人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》同步练习及答案解析

人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》同步练习

<8.1基本几何图形》同步练习

第1课时棱柱、棱锥、棱台

一、选择题

1.下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（)

2.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

3.下列几何体中棱柱有（）

D.2个

4.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（）

A.四边形B.三角形C.五边形D.六边形

5.（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台;

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直;

D.棱台的侧棱延长后交于•点，侧面是等腰梯形.

6.（多选题）正方体的截面可能是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.菱形D.正六边形

二、填空题

7.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm,则每条f则棱长为______cm.

8.如图，必是棱长为2cm的正方体力融第一4笈G〃的棱CG的中点，沿正方体表面从点

A到点也的最短路程是cm.

9.下列说法中正确的为（填序号）.

（1）棱柱的侧棱长相等.侧向都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定

是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯

形的几何体是棱台.

10.一个棱台至少有个面，面数最少的棱台有个顶点，有条

三、解答题

11.如图所示是一个三棱台力比'一/HC，试用两个平面把这个三棱台分成三部分,

使每一部分都是一个三棱锥.

12.如图在正方形力朋中，色尸分别为仍，a1的中点，沿图中虚线将3个三角形折起,

使点4,B,。重合，重合后记为点〃

问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少？

（8.1基本几何图形》同步练习答案解析

第1课时棱柱、棱锥、棱台

一、选择题

将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A,C：

相邻平面只有两个是空白面，排除D；

故选B

2.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥

【答案】D

【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边二角形构成，设每个等

边三角形的边长为广，正六棱锥的高为〃，正六棱锥的侧棱长为，，由正六棱锥的高九、

底面的半径r、侧棱长/构成直角三角形得，〃2+产=/2，故侧棱长/和底面正六边形

的边长「不可能相等.

故选D.

3.下列几何体中棱柱有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】D

【解析】

由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱.故选D.

4.用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（）

A.四边形B.二角形C.五边形D.六边形

【答案】D

【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线：截面就是几边形，而

四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.

5.（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）

A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；

C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.

【答案】ABD

【解析】对于A,棱柱的侧面不一定全等，故错误；

对于B,由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；

对于C,若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，

比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；

对于D,棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；

故选ABD.

6.（多选题）正方体的截面可能是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.菱形D.正六边形

【答案】CD

【解析】

如图所示截面为三角形力比；OA=a,0片b,OOc,

:.AC2=a2+c2,AB2=a2+b2,BC2=b2+c2,

2ABAC

・・・/。8为锐角，同理N4S与/川笫也为锐角，即△4比•为锐角三角形，

，正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，

不可能是钝角二角形和直角二角形,力、片错误：

若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，

但不可能是直角梯形，C正确；

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，

如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，。正确.

故选：CD.

二、填空题

7.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为_______cm.

【答案】12

【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，，每条侧棱长为12cm.

8.如图，必是棱长为2cm的正方体ABCD-ABC业的极CG的中点，沿正方体表面从点

A到点3的最短路程是cm.

【答案】标

【解析】由题意，若以欧为轴展开，则力，V两点连成的线段所在的直角三角形的两

直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是仃cm.若以期为轴展开，则力，M

两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4,故两点之间的距离是西

cm.故沿正方体表面从点力到点材的最短路程是小cm.

9.下列说法中正确的为（填序号）.

（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定

是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯

形的几何体是棱台.

【答案】（1）

【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行

四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体;

（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形：（4）不正确，用反例

去检验，如图，显然错误图.

故答案为：（1）

10.一个棱台至少有个面，面数最少的棱台有个顶点，有条

【答案】569

【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱.

三、解答题

11.如图所示是一个二棱台力比一""C，试用两个平面把这个三校台分成三部分,

使每一部分都是一个三棱锥.

【答案】见解析

【解析】过力,，B,。三点作一个平面，再过力,，B,C作一个平面，就把三棱台力纵

一4B'C分成三部分，形成的三个三棱锥分别是小-ABC,B-A'B'。，A'一

aT'.（答案不唯一）

12.如图在正方形ABCD中，E,尸分别为AB,a'的中点，沿图中虚线将3个三角形折起,

使点4B,，重合，重合后记为点月

问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？

（2）若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少？

【答案】（1）三棱锥（2）见解析

【解析】（1）如图折起后的几何体是三棱锥.

(2)加昕=5孑，Wizygu/X2aXa=」,

«_32

（8.1基本几何图形》同步练习

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球

一、选择题

1.下列命题中，正确的是（）

①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线：

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

A.®@B,②③C.②@D.③④

2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（）

A.B.C.D.

