算的过程，以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推

理、演绎推理的能力.

情感态度与价值观：

1,通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.

2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.

教材分析：

平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样，既是几何中的基本图形,也是

“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平

行线、三角形的基础上学习的，也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步

较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主

要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形

的性质和判定，特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形，并根据定义

探索它们的性质和判定.

教学重难点：

【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,

掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识

以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.

【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别，能够

灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.

教学措施：

L关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之

间的关系.

本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种

特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及

其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质，而忽略了共同

性质.如有的学生不知道正方形既是矩形，又是菱形,也是平行四边形,应用时常

犯多用或少用条件的错误.教学时，不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,

还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特

征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上

附加一些条件（种差），通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的

种概念；同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上，来研究种概念的性质和

判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基

础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即内涵越小，

外延越大;反之外延越小，内涵越大.例如，正方形的性质中，包含四边形、平行

四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小，而平行四边形的外延很大.弄

清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了，

它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.

2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.

从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证

方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比

较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进

一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推

理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、

实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图

形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章

定理证明中，除了采用严格规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方

法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,

得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证，再

进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加，但能激发学生的学

习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和

引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展.

内容及课时安排：

18.1平行四边形

18.1.1平行四边形的性质（2

课时）5课时

18.1.2平行四边形的判定（3

课时）

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形（2课时）

18.2.2菱形（2课时）咪町

18.2.3正方形（1课时）

单元概括整合1课时

①）教学目标

「知识写懒*1

L理解平行四边形的概念，探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四

边形是平行四边形.

3.掌握三角形的中位线的概念和定理.

产过程躬却

L在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理

的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识，通过对平行

四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.

2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培

养学生动手能力及合情推理能力，使学生会将平行四边形的问题转化成三角形

的问题,渗透转化与化归意识.

通过观察、猜测、归纳、证明，培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学

生的简单推理能力和逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.

悖态度目.颈

让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学

生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

教学重难点

【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用，以及三角形中位线

定理的理解和应用.

【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.

18.1.1平行四边形的性质

（勺教学目标

知识与技能

L理解平行四边形的概念.

2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.

峭程一知

通过观察、猜测、归纳、证明，培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学

生的简单推理能力和逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.

r情巧度剑

让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学

生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

■教学重难点

【重点】平行四边形的概念和性质的探索.

【难点】平行四边形性质的运用.

第HI课时

一_整体设计

①教学目标

产知识w技能.

i.理解平行四边形的定义及有关概念.

2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，利用平行四边形的

性质进行简单的计算和证明.

3.了解平行线间距离的概念.

「过程导却

1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象

思维.

2.在进行性质探索的活动过程中，发展学生的探究能力.

3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学

生的推理能力和逻辑思维能力.

随

在性质应用过程中培养独立思考的习惯，让学生在观察、合作、讨论、交流

中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的

学习态度.

Q教学重难点

【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.

【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想

方法.

①教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.

【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.

O教学过程

fT新课导入

导入一：

［过渡语］前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和

证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.

我们一起来观察下图中的小区的伸缩门，庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,

它们是什么几何图形的形象？

学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.

本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念，探究并掌握平行四边形

的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.

［设计意图］通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的

原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过

程.

导入二：

（出示本章农田鸟瞰图）

观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗？

学生自由说出图中的几何图形，教师结合学生说到的图中包含长方形、正方

形等,明确本章主要研究对象一一平行四边形.

［过渡语］下面我们来认识特殊的四边形一一平行四边形.

［设计意图］以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的

形状，通过查找长方形、正方形、平行四边形等，为进一步比较系统地学习这些

图形做准备,并明确本章的学习任务.

国新知构建

1.平行四边形的定义

思路一

提问：你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？

教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四

边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用：既可以作为性质，又可以作为判

定平行四边形的依据.

追问：平行四边形如何好记好读呢？

画出图形,教师示范后，学生结合图练习，并提醒学生注意字母的顺序要按照

顶点的顺序记.

平行四边形用表示，平行四边形四口记作“口ABOT.

如右图所示，引导学生找出图中的对边，对角.

