山东省泰安市2023～2024学年高二数学下学期第一次月考试题含答案

2022级高二下学期第一次阶段性考试数学试题注意事项：1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.，则（）A B.2 C. D.62.曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.3.已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.4.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.5.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）.A. B.C. D.6.已知函数（是的导函数），则（

）A. B.1 C.2 D.7.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分。三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.）9.在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（）A. B. C. D.10.已知函数（为常数），则下列结论正确的有（

）A时，恒成立B.时，无极值点C.若有3个零点，则的范围为D.时，有唯一零点且11.已知函数及其导函数满足，且，则（）A.在上单调递增 B.在上有极小值C.的最小值为 D.的最小值为三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则的最大值为_______．13.已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.14.设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．16已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.17.某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件销售收入为万元，且满足函数关系：．（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？18.已知函数在与时都取得极值.（1）求的值与函数的单调区间.（2）求该函数在极值.（3）设，若恒成立，求的取值范围.19.已知函数．（1）求曲线在处的切线并比较与的大小关系；（2）记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．新泰中学2022级高二下学期第一次阶段性考试数学试题注意事项：1.本试卷共4页分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.，则（）A. B.2 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.【详解】∵，，∴.故选：C.2.曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函数的导数，将代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案.【详解】因为，所以，又因为曲线过点，由点斜式可得，化简可得，所以切线方程是，故选：A.3.已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，由求解即得.【详解】由，得，∵在，上为增函数；上为减函数,∴两根分别位于和中，得，即，解得.故选：B4.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：由正弦函数的单调性得出，再设，由其导数得出单调性，即可由得出，即，即可得出答案；方法二：由正弦函数的单调性得出，再由为中间值得出，，，即，即可得出答案.【详解】方法一：因为在上单调递增，所以.设，则，当时，，所以再上单调递增，所以，所以，即，所以.综上，得，故选：B.方法二：因为在上单调递增，所以.又.综上，得，故选：B.故选：B.5.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.

故选：A6.已知函数（是的导函数），则（

）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.【详解】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A7.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，因为，令，即，可得．令，则，令，得，令，得，所以，函数在上递增，在上递减，因为，，，如下图所示：当时，直线与函数在上的图象有两个交点，设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，当或时，，此时，，当时，，此时，，所以，函数在上递增，在上递减，在上递增，此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为.故选：B.8.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，原不等式等价于.构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可.详解】设，，等价于，即，令，则，所以函数在上单调递减，则不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立，令，则，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以，解得，即实数a的取值范围为.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个选项的，部分选对的每一个得3分。三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分.）9.在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用导数的几何意义即可.【详解】切线的斜率，设切点为，则，又，所以，所以，，当时，，故AD正确.故选：AD10.已知函数（为常数），则下列结论正确的有（

）A.时，恒成立B.时，无极值点C.若有3个零点，则的范围为D.时，有唯一零点且【答案】BCD【解析】【分析】对于AB：将和代入，判断函数单调性，利用单调性求极值最值即可求解；对于C：将问题转化为，构造函数，利用导数求单调性和极值，然后画图求解；对于D：利用零点存在定理求解.【详解】对于A：当时，，则，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，所以在上单调递增，又，A错误；对于B：当时，，，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，所以在上单调递增，无极值，B正确；对于C：令，当时，显然，则，记，则当或时，，单调递增，当时，，单调递减，且，当和时，，函数图象如下：所以若有3个零点，则的范围为，C正确；对于D：当时，，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以所以在上单调递增，又，，由零点存在定理可得有唯一零点且，D正确；故选：BCD.11.已知函数及其导函数满足，且，则（）A.在上单调递增 B.在上有极小值C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】【分析】由已知等式变形可得出，设（为常数），根据题中条件求出的值，可求出的解析式，利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断CD选项.【详解】因为函数及其导函数满足，则，即，令（为常数），所以，，因为，可得，所以，，对于A选项，当时，，所以，函数在上单调递增，A对；对于B选项，由可得，且，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数在上有极小值，B对；对于C选项，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，C错；对于D选项，，令，可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，D错.故选：AB.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则最大值为_______．【答案】【解析】【分析】求导得出函数在上的单调性，即可求得的最大值为.【详解】由可得，令可得，又，所以，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增；易知，；因此的最大值为.故答案为：13.已知函数，关于x的方程有3个不同的解，则m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用导数法研究函数的性质、对数函数的图象及函数图象的平移变换，进而可得函数的图象，将方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点即可求解.【详解】由题意可知，方程有3个不同的解转化为函数与图象的有个不同交点.当时，，由，即，解得，由，即，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取的极大值为；作出与的大致图象，如图所示.由图可知，要使函数与图象的有个不同交点，只需要.所以m的取值范围是.故答案为：.14.设函数，则函数最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可.【详解】的导数为，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且为最小值；令，，又对任意，存在，有恒成立，即恒成立，即；时，，当且仅当时取得最小值2，，，则时，，单调递减；时，，单调递增，可得在处取得极小值，且为最小值；所以，由，可得．所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题（本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2），切点为【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.【小问1详解】由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．16.已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值（2）【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．【小问1详解】当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.【小问2详解】因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．17.某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：．（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）（2）9千件；38.6万元【解析】【分析】（1）由G(x)等于销售收入减去成本求解即可；（2）求导判断函数单调性求最值即可【详解】（1）依题意，（）（2）由（1）得，令，得.∴当时，，单调递增，当时，，单调递减.∴当时，有.即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最大且最大值为38.6万元【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数的最值，考查运算求解能力，是基础题18.已知函