3.已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q,则它的一个底面的面积为（）

A.°B.冗QC.半D.当

4.下列平面图形中，通过围绕定直线/旋转可得到如图所示几何体的是（）

5.（多选题）下列说法中正确的是（）

A.正棱锥的所有侧棱长相等

B.圆柱的母线垂直于底面

C.直棱柱的侧面都是全等的矩形

D.用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

6.（多选题）下列结论中错误的是（）

A.半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球

B.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

D.圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

二、填空题

7.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶

点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是.

（填序号）

M

8.下列命题中正确的是(填序号).

①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆

锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体

是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

9.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是.

10.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm,则截面圆

半径为cm,面积为cm2.

三、解答题

9.如图，四边形力空9为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.

10.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为471cmZ和25710】哥.

(1)求圆台的高；

(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.

《8.1基本几何图形》同步练习及答案解析

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球

一、选择题

1.下列命题中，正确的是（）

①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线：

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

A.B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】①：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，错误;

②：母线的定义，显然正确；

③：圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知错

误；

④圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，正确：

只有②④两个命题是正确的.

故选C.

2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（）

【答案】D

【解析】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后

增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A,B,C错误.

故选：D.

3.己知圆柱的轴截面是正方形，其面积为。，则它的一个底面的面枳为（）

A.QB.兀。C.-D.—

42

【答案】C

【解析】圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与

底面直径均为J0,所以底面半径为亭，所以底面的面积为=丝

4

4.下列平面图形中，通过围绕定直线/旋转可得到如图所示几何体的是（）

$

A.[）a

【答案】B

【解析】

A.是一个圆锥以及一个圆柱；C.是两个圆锥；I）.一个圆锥以及一个圆柱;所以选B.

5.（多选题）下列说法中正确的是（）

A.正棱锥的所有侧棱长相等

B.圆柱的母线垂直于底面

C.直棱柱的侧面都是全等的矩形

D.用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形

【答案】ABD

【解析】

对于4根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长相等,故A正确；

对于8,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转而成的几何体,可知圆柱的母线与底面垂直,故

8正确；

对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误;

对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故。正确.

故选:ABD。

6.（多选题）下列结论中错误的是（）

A.半圆孤以其直径为铀旋转一周所形成的曲面叫做球B.直角三角形绕一边旋转得

到的旋转体是圆锥

C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D.圆锥截去一个小圆锥后剩

余的部分是圆台

【答案】ABC

【解析】半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做

球，故A错误；当以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成

的几何体不是圆锥，是由两个同底面的圆锥组成的几何体，故B错误；当两个平行截面不平

行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去小圆

锥，则截面必须与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确.故选ABC。

二、填空题

7.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶

点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是.

（填序号）

v

LJ»②③专

闻

⑤

【答案】①⑤.

【解析】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件;

当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，

综上可知截面的图形可能是①⑤.

8.下列命题中正确的是（填序号）.

①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆

锥;

②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆：

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体

是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

【答案】③④®®

【解析】①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，

将直角三角形旋转一周得到的旋转体才是圆锥，①错误；

②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，

将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，②错误；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③正确；

④等腰三角形的底边上的高招等腰三角形分成两个全等的直角三角形，

根据圆锥的定义可判断，④正确；

⑤根据球的定义可判断，⑤正确

⑥根据球的性质可判断，⑥正确.

故答案为:③④⑤⑥.

9.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是.

O

【答案】圆柱

【解析】一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱.

10.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm,则截面圆

半径为cm,面积为cm2.

【答案】39n

【解析】设截面圆半径为不cm,则#+42=52,所以？=3.所以截面圆面积为9兀cm2.

三、解答题

9.如图，四边形4版为直角睇形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.

D

AB

【答案】见解析

【解析】以边49所在直线为轴旋转，形成的几何体是一个圆台，

如图（1）所示.

以边47所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由

一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图（2）所示.

以边⑦所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由

一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体，如图（3）所示.

以边外所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由

一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面）

圆锥拼接而成的组合体，如图（4）所示.

10.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4皿0?和25mm2.

（1）求圆台的高；

（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.

【答案】（1）3715cm.（2）20cm.

【解析】（1）如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABC。，0],。分别为4力,

8C的中点，作于点M，连接QO.