对边与与〃C;对角：N/与NCN6与

进一步引导学生总结：四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对

边;没有公共边的角，叫做对角.

［设计意图］给出定义，强调定义的作用，让学生结合图形认识‘‘对角"''对

边”，为学习性质做好准备.

思路二

请举出你身边存在的平行四边形的例子.

学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门，庭院的竹篱笆和载重汽车的防

护栏……

教师点评,画出图形，如右图所示.

提问：(1)你能说出平行四边形的定义吗？

(2)你能表示平行四边形吗？

(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗？

学生阅读教材第41页，点名学生回答以上问题,教师进一步讲解：

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一

个四边形;②两组对边分别平行.

(2)指出表示平行四边形错误的情况,如口ACDB.

(3)作为性质：,/四边形/时是平行四边形，.•./〃〃a;AB〃CD.

作为判定：:AD〃BC,AB//CD,：.四边形ABCD是平行四边形.

［设计意图］学生结合实例和教材中的图片，师引导学生归纳这些四边形的

共同特征，即：两组对边分别平行.

2.平行四边形边、角的性质

思路一

［过渡语］同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么？

一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究

性质和判定.教师进一步指出：性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研

究.

提问：平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分

别平行外,还有什么特殊的性质呢？

教师画出图形,如右图所示，引导学生通过观察、度量,提出猜想.

猜想1:四边形⑦是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.

猜想2:四边形⑦是平行四边形,那么/比

追问：你能证明这些结论吗？

学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.

NZM80°,

,:AD〃BC,...NZ+N庐180°,

:.乙44D.

同理可得N/=N6

在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.

［过渡语］我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线

段相等、角相等的一种重要方法.

学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.

证明：连接/C

•:AD〃BC,AB〃CD,

.,.Z1=Z2,Z3=Z4.

又力。是△/阿和△物的公共边，

：./\ABC^/\CDA.

:.AD=CB,AB=CD.

N氏/〃

•.,/胡氏N1+/4,/ZO=N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

:./BAD=2DCB.

引导学生归纳平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等.

追问：通过证明，发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性

质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗？

教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式：

•••四边形46口是平行四边形（已知），

：.AB=CD,力分比'（平行四边形的对边相等），

ZA=ZC,N氏N〃（平行四边形的对角相等）.

［设计意图］让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的

方法,而图形中没有三角形，只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,

将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形

问题化为三角形问题的基本思路.

［知识拓展］（1）运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角

相等.（2）四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.

例1（教材例1）如图所示,在口ABCD中，DELAB,BF1CD,垂足分别为£五求

证/田介:

引导学生分析:要证明线段4层/它不是平行四边形的对边，无法直接用平行

四边形的性质证明，考虑证明△/〃隹△物:由题意容易得到N/吠NO/90°,

再根据平行四边形的性质可以得出/左NC/氏四在此基础上，引导学生写出

证明过程,并组织学生进行点评.

证明：；四边形/腼是平行四边形，

：.ZA=ZC,AD=CB.

又4AED=/CFS

:.△AD%XCBF.

：.A^CF.

［设计意图］应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.

思路二

1.提问：根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边

分别平行”外，它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一

致？

AB=BOCD=AD=

猜想:______

ZZZZ

猜想:______

A=B=C=D=

小组合作完成,交流自己的猜想.

教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念，再引导学生归纳:

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等.

2.你能证明你发现的上述结论吗？

己知：如图⑴所示，四边形ABCD^,AB//CD,AD〃BC.

求证：（1）4加式;力作⑦；

（2）N氏/〃/BA2匕DCB.

(1)(2)

小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全

等的问题来解决.

证明：（1）连接4c如图⑵所示.

■:AD〃BC,AB〃CD,

.*.Z1=Z2,Z3=Z4.

又/C是△48。和△物的公共边，

.•.△4?恒△物.

：.AD^CB,AB=CD.

⑵比丝△物（已证），

：.4%4D.

YN为决N1+N4,华N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

:.NBAANDCB.

一组代表发言后，另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形

的对角相等.

'：AB^CD,：.ZBA^ZD=18Q°,

•:AD〃BC,：.4BAA/B=I80°,

：.ZB=AD.

同理可得/胡氏N。％.

教师根据学生的证明情况进行评价、总结.

证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等，图中没有三角形怎么办?一

般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.

引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.

•.•四边形/时是平行四边形（己知），

（平行四边形的对边相等），

N/=NCN氏N〃（平行四边形的对角相等）.

例2(补充)如图,在口45⑦中,“'是平行四边形力腼的对角线.

(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段；

(2)对角线力。需添加一个什么条件,能使平行四边形力时的四条边相等？

学生认真读题、思考、分析、讨论，得出有关结论.

因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以A件CD,AD=BC,ADAB-ABCD,N比

又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以N的信/以以ZDCA=ZBAC.

教师根据学生回答,板书有关正确的结论.

解决第⑵个问题时，学生思考、交流、讨论得出：只要添加/。平分N的8即

可.

说明理由：因为平行四边形的两组对边分别平行,所以而N的仁

ABAC,所以N〃O=N的C所以AADC,又因为平行四边形的对边相等,所以

AB=DOAD^BC.

［设计意图］学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.

3.平行线间的距离

［过渡语］距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之

间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢？

思路一

提问：在教材的例1中，游跖吗？

学生思考,都容易发现：由△/应必△物;容易得到DFBF.

AD

b

h

追问：如图所示,直线a〃b,A,〃为直线a上任意两点，点A到直线b的距离AB

和点。到直线b的距离加相等吗?为什么？

学生讨论,发现容易证明AB//CD,由已知得AD//BC,所以四边形4颇是平行

四边形，所以力庐⑦

教师引导归纳:如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的

距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线

之间的距离,平行线间的距离相等.

学生结合图指出：点/是a上的任意一点,A,6是垂足,线段的长

就是a,6之间的距离.

教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹

在两条平行线之间的最短的线段的长度.

［设计意图］结合例1的进一步追问，自然引出平行线间距离的概念.

思路二

请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上

任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.

老师边看边指导学生画图.

追问：请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度，你

发现了什么现象？

学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.

教师引导归纳:如果两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条直线的距

离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线

之间的距离,平行线间的距离相等.

如右图所示,用符号语言表述为：

V7,〃h,ABLh,CDLk,

J.AB=CD.

教师进一步强调:两平行线Z,A之间的距离是指什么？指在一条直线7,±

任取一点4过4作/由LL于点B,线段46的长度叫做两平行线/,乙间的距离.

引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离

的区别与联系.

两平行线间的距离n点到直线的距离n点与点之间的距离.

为，4间的距离转化为点力到A间的距离,再转化为点/到点6的距离.

追问：如果AB,⑦是夹在两平行线人心之间的两条平行线段,那么和CD

仍相等吗？

教师引导学生思考：（出示教材第43页图18.1-5）如图所示,a〃b,c〃d,c,d

与a"分别相交于A,B,C〃四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC

是平行四边形,4比⑦说明：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

［设计意图］借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并

注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.

［知识拓展］(1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不

随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等，因此在作平行四

边形的高时,可以灵活选择位置.

4.例题讲解

例3(补充)在口48。中,6。边上的高为4,AB=5,AO2,试求D/时的周长.

引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导，明确

思路后学生写解答过程.

(解析)本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是

分别画出符合题意的图形.设8。边上的高为AE,分熊在的内部和在口

力腼的外部两种情况计算.

解：在口ABCD中，A土CD=5,AD=BC.

设8。边上的高为/£

⑴若AE在口ABCD的内部，如图①所示，

在RtzM庞中，45=52后4,

根据勾股定理，得：

娇===3;

在口△/位中，4片2,1田4,

根据勾股定理，得：

CX==2.

：.BOBE+CE=3+2=5.

.•.口46口的周长为2X(5+5)=20.

D

(2)若力后在口4比。的夕卜部,如图②所示，

同理可得除3,C&2,

...除此®3-2=1,

.”4?切的周长为2X(5+1)=12,

综上,口力颇的周长为20或12.

［解题策略］本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求

第三条边的长度，因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外

部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.

叵课堂小结

本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征，同

时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.