由已知可得上底半径=2cm,下底半径08=5cm,且腰长AB=12cm,

AAM=V122-32=3715(cm),即圆台的高为

（2）如图，延长84，OQ交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/cm,则由

AD/-122

△S4«S/XS8。，得丝二丝L,即nn-----=—・•・即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

SBBO5

（8.2立体图形的直观图》同步练习

一、选择题

1.等腰三角形48C的直观图是（）

A.®®B.②③C.@@D.③④

2.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（）

A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B.平行四边形的直观图仍是平行四边形

C.两条相交直线的直观图可能是平行直线

I）.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

3.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸

一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m.10m,四棱锥的高为8m,若按1：500

的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cn

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cn

I).2mc,0.5cm,1cm,0.8cm

4.如图所示，VAO'9表示水平放置的的直观图，B'在f轴上，40与f轴

垂直，且A'0'=2,则△AQB的边OB上的高为（）

A.2B.4C.2&氏4>/2

5.（多选题）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是（）

A.角的水平放置的直观图一定是角；

B.相等的角在直观图中仍相等；

C.相等的线段在直观图中仍然相等；

D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

6.（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放

置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放

置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）

A.①B.②C.③D.④

二、填空题

7.如图所示为水平放置的正方形A8C0,在平面直角坐标系中点8的坐标为

仅2）,用斜二测画法画出它的直观图AEC",则点9到V轴的距离为.

8.给出下列说法：

①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1：2,有一内角为45°；

②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形;

③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；

④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.

其中，正确的说法是.（填序号）

9.有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所

示NABC=45°，AD/IBC,AB=AD=1,DC1BC,则这块菜地的面积为.

10.如图所示，水平放置的AABC的斜二测直观图是图中的AA'gC,已知AC=6,

3'C=4,则AB边的实际长度是.,AABC的面积为0

三、解答题

11.一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.

CO

正视图

俯视图

12.如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABC。-A旦GA的

直观图中分离出来的.

（1）求直观图中△AGR的面积；

（2）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什

么几何体？

《8.2立体图形的直观图》同步练习答案解析

一、选择题

1.等腰三角形A8C的直观图是（

A.®®B.②③D.③④

【答案】D

【解析】由题意得，由直观图的画法可知：当Nx'Oy=45°时，等腰三角形的宜观图

是④；当NVO，'=135°时，等腰三角形的直观图是③；综上，等腰三角形AA5C的直观

图可能是③④，故选I）.

2.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（）

A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

B.平行四边形的直观图仍是平行四边形

C.两条相交直线的直观图可能是平行直线

D.两条垂直的直线的宜观图仍互相垂直

【答案】B

【解析】斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A错误;

平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确；斜二测画法保持相交性不

变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，故选项C错误；两条垂直直线的直观图应是夹

角为45°的两条相交直线，故选项D错误.

3.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸

一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m,10m,四棱锥的高为8m,若按1:500

的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cn

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6CD

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cn

【答案】C

【解析】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm,

再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.

故选C.

4.如图所示，V4O6'表示水平放置的“IQB的直观图，B'在f轴上，40与炉轴

垂直，且4'。'=2,则aAOB的边03上的高为（）

A.2B.4C.2&D.4血

【答案】D

【解析】设△AQ8的边OB上的高为〃，因为S原图形=2及5面双图，所以

；xO8x/?=2&x；xOB'x2,又。8夕，所以力=4后.

故选：D.

5.（多选题）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确是（）

A.角的水平放置的直观图一定是角：

B.相等的角在直观图中仍相等；

C.相等的线段在直观图中仍然相等；

D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

【答案】AD

【解析】由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，・・・D对，A对；而线段的

长度，角的大小在直观图中都会发生改变，・・・BC错.

故选AD.

6.（多选题）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放

置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放

置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）

A.①B.②C.③D.④

【答案】AB

【解析】水平放置的"边形的直观图还是〃边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特

殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④

错误，

故选：AB.

二、填空题

7.如图所示为水平放置的正方形480°,在平面直角坐标系工中点8的坐标为

仅'2）,用斜二测画法画出它的直观图则点8'到V轴的距离为.

【解析】在直观图A‘B'CO"中，BC'=1，N3'CY=45'，故点&到9轴的距离为

也

2

故答案为：YZ

2

8.给出下列说法：

①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1：2,有一内角为45°；

②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形;

③不等边二角形水平放置的直观图是不等边二角形：

④水平放置的平面图形的直观图是平面图形.