平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.

平行线间的距离:两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，

叫做这两条平行线之间的距离.

平行线间的距离相等，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

区检测反馈

1.已知中，N/+Ne200°,则N3的度数是（）

A.100°B.160°C.80°D.60°

解析：；Z/+Z6t200°,，ZA=100°,又AD〃BC,：./Z+N

企180°,企180°-4=80°.故选C.

2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF〃BC,GH〃AB,EF,阳相交于点0,则图

中共有平行四边形的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

解析：图中的平行四边形有:平行四边形/£①、平行四边形掰定、平行四边

形CHOF、平行四边形。物G、平行四边形4掰7、平行四边形©伤〃、平行四边形

AEFD、平行四边形应尸C、平行四边形/用力.故选D.

3.如图所示,在口力腼中,AD=2AB,CE平分/BCD交AD边干点、E,且/斤3,则AB

的长为（）

A.4B.3C.D.2

解析：：四边形0是平行四边形，."反/AD〃BC,：./DEO/BCE,•2平

分/。伽.../"令N8笫"DEC-/

DCE,J.D^DOAB,'：AD=2AB=2CD,CD^DE,：.AD=2DE,:.A舁D序3,：.DOA土D后3故

选B.

4.如图所示,在口力腼中，△/笈和的面积的大小关系是.

解析：•••两平行线宽间的距离相等，.••△48。与△质是同底等高的两个

三角形，，它们的面积相等.故填相等.

Il

7F

H

5.如图所示，已知在平行四边形ABCD中,/俏60°,于E,DFLBC于F.

(1)求N及方的度数；

(2)若力?4,华7,求平行四边形力时的周长.

解：⑴•.•四边形/戊刀是平行四边形，ZA=ZO(50°,：.ZC+Z

5=180°.,，N比180°-Z^120°J：DELAB,DF1BC,：.4DEB=4

DFS,.,.Z^Z^360°-ZDEB-ZDFB-ZB=&Q°.(2)在Rt4/f庞和Rt△加

中，N4=N俏60°,.•./［婷N6»伫30°,仄24后8,缪=267M4,...平行四边形

/四的周长为2X(8+14)=44.

区板书设计

第1课时

1.平行四边形的定义

2.平行四边形边、角的性质

例1例2

3.平行线间的距离

4.例题讲解

例3

叵布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.

【选做题】

教材第50页习题18.1第8题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示，在平行四边形48缪中，/是110°,延长4?至K延长切至上连接

颂则N屏/尸等于()

A.110°B.30°C.50°D.70°

2.如图所示，1、〃k,BE〃CF,BAVh于点A,DULL于点C,有下面的四个结

论；(1)AB=DC;(2)BE^CF\(3)S△屣3心犷,(4)S四边形他•产S四边形ZOF，其中正确的有

A.4个B.3个C.2个D.1个

h

HC1

3.如图所示，点少是口力腼的边⑦的中点,AD,庞的延长线相交于点

F,小3,D方2,则口4腼的周长为()

A.5B.7C.10D.14

4.如图所示,在平行四边形ABCD中，止4,N物〃的平分线与宽的延长线交于点

E,与〃。交于点F,且点F为边国的中点,DGLAE,垂足为G,若D”,则四的长

为()

A.2B.4C.4D.8

5.如图所示,。/颇与口〃67石的周长相等，且二胡场60°,N/M10°,则/的£的

度数为.

【能力提升】

6.如图所示,在平面直角坐标系中，平行四边形力也的顶点A,B,。的坐标分别

是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点〃的坐标为.

7.如图所示,在口/灰力中,DE平■分/ADC,AD=Q,小2,则口/腼的周长

是.

8.(2015•自贡中考)在。阳切中，/腼的平分线与BA的延长线相交于点E,BH

_L用于点H.求证C4EH.

9.如图所示，四边形4比》是一个平行四边形,质1切于点E,BFLAD于点F.

⑴请用图中的字母表示出平行线AD与a'之间的距离；

(2)若此2cm,求平行线AB与⑺之间的距离.

10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AELBC,交其延长线于点E,切于点F,

Z£4/^30°"后4cm,A/^3cm,求平行四边形/时的周长.

11.如图所示，已知四边形/反应是平行四边形，。为边劭延长线上一点，连接

AC,CE,AB-AC.

⑴求证△物屋△力方；

(2)若/比30°,//麻45°,初=10,求平行四边形力应应的面积.

【拓展探究】

12.如图所示，点£厂分别在平行四边形48口的边DC,CB上,且A^AF,DGL

AF,BHLAE,G,，是垂足.求证DG=BH.

【答案与解析】

LD(解析：由平行四边形的对角相等可得/月将110°,再由邻补角的性质得出

仁70°，所以/E+/六NFDO70。.)

2.A(解析:27,〃ABAL7,于点A,DC12于点C：.AB=CD,故⑴正确；22〃

lz,BE//CF,J.B^CF,故⑵正确；根据HL可以证明Rt△ABE^tXDCF,因此S4

传S△酢,故⑶正确；四边形力颔与四边形加叨是同底等高的两个平行四边

形，，S四边形被kS四边形死陷故⑷正确.故选A.)

3.D(解析：四边形48口为平行四边形，8c；.乙百/CBF,4FD后乙

C.W为缪的中点，，婷绍:.△勿叫匕

M(AAS),：.B(=AD^FD,V/^3,止2,.•.仍3,小〃信4,.”/以力的周长为

2apM而=14.故选D.)

4.B(解析：•.3£为/的6的平分线，，/DA&/BAE.由题意知DC//AB,：.乙BA方

乙DFA,：."A方/DFA、：,A2FD.又F为ZT的中点，...炉〃：:.AD=D六DOAB=2,

在口△〃安中，根据勾股定理得AG=,则4月2/伍2,由题意知AD//BC,：.4DA广4

fNDAF=NE.

£在△/必和△£CF中，1DF=CF.:.AAD乂△ECF(kAS),："六EF网

4后24片4.故选B.)

5.25°(解析：与口比此'的周长相等，且CD=CD,：.AD=DE,，4DA男乙

DEA,'：ZBAD=60°，/片110°,二N4叱120°,NCZ^N产110°,AZ

/婷360°-120°-110°=130°，，/如斤=25°.故填25°.)

6.(1,2)(解析:4,8的坐标分别是(0,0),(3,0),则止3,根据平行四边形对边相

等，得分心3,•.•点C的坐标为(4,2),.,.点。的坐标为(1,的坐

7.20(解析:在口ABCD中，AB=CD,AD〃BC,且AD=B(^6.•:B序2,：.编册除6-2=4.

如图所示，8c又由题意知N1=N2,，/2=/3,，。。庐4

口/时的周长为2(/6切=2X(6+4)=2X10=20.故填20.)

K"

8.证明：如图所示，•.•在n4及勿中，班1〃以斤N2.•.•四平分N6(勿,，N1=N

2..\Z1=Z£：：.B^BC.又,：BH1EC,：.CH=EH.

9.解：⑴Y四边形的?是平行四边形，阳,:BFLAD,：.BFLBC,二平行

线/〃与6。之间的距离是线段跖的长度.(2)•；四边形4时是平行四边

J.AB^CD,'.'BELCD,：.施，平行线四与切之间的距离是线段庞的

长度,是2cm.

10.解：,/四边形力腼是平行四边形，，48〃内乙土匕DJ：AE工BC,AFLCD,Z

£4430°,比/加30°.；4斤4cm,^3cm,：.AB=8cm,AD=6

cm,.•.平行四边形4犯9的周长为8+8+6+6=28(cm).

11.⑴证明：'.3后”;：.ZB=ZACB.又•四边形四必是平行四边形，."£〃

AB=AC.

NB=NEAC.

BD,A芹BD,1/ACB=/CAF/B.在4DBA和4AEC中,IBD=AE,二△飒0△

历IC(SAS).(2)解:过/作力G_L比;垂足为G,如图所示.设在

中，：N力叱45°,：.AODG^x.在山△出右中，由N斤30°,易得BG=x.又

YBD=10,：.BG-DG=BD=10,即矛-尸10,解得产=5+5,，S平行四边形

WBD•AG=10X(5+5)=50+50.