其中，正确的说法是_______.（填序号）

【答案】④

【解析】对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但

若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标

轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则.对于②，水平放置

的正三角形的.直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形.对于③,

只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形.

即正确的说法是④.

9.有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所

示NABC=45°，AD//BC,AB=AD=1,DC1BC,则这块菜地的面积为.

【解析】在宜观图中，・.・NA8C=45。，AB=AD=1,DCIBC

:.AD=\,BC=l+—

2

••・原来的平面图形上底长为1,下底为1+亚，高为2

2

平面图形的面积为gx1+1+孝x2=2+日

\7

10.如图所示，水平放置的AABC的斜二测直观图是图中的AA'厅C,已知A'C=6,

8'C=4,则AB边的实际长度是.,ZkABC的面积为。

【答案】1024

【解析】

由斜二测画法，可知△』式是直角三角形，且NM=90°,〃=6,a'=4X2=8,则

AB=JAC2+BC2=10-△A86的面积为1。

-x6x8=24

2

三、解答题

11.一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.

CO

正视图

俯视图

【答案】见解析.

【解析】易知几何体上部是一个球，下部是一个倒放的圆锥，此时球的直观图只要画一

个竖立的圆印可，

以圆锥顶点为原点。，圆锥高所在直线为z轴，水平面上两条垂直的直线为乂y轴，

建立空间直角坐标系，斜二测画法中，V轴表示水平面，z'轴与f轴垂直，V轴与£

夹角为45°,平行于X轴、Z轴的线段仍平行于炉轴、z'轴，长度不变，平行于y轴的线

段仍平行y轴，但长度为原来的一半.画出图形后，擦去坐标轴得直观图.

如图所示：

12.如图所示的图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABC。-A与GA的

直观图中分离出来的.

(1)求直观图中A的面积；

(2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什

么几何体？

【答案】(1)立〃2(2)三棱锥，图像见解析

8

【解析】(1)SAAG。二;A"xO[C]xsinNAAG=

（2）三棱锥，如图所示.

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习

一、选择题

1.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9

和15,则这个棱柱的侧面积是（）.

A.130B.140C.150D.160

2.若正方体的棱长为J5,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

（）

.x/2口夜『2

A•-----B•C•D♦

6333

3.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线长为2JiZ，则这个长方

体的体积为（）

A.6B.12C.24D.48

4.三棱柱中，NR4C=90，A8=AC=a,/朋用=NA41G=60,

=90,侧棱长为〃，则其侧面积为（）

43y/3ab0+2./f^\,2也+◎.

A.---------B.R---------abCr.V3+V2a。nD.--------------ab

42'’2

5.（多选题）下列结论中，正确的是（）

A-S枝柱侧=c/（其中c为底面周长，/为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱。

f；

B.在棱柱ABC-A'BC中'k8C=

C.在正棱锥尸中，I；

S侧（其中c为底面周长，"为斜高）

D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。

6.（多选题）如图,直三棱柱43。一446中，A4=2,AB=BC=1，Z4BC=90'，

侧面4AG。中心为，点£是侧棱8月上的一个动点，有下列判断，正确的是（）

A.直三棱柱侧面积是4+2&B.直三棱柱体积是g

C.三棱锥上一明。的体积为定值I）.AE+EG的最小值为2&

三、填空题

7.如图，长方体A88-44GA的体积是120,E为CG的中点，则三棱锥分腼

的体积是_____.

8.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A片作一

个平行于棱CC的平面A4E尸，记平面分三棱台两部分的体积为匕（三棱柱

ABG-FEC）,匕两部分，那么M：匕

Ai

9.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,则它的侧面积为.

10.已知正三棱柱ABC—的高为6,AB=4,点D为棱BB.的中点，则四棱锥C—A】ABD

的表面积是，三棱柱的体积为。

四、解答题

11.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等，£为8。的中点，

高为P0,且NOPE=30。，求该四棱锥的侧面积和表面积.

12.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥

下部的形状是正四棱柱力g9—45G〃（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的

高产。的4倍，若m,PO\=2m,则仓库的容积是多少？

（8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习答案解析

一、选择题

1.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9

和15,则这个棱柱的侧面积是（）.