12.证明：连接BE,DF.设平行四边形46口的面积为S,AB,4〃边上的高分别为a

和b,依题意：S^ABX否ADXb,8加=XABXa=S,8加=XADXb=S,5klM=5k

MF.'：DGLAF,BHLAE,：.S△阵XAEXBH,五

加=XAFXDG,：.AEXB/^AFXDG,'：A^AF,：.DG=BH.

s教学反思

Q'成功之处

本节以探究活动的形式,让学生通过自主探索、合作交流去发现和体验新知

识.整个过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动.改变了以

例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中

去.这一节课学生已通过画图,测量,猜想的探究方式发现“平行四边形的对边

相等,对角相等”等特征.学生参与度高,提高学生的学习兴趣和实际操作能力,

取得较好的学习效果.

不足之处

引导学生进行思考的语言不够精练,时间把握得不够好,课堂不够紧凑.由于

性质探索部分花了较多时间，导致练习的时间不够多.应该让学生在练习的时候

有更多的时间讨论,说得更多.

再教设计

最后的小结部分留足时间，由学生自己归纳本节课的内容,把性质按边、角进

行归纳，配以图表方便记忆.补充的例题在教学中侧重对学生思路的引导,开阔

学生的视野.

S教材习题解答

练习（教材第43页）

1.解：（1）在口/8（4中，力比缪=5,BOAga,：.口ABCD的周长=/4办8（34女16.（2）

在O46口中，/力=/信38°，/庐N/M80°-38°=142°.

2.解:AD=BC.理由如下：；AD/7BC,AB〃CD,：.四边形ABCD是平行四边

形，："ABC.

一备课资源

0）教学建议

本课时教材设计理念

平行四边形是生活中常见的几何图形,是基本的几何图形之一,它具有丰富的

几何性质,对于平行四边形,按照图形概念的从属关系,平行四边形首先是四边

形,具有四边形的一般性质，又是两组对边分别平行的特殊四边形,是四边形中

的一类特殊图形，有它特殊的性质，同时它又包括矩形、菱形、正方形，具有它

们的共性.

平行四边形性质的探究，经历了感知（观察）、猜想、证明等过程，本节主要研

究边、角的性质.平行四边形性质的证明，应用了四边形问题转化为三角形问题

的思想,是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化,对于培养学生演绎

推理,训练学生思维，体验数学思维规律等方面起着重要的作用.平行四边形的

性质也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的基础，在教材中起着承上启下

的作用.平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提

供了新的方法和依据.

在研究了平行四边形的性质后，教材引进了平行线间距离的概念,距离是几何

中的重要概念,是几何学习的重要起点.点与点之间的距离是点到直线的距离、

两条平行线之间距离的基础.它们在本质上都是点与点之间的距离.任何两条平

行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的

长度.两条平行线之间距离的给出，是平行四边形概念和性质的综合应用.

⑨趣味数学

如何分田地面积相等

从前,一位农场主有一大块田地，其形状是一个平行四边形（图中的。［8N）.田

地内有一口井，位于图中的点。处.井所占的面积非常有限，与整片田地比起来

简直可以看成“一点”（面积可忽略不计一），农场主临死前留下了遗嘱，把两块三

角形的田地（图中的必和△BOC）给大儿子,剩下的（△/如和△COD）全部给小

儿子,至于这口井,两家可以共用.由于平行四边形不比正方形或菱形,相邻两边

AD,48不相等向，所以遗嘱公布之后,亲友们七嘴八舌,议论纷纷.有人埋怨

农场主偏心,分配不公平;也有人替小儿子抱不平.同学们,你们觉得呢?我们可

以利用什么数学知识进行验证呢？

我们不妨设大儿子得到的田地(△［如和△60。面积之和为5过点。作EF工

AD,交助于F,交BC于E,由题意易得AD〃BC,J.EFLBC.贷8加+8

B^AD•OF+BO0E,•.•四边形力腼是平行四边形，."仄6。

S=AD*(0F+0E)-AD,EF^S平行四边形械

由此可以看出，无论井在什么位置,甚至是在这块地的边上,两个儿子分得的

土地大小都是一样的.我们不得不佩服这位农场主的智慧过人.

第②课时

一_整体设计

①)教学目标

产知识W技能」

1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证

明题.

偿程写方却

在观察、操作、推理、归纳的探索活动中，进一步培养学生的数学说理能力

与习惯.

「情感悉度身裾晒

通过小组合作探究学习，促进同学间的情感交流，体验学习的乐趣，在自我评

价中学会自我肯定,增强学习的自信心.

①教学重难点

【重点】平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.

【难点】综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

①教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】两张方格纸,铅笔，图钉.

S教学过程

E新课导入

一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一

块平行四边形的土地，由于年迈体弱，

他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的：(如右图所示)

当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分

合理吗?为什么？

本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质，你将会明白老人

的分法是否合理

［设计意图］把知识融入到故事情境中,提高学生的学习兴趣.

导入二：

1.复习提问：

(1)什么样的四边形是平行四边形？

(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质？

学生自由说,教师根据学生回顾情况梳理知识.

①具有一般四边形的性质(内角和是360°).

②角：平行四边形的对角相等,邻角互补.

边:平行四边形的对边平行且相等.

2.回顾思考：

⑴平行四边形/腼中，N4比N8大20°,则NC的度数为()

A.60°B.80°C.100°D.120°

(2)平行四边形48。的周长为40cm,三角形力回的周长为25cm,则对角线

力。的长为()

A.5cmB.15cmC.6cmD.16cm

⑶平行四边形ABCD中,对角线AC,初交于0,则全等三角形的对数

有.

学生独自思考,交流解答情况.教师适当点评.

(DC(2)A(3)4对

画出图形，针对(3)小题学生的错误提问：为什么⑶小题中全等三角形的对数

不是2对，而是4对呢?通过今天的学习，你会明白其中的原因.

［设计意图］以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质，温

故知新.通过⑴、(3)的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理

解和简单应用.希望真实、客观地反馈学生对上节“平行四边形性质”的掌握

情况,并有针对性地在本节补救强化.

陷新知构建

［过渡语］上节课我们研究了平行四边形的边和角的关系,平行四边形中

还有一种重要的线段,这就是对角线,平行四边形对角线之间有什么关系呢？

1-平行四边形的对角线互相平分

思路一

【探究】请大家在方格纸上画两个全等的口/腼和。比7力并连接对角线

AC,劭和EG,HF,设它们分别交于点0.把这两个平行四边形放在一起,让它们重

合,在点。处钉一个图钉,将阅9绕点。旋转180°,观察它还和口〃67万重合吗？

你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平

行四边形的什么性质吗？

学生按照要求操作，围绕问题讨论,发现:

是否重合边角对角线

/ABC与/HGF,Z.ADC0归OH,

AB与GH,CD与EF互

旋转口/8缪和口与4HEF,/BAD与/0(^OF,

相重合;/〃与外究

前HGFE童合GHE,乙BCD与4GFE互OB=OG,

与6F互相重合

相重合02OE

4ABC与4HEF,4ADC0归OF,

口和口M与FE,CD与HG互

旋转与/HGF,/BAD与/0(^OH,

HGFE仍然重相重合;/〃与内G,8。

后GFE,/BCD与4GHE互OB=OE,

合与"互相重合

相重合OD=OG

4HG广/HEF,/GF芹/

结论GH-EF,EtGF04OF,OG=OE

GHE

教师引导学生交流:旋转后，口/颔与口〃。石还是完全重合的.平行四边形的对

边相等,对角也是相等的,对角线互相平分.

［过渡语］上节课我们证明了平行四边形的对边相等，对角也相等.你能尝

试证明平行四边形的对角线互相平分这一结论吗？

已知：如图所示,平行四边形/腼的对角线AC,劭相交于点a

求证：/=/OB=OD.

证明：•；四边形力腼是平行四边形，

：.AB=CD,AB/7DC,

：.4BAW4DC0,4AB0=/CD0,

：./\AOB^/\COD,

：.OA=OC,OB-OD.