A.130B.140C.150D.160

【答案】D

【解析】

设直四棱柱ABCD-AB.C.D,中，对角线A。=9,=15,

因为AA_L平面ABCRACu,平面ABC。，所以AA_L4C,

在R/A41AC中，入4=5,可得AC=J'。？一=后,

同理可得8。=5。32-壮。2=而5=1。底,

因为四边形A3CD为菱形，可得AC8。互相垂直平分，

所以AB=AC）?+（gBO）?=J14+50=8,即菱形45CO的边长为8,

因此，这个棱柱的侧面积为S=（A8+BC+CO+OA）xA4=4X8X5=160,

故选D.

2.若正方体的棱长为0,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）

,V2V2「2

A.---BR.---C.---D.—

6333

【答案】B

【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1,高为立，的四棱锥的体积和，

2

一个四棱锥体积V产」xlxY^二也，故八面体体积V=2V产立，故选B.

3263

3.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线长为2m，则这个长方

体的体积为（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】D

【解析】•.•长方休的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,

・•・设三条棱长分别为k,2k,3k

则长方体的对角线长为^k2+（2k）2+（3k）2=k至=2

/.k=2

长方体的长宽高为6,4,2

:,这个长方体的体积为6X4X2=48

故答案为48应选D

4.三棱柱ABC—中，/BAC=90,，AB=AC=a,Z.AAiBl=NAA1G=60,

NBBG=90,侧棱长为匕，则其侧面积为（）

A3乖>ab>/3+2,IFi4.F）\nhv,26+应

A.------RB.------abCr.+4。D.---------ab

42''2

【答案】C

【解析】如图，由已知条件可知，侧面和侧面AAGC为一般的平行四边形,

侧面BAGC为矩形.

在AA8c中，ZBAC=90°,AB=AC=a,

***BC=41a»S矩形BCG4=应a'b=6ab.

・.・ZA4,Bi=ZAAjC,=60°,AB=AC=a,

:.点B到直线AM的距离为〃sin60°=—a^

2

・S-Q卜

,,»四边形仅C|C二D四边形=~2aD

**•S魅=2x^~ab+血帅+尤）"■

6.（多选题）下列结论中，正确的是（）

I'S梭柱侧=c/（其中c为底面周长，/为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱。

B.在棱柱ABC-中，匕,A%=V…；

C.在正棱锥尸中，1；

S侧（其中c为底面周长，0为斜高）

D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。

【答案】BC

【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知

选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选

BC«

6.（多选题）如图，直三棱柱ABC—A8cl中，AA=2,AB=BC=\,ZABC=90\

侧面AAGC中心为0,点£是侧棱B片上的一个动点，有下列判断，正确的是（）

A.直三棱柱侧面积是4+2&B.直三棱柱体积是§

C.三棱锥七一仪。的体积为定值D.AE+EC］的最小值为2a

【答案】ACD

【解析】在直三棱柱ABC-AgG中，A4=2,AB=BC=lfZABC=9^

底面ABC和AqG是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其恻面积为1X2X2+

Vl2+12x2=4+2>/2»故A正确；

直三棱柱的体积为V=SMBCAA=^-xlxlx2=l,故B不正确：

由即〃平面/I4GC,且点f是侧棱8片上的一个动点，二.三棱维七-440的高为定

值立,

2

5^4X^X2=V,/-V^4XTX2T=I,故，正确;

设施'=x£[o,2],则笈£=2-X,在R0ABC和RfAEBG中，.・.AE+£G=

Jl+f+J1+(2-X)2.由其几何意义，

即平面内动点(M1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E

为B8]的中点时，其最小值为42。+2?=20，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

7.如图，长方体488—44GA的体积是I2。，后为°G的中点，则三棱锥氏腼

的体积是_____.

【答案】10.

【解析】因为长方体ABC。-4由GR的体积为120,

所以A8BCCG=120,

因为E为CG的中点，

所以CE=gcG，

由长方体的性质知CG，底面A8CO,

所以CE是三棱锥E—BCD的底面3C。上的高，

所以三棱锥E—BC£＞的体积V=，x4A8-8C-CE=

32

=-x-ABBC-CC.=—xl20=10.

322112

8.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面•边4周作•

个平行于棱C。的平面4片上尸，记平面分三棱台两部分的体积为匕(三棱柱

ABC-FEC),匕两部分，那么乂：匕=.

【答案】3：4

【解析】设三棱台的高为力，上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,

.7v=,卜乂=Sh=3

「M=Y(S+4s+2S)=产-1=…耳=与7£二

3

故答案为：3:4..

9.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,则它的侧面积为—

【答案】180cm2

【解析】设正六棱柱的底面边长为々cm,

则底面上最长对角线长为2acm,

所以由次