你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.

教师引导学生总结,并板书:平行四边形的对角线互相平分.

用符号语言表述为：

•.•平行四边形48缪的对角线AC,劭相交于点0,：.OA=OC,OB=OD.

引导学生思考:平行四边形4时中,对角线AC,物交于0,则全等三角形的对

数有几对？

学生相互补充说出：仍与△屐△8%与△〃%,XABC与XCDA,△/劭与

△仪应分别全等,共有4对.

［设计意图］利用活动的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线

的性质，并加以验证.

思路二

［过渡语］在上节课中，我们发现平行四边形边、角有特殊的关系,那么平

行四边形的对角线有怎样的特殊关系呢？

【探究】如图所示，在口力腼中，连接对角线〃；能相交于点0,0B与必有

什么关系？的与少呢？

学生画图,测量后填表,交流.

0A=00=关系

__为:________

0B=⑺=关系

__为:________

学生思考、交流得出：平行四边形的对角线互相平分.

追问：互相平分如何理解？

一生回答,其余补充.力。与劭互相平分,指〃'平分BD,即OB=OD,初平分AC,

即OA=OC.

（出示问题）已知。48⑦中，对角线AC,8〃相交于点0,图中有哪些三角形全等?

哪些线段相等?请同学们用多种方法加以验证.

学生互相讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.

用“AAS”或“ASA”可以证明图中共有四对三角形全等，分别是△4年4

COD,a会△〃应I,△48恒△物,^ABD^/XCDB.相等的线段

有：%=/OB=OD,AB=CD,AD^CB.

师生归纳:平行四边形的对角线互相平分.

学生说出定理的题设和结论,用符号语言表述为：

：平行四边形力腼的对角线AC,如相交于点0,：.OA=OC,OB=OD.

教师提醒:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理的运用时则没必

要这么麻烦，直接由四边形是平行四边形得出其对角线互相平分,这是证明线段

相等的常用方法.

［设计意图］学生通过操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了

所要学习的内容,解决了重点,突破了难点.

2.例题讲解

例1（补充）如图所示,。/比9的对角线力C成相交于点0,EF过点、。与

AB,勿分别相交于点E,F.

求证0片OF,A芹CF,BE=DF.

学生讨论：由刚刚得出的结论“平行四边形的对角线互相平分”，得到OA=OC,

继而得到△/的△物'（AAS）,从而得证.

证明：在口ABCD中,AB〃CD,

.,.Z1=Z2,Z3=Z4.

又见=宓（平行四边形的对角线互相平分），

/.庞必△CMAAS）.

...0氏OF,/后⑦（全等三角形对应边相等）.

•.•四边形/腼是平行四边形，

4是缪（平行四边形对边相等）.

二AB-A^CD-CF,

即B^FD.

引申提问：若例1中的条件都不变，将"转动到如图①所示的位置，那么例1

中的结论是否成立?若将如向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别

相交（如图②和图③所示），例1中的结论是否成立?说明你的理由.

£

D

BFC

分别由一名学生说说自己分析的结果,证明过程留在课后完成.

例2（教材例2）如图所示,在口ABCD中,刖=10,/介8,ACLBC,求BC,CD,AC,0A

的长，以及口力腼的面积.

引导学生读题，强调“底”是对应着高说的,平行四边形中，任一边都可以作

为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了.

学生共同分析：由平行四边形的对边相等,可得BC,5的长,在口△/勿中，由

勾股定理可得4C的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得0A的长,根据

平行四边形的面积计算公式:平行四边形的面积=底X高（高为此底上的高），可

求得。力"9的面积.

解：,/四边形/四是平行四边形，

：.BOAD=8,CD=AB=10.

,：ACLBC,

.•.△/比'是直角三角形.

根据勾股定理，

AC=-=6.

又OA=OC,

，0A=A（=3,

SaMc肝BC・^6^8X6=48.

师生共同完成解答过程,并说明用S表示面积时,常在它的下脚注上图形标记,

例如二皿表示口的面积.

［设计意图］本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是平行四边形对

角线的性质的直接运用，然